ИДЗ 10.2 Рябушко пример решения
.pdf
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
ИДЗ 10.2 – Вариант 0.
1. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0(x0, y0, z0)
1.0 S: z = 1/2x2 – 1/2y2, M0(3, 1, 4)
Находим частные производные: |
|
|
|||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
f |
|
, y |
|
|
x 2 |
|
|
y2 |
x |
2x 2 1 x |
|||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
f |
|
, y |
|
x 2 |
|
y2 |
y |
2y2 1 y |
|||||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вычисляем значения частных производных в точке M0(3, 1):
f 3, 1 3
x
f 3, 1 1
y
Если поверхность задана уравнением z f x, y , то уравнение касательной плоскости в точке
M0 x0 , y0 , z0 к данной поверхности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
z z |
0 |
f |
x |
0 |
, y |
0 |
x x |
0 |
f |
x |
0 |
, y |
0 |
y y |
0 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||||||||
А уравнение нормали через точку M0 |
x0 , y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x x 0 |
|
|
|
|
|
y y0 |
|
|
|
z z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
f |
x |
0 |
, y |
0 |
|
f |
x |
0 |
, y |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда, подставляя найденные значения, найдем уравнение касательной: z 4 3 x 3 1 y 1
уравнение нормали
x 3 y 1 z 4 3 1 1
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
2. Найти вторые частные производные указанных функций. Убедиться в том, что z”xy= z”yx
2.0 z = e3x2 5y2
Вначале находим первые частные производные данной функции:
zx e3x2 5y2 x 3 2xe 3x2 5y2 6xe 3x2 5y2 z y e3x2 5y2 y 5 2ye3x2 5y2 10ye3x2 5y2
Дифференцируя каждую из полученных производных по x и по y, находим вторые частные производные данной функции:
z |
6xe 3x2 |
5y2 |
|
|
6e3x2 5y2 6x 3 2xe 3x2 5y2 6e3x2 5y2 |
36x 2e3x2 5y2 |
|
|
|
|
|||||||
xx |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
10ye3x2 5y2 |
|
|
|
|
|||
z |
10e3x2 5y2 10y 5 2ye3x2 5y2 10e3x |
2 5y2 100y2e3x |
2 5y2 |
|||||
y y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
Найдем: z |
и z |
|
|
|
|
|
||
|
xy |
|
yx |
|
|
|
|
|
z |
6xe 3x2 |
5y2 |
|
|
6x 5 2ye3x2 5y2 60xye3x2 5y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
xy |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
10ye3x2 5y2 |
|
|
|
|
|||
z |
10y 3 2xe 3x2 5y2 60xye3x2 5y2 |
|
|
|
||||
y x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
Следовательно
z z
xy yx
3. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u.
3.0 9 |
2 u |
|
2 u |
, |
u e cos x 3y |
|
x 2 |
|
y2 |
|
|
Находим частные производные первого и второго порядка:
u |
e cos x 3y |
|
|
e cos x 3y |
cos x 3y |
|
|
e cos x 3y |
sin x |
3y |
|||
|
|
x |
|
||||||||||
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u |
e cos x 3y |
|
e cos x 3y cos x 3y |
|
|
3e cos x 3y |
sin x |
3y |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
y |
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
u e cos x 3y sin x 3y |
|
e cos x 3y sin x 3y sin x 3y e cos x 3y cos x 3y |
|||||||||
|
|
||||||||||||
x 2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
e cos x 3y sin 2 x 3y e cos x 3y cos x 3y |
|
|
|
||||||||||
|
2 |
u 3e cos x 3y |
sin x 3y |
|
sin x 3y 3sin x 3y 3e cos x 3y 3cos x 3y |
||||||||
|
3e cos x 3y |
||||||||||||
y2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9e cos x 3y sin 2 x 3y 9e cos x 3y cos x 3y
Подставляем полученные значения производных в левую часть и правую часть исходного уравнения:
