Добавил:
fizmathim.ru Решаю задачи по высшей математике. Фотографии решенных заданий по высшей математике https://fizmathim.ru/photo/ Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ИДЗ 10.1 Рябушко пример решения

.pdf
Скачиваний:
267
Добавлен:
20.02.2017
Размер:
240.76 Кб
Скачать

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

ИДЗ 10.1 – Вариант 0.

1. Найти область определения указанных функций.

1.0 z = 16 x 2 y2

Учитываем, что подкоренное выражение больше либо равно нулю.

16 x 2 y2 0 x 2 y2 16

Строим на плоскости.

Область определения – множество точек плоскости, лежащих внутри окружности с центром в начале координат и радиусом R 4 и на этой окружности.

2. Найти частные производные и частные дифференциалы следующих функций.

2.0 z = ex2 3y2

Дифференциал функции z f x, y , найденный при условии, что одна из независимых переменных

изменяется, а вторая остается постоянной, называется частным дифференциалом, т.е. по определению

d

x

z f x, y dx, d

y

z f

x, y dy , где dx x, dy y - произвольные приращения независимых

 

x

y

 

переменных, называемые их дифференциалами.

Вначале найдем частные производные функции, использовав формулу дифференцирования сложной функции одной переменной

 

z

ex2 3y2

ex2 3y2

x 2

3y2 x

ex2 3y2

2x 2 1 2xe x2 3y2

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

ex2 3y2

 

 

 

 

 

z

ex2 3y2

x 2

3y2 y

ex2 3y2

3 2y2 1 6yex2 3y2

 

 

 

y

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь находим частные дифференциалы:

 

d

 

z

z

dx 2xe x2 3y2 dx,

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d y z

 

z

dy 6yex2 3y2 dy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

3. Вычислить значения частных производных f’x(M0), f’y(M0), f’z(M0), для данной функции f(x, y, z) в точке M0(x0, y0, z0) с точностью до двух знаков после запятой

3.0 f(x, y, z) = x3 + y3 + z3 – xyz – 2, M0(1, 1, 1)

Находим частные производные данной функции, затем вычисляем их значения в точке M0(1, 1, 1)

f

x, y, z x3

y3

z3

xyz 2

 

 

3x3 1

yz 3x 2

yz

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

f

1,1,1 3 12

1 1 3 1 2

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

x, y, z x3

y3

z3

xyz 2

 

 

3y3 1

xz 3y2

xz

 

 

y

 

 

 

y

 

 

 

 

f

1,1,1 3 12

1 1 3 1 2

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

x, y, z x3

y3

z3

xyz 2

 

3z3 1 xy 3z2 xy

 

 

z

 

 

 

z

 

 

 

 

 

f

1,1,1 3 12

1 1 3 1 2

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Найти полные дифференциалы указанных функций.

4.0 z =

5x 2 8y2 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим частные производные данной функции:

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

5 2x 2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

5x

 

 

 

 

5x 2 8y2 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

2

 

5x

2

8y

2

12

 

 

 

 

 

5x

2

8y

2

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

8 2y2 1

 

 

 

 

 

 

8y

 

 

 

 

5x 2 8y2 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

y

2

 

5x

2

8y

2

12

 

 

 

 

 

5x

2

8y

2

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Согласно формуле dz

z

dx

z

dy имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где dx x, dy y - произвольные приращения независимых переменных, называемые их дифференциалами

dz

 

5x

 

dx

 

8y

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x 2 8y2 12

5x 2 8y2

 

 

 

 

 

 

12

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

5. Вычислить значение производной сложной функции u=u(x, y), где x=x(t), y=y(t), при t=t0 с точностью до двух знаков после запятой.

5.0 u = ln(e3x + e2y), x = t3, y = t5, t0 = 1

На основании формулы

 

 

du

 

u dx

u

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

y dt

Тогда

 

 

 

 

3x e2y x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n e

 

3e3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e3x e2y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 3

3t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n e

3x e2y y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e3x e2y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 5

5t 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

3e3x

 

3t 2

 

 

2e2y

 

5t 4

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

e3x e2y

e3x e2y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При t0 = 1 получаем, что x 13 1;

y 15

1

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

3e31

 

 

3 12

 

 

2e2 1

 

5 14

 

3e3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

t 1

 

e31 e2 1

e31 e2 1

e3 e2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

du

 

 

 

9e3

10e2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

e3

e2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2e2

5

9e3

10e2

e3 e2

e3 e2

 

 

6. Вычислить значения частных производных функции z(x, y) заданной неявно, в данной точке M0(x0, y0, z0) с точностью до двух знаков после запятой.

6.0 x3 + y3 + z3 – xyz = 2, M0(1, 1, 1)

В данном случае F x, y, z x3 y3 z3 xyz 2, поэтому

F

x3

y3

z3

xyz 2 x

3x3 1

yz 3x 2

yz

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

x3

y3

z3

xyz 2 y

3y3 1

xz 3y2

xz

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

x3

y3

z3

xyz 2 z

3z3 1

xy 3z2

xy

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, по формулам

 

 

Если уравнение F x, y, z 0

задает функцию двух переменных z x, y в неявном виде и Fz x, y, z 0 ,

то справедливы формулы:

x, y, z

 

 

 

z

 

F x, y, z

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

Fy

 

 

 

 

 

x

 

,

 

 

 

 

,

 

 

x

F x, y, z

 

y

F x, y, z

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

Тогда

 

z

 

3x 2 yz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3z2 xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

3y2 xz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

3z2 xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисляем значения

 

z

и

 

z

 

в точке M0(1, 1, 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1, 1, 1

3 12 1 1

 

3 1

1

z 1, 1, 1

 

3 12 1 1

 

3 1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

3 12 1 1

3 1

 

y

 

 

3 12 1 1

3 1

 

Ответ:

z 1, 1, 1

z

1, 1, 1 1,

z 1, 1, 1 z

1, 1, 1 1

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

y