ИДЗ 12.1 Рябушко пример решения

7

1.0

n 1 49n 2

35n

6

Знаменатель приравняем к нулю, решим квадратное уравнение

49n 2 35n 6 0

D b2 4ac 1225 4 6 49 1225 1176 2401

b

35 49

35 49

n1,2

D ; n1

14

1

; n 2

84

6

98

7

98

7

2a

2 49

2 49

Тогда ряд можно представить в виде

7

7

7

7n 1 7n 6

49n 2 35n 6

1

6

n 1

n 1 n

n

n 1

7

7

Общий член a n

7

данного ряда представим в виде суммы простейших дробей:

7n

1 7n

6

a n

7

A

B

7n 1 7n 6

7n 1

7n 6

Поэтому a n

1

1

7n 6

7n 1

Найдем сумму первых n членов ряда:

Sn

1

1

1

1

1

1

...

1

1

13

20

20

27

7n 6

6

13

6

Вычислим сумму ряда:

1

1

1

1

1

S lim Sn

lim

lim

7n

6

n

n

6

6

n 6

2

n

2.0

3n

n

n 1

Воспользуемся признаком Д’Аламбера

Пусть для ряда u1 u 2

...u n ... u n , u n

0 (начиная с некоторого n=n0) и существует предел

n 1

lim

u n 1

q

n

u n

где a n

2n

,

a n 1

2n 1

3n n

3n 1 n 1

2n 1

n 1

2n 1

lim

a

n 1

lim

3n 1

lim

3n n

lim

2n 2 3n n

n

a n

2

3n 1

n 1 2n

3n 3 n 1 2n

n

n

n

n

3n n

n

2

n

2

2

1

2

2

lim

lim

n

lim

1

1,154 1 ряд расходится

n 1

n 1

1

3 n

3

n

3

n 1

3

3

n

n

Ответ: ряд расходится

3.0

n n arcsin n

3n

n 1

a

n n

arcsin n

n

3n

Заменим арксинус эквивалентной величиной arcsin

~

3n

3n

lim

lim

n n n arcsin n

lim

n arcsin

lim

n

3,14

1,05 1

n a

n

3n

3n

3n

3

3

n

n

n

n

n

4.0

3n 2 1

n 1

Воспользуемся интегральным признаком Коши.

Для этого исследуем несобственный интеграл:

xdx

xdx

lim

3x 2 1

1

3x 2 1

1

Решим неопределенный интеграл:

1

1

1

1

3x 2

1 t

xdx

1

dt

1

t

1

t

2

1

t 2

1

1

3x 2 1 C

2

dt

C

C

t C

3x 2 1

dt 6xdx

6

t

6

6

1

1

6

1

3

3

2

2

Тогда

xdx

1

1

lim

1

lim

lim

3x 2 1

3 2

1

3 12 1

2