9 e cos x 3y sin 2 x 3y e cos x 3y cos x 3y 9e cos x 3y sin 2 x 3y 9e cos x 3y cos x 3y 9e cos x 3y sin 2 x 3y cos x 3y 9e cos x 3y sin 2 x 3y cos x 3y
Следовательно, функция u удовлетворяет исходному уравнению
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
4. Исследовать на экстремум следующие функции. |
|
|
|
|
|
||||
4.0 |
z = x2 + xy + y2 – 2x – y |
|
|
|
|
|
|
||
Находим первые частные производные данной функции |
|
|
|
||||||
z |
x 2 xy y2 |
2x y x 2x y 2 |
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
x 2 xy y2 |
2x y y 2y x 1 |
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приравнивая их к нулю, получаем систему уравнений |
|
|
|
|
|||||
2x y 2 0 |
|
y 2 2x |
y 2 2x |
|
|
y 2 2x |
|
||
|
|
|
|
1 |
0 |
|
3 |
||
2y x 1 0 |
|
2 2 2x x 1 0 |
4 4x x |
3x |
|
||||
Стационарная точка данной функции: M 1, 0 |
|
|
|
|
|
||||
y 0x 1
Для того, чтобы сформулировать достаточные условия экстремума функции двух переменных, введем следующие обозначения:
A f x |
0 |
, y |
0 |
, B f x |
0 |
, y |
0 |
, |
C f |
x |
0 |
, y |
0 |
AC B2 |
|
xx |
|
|
xy |
|
|
yy |
|
|
|
||||||
Достаточные условия экстремума. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Если 0 |
, то M0 x0 , y0 |
является точкой экстремума для данной функции, причем M0 будет точкой |
|||||||||||||
максимума при A 0 (C 0) |
и точкой минимума при A 0 (C 0) |
||||||||||||||
Если 0 |
, то в точке M0 x0 , y0 экстремума нет; |
||||||||||||||
Если 0 |
, то экстремум может быть, а может и не быть; |
||||||||||||||
Найдем вторые частные производные данной функции:
z |
2x y 2 |
|
2 |
xx |
x |
|
|
z |
2x y 2 |
|
1 |
xy |
y |
|
|
z |
2y x 1 |
|
2 |
y y |
y |
|
|
Подставляя в полученные выражения для производных координаты стационарных точек, и используя достаточные условия экстремума
Для точки M 1, 0 |
|
|
A z 2 |
; B z 1; |
C z 2 |
xx |
xy |
yy |
2 2 12 |
3 0 экстремум есть в точке M 1; 0 |
|
Так как A 0 (C 0) , то в точке M будет минимум |
||
zmin z 1; 0 12 1 0 02 |
2 1 0 1 2 1 |
|
Ответ: zmin z 1; 0 1 |
|
|
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=z(x, y) в области D, ограниченной заданными линиями.
5.0 z = x2 – 2y2 + 4xy – 6x + 5, D: x = 0, y = 0, x + y = 3
Выясним, существуют ли стационарные точки, лежащие внутри данной области D, т.е. внутри треугольника ABC
z |
x 2 |
2y2 |
4xy 6x 5 x |
2x 4y 6 |
||
x |
|
|
|
|
|
|
z |
x 2 |
2y2 |
4xy 6x 5 y |
4x 4y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
2x 4y 6 0 |
2y 4y 6 |
6y 6 |
y 1 |
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
4x 4y |
|
x y |
x y |
x 1 |
||
Решая полученную систему уравнений, находим стационарную точку M 1; 1 . Она лежит в области D, рассмотрим ее.
z 1; 1 12 2 12 4 1 1 6 1 5 1 2 4 6 5 2
Исследуем значения функции на границе области D, состоящей из линий x = 0, y = 0, x + y = 3
x 0, 0 y 3 , отсюда z 2y2 5 , z |
4y , 4y 0; y 0 |
y |
|
Точка E 0; 0 совпадает с точкой А |
|
z 0; 0 02 2 02 4 0 0 6 0 5 5 |
|
y 0, 0 x 3 , отсюда z x 2 6x 5 , |
z 2x 6 , 2x 6, x 3 |
Точка F 3; 0 совпадает с точкой С |
x |
|
|
z 3; 0 32 2 02 4 3 0 6 3 5 9 18 5 4 |
|
y 3 x , 0 x 3 , отсюда |
|
z x 2 2 3 x 2 4x 3 x 6x 5 x 2 |
18 12x 2x 2 12x 4x 2 6x 5 x 2 6x 23 |
zx 2x 6, x 3 , Точка G 3; 6 не лежит в области D
Найдем значения функции в точках пересечения линий, ограничивающих область D. z 0; 0 02 2 02 4 0 0 6 0 5 5
z 3; 0 32 2 02 4 3 0 6 3 5 9 18 5 4 z 0; 3 02 2 32 4 0 3 6 0 5 18 5 13
Выберем наибольшее и наименьшее значения zнаиб 0; 0 5 , zнаим 0; 3 13