Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1260 вузов, 4603 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
fizmathim.ru Решаю задачи по высшей математике. Фотографии решенных заданий по высшей математике https://fizmathim.ru/photo/ Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова
Предмет:
Математика
Файл:

ИДЗ 2.2 Рябушко пример решения

.pdf
Скачиваний:
305
Добавлен:
20.02.2017
Размер:
248.21 Кб
Скачать
☆

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

ИДЗ 2.2 – Вариант 0

1. Даны векторы a,b и c. Необходимо: а) вычислить смешанное произведение трех векторов; б) найти модуль векторного произведения; в) вычислить скалярное произведение двух векторов; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора; д) проверить, будут ли компланарны три вектора.

1.0 a = 3i – 2j + k, b = 3i – 5j – k, c = 2i + 4j – 3k; а) 2a, –2b, c; б) b, –2c; в) 4a, 2c; г) 2b, c; д) a, –3b, 2c.

а) вычислить смешанное произведение трех векторов 2a, –2b, c;

Так как, то

2a = 6i – 4j + 2k,

–2b = –6i + 10j + 2k, c = 2i + 4j – 3k

Вычисляем по правилу треугольника:

a

11

a12

a13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a12a 23a 31 a 21a 32a13 a13a 22a 31 a12a 21a 33 a 23a 32a11

a

21

a 22

a 23

 

11a 22a 33

 

 

a 32

a 33

 

 

 

 

a 31

 

 

 

 

Находим смешанное произведение

 

 

 

 

 

6

4

2

2a ( 2b) c 6

10

2 6 10 ( 3) ( 4) 2 2 2 ( 6) 4

 

 

 

 

 

2

4

3

2 10 2 6 2 4 ( 4) ( 6) ( 3) 180 16 48 40 48 72 260

б) найти модуль векторного произведения b, –2c

Поскольку

b = 3i – 5j – k,

–2c = –4i – 8j + 6k

Векторное произведение a b выражается через координаты данных векторов а и b следующим образом:

 

i

j

k

 

 

 

y

 

z

 

 

x

 

z

 

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b

x1

y1

z1

 

 

 

 

 

1

 

1

,

 

1

 

1

,

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

z2

 

x 2

z2

 

x 2

y2

 

 

x 2

y2

z 2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим векторное произведение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

j

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b ( 2c)

3

5

1

 

( 30 8)i 18 4 j 24 20 k 38i 14 j 44k

 

 

4

8

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

модуль векторного произведения :

b ( 2c) 38 2 ( 14)2 ( 44)2 1444 196 1936 3576

в) вычислить скалярное произведение двух векторов 4a, 2c

Находим

4a = 12i – 8j + 4k,

2c = 4i + 8j – 6k

Скалярное произведение двух векторов находим по формуле

a b x1x 2 y1y2 z1z2

Скалярное произведение двух векторов:

4a 2c 12 4 ( 8) 8 4 ( 6) 48 64 24 40

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора 2b, c

Так как 2b = 6i – 10j – 2k, c = 2i + 4j – 3k

и

6

 

10

 

2

, то векторы 2b и c не коллинеарны,

2

 

4

3

 

 

 

 

поскольку

2b c 6 2 ( 10) 4 ( 2) ( 3) 12 40 6 22 0 , то векторы 2b и c неортогональны.

д) проверить, будут ли компланарны три вектора a, –3b, 2c.

Векторы a, b, c компланарны, если abc=0. Вычисляем a = 3i – 2j + k,

–3b = –9i + 15j + 3k, 2c = 4i + 8j – 6k

3

2

1

 

a ( 3b) 2c 9

15

3

3 15 ( 6) ( 2) 3 4 1 ( 9) 8

4

8

6

 

1 15 4 3 3 8 ( 2) ( 9) ( 6) 270 24 72 60 72 108 390

т.е. векторы a, –3b, 2c не компланарны.

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

2. Вершины пирамиды находятся в точках A, B, C и D. Вычислить: а) площадь указанной грани; б) площадь сечения, проходящего через середину ребра l и две вершины пирамиды; в) объем пирамиды

ABCD.

2.0 A(2, –3, –1), B(–3, 1, 4), C(3, 2, 5), D(–2, –4, 3); а) ACD; б) l=AB, C и D

а) площадь указанной грани ACD

Известно, что SACD 12 AC AD Находим:

AC 1; 5; 6 AD 4; 1; 4

Векторное произведение a b выражается через координаты данных векторов а и b следующим образом:

 

 

 

 

i

j

k

 

 

 

y

 

z

 

 

x

 

z

 

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b

x1

y1

z1

 

 

 

 

1

 

1

,

 

1

 

1

,

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

z2

 

x 2

z2

 

x 2

y2

 

 

 

 

 

x 2

y2

z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисляем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

j

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(20 6)i 4 24 j 1 20 k 26i 28j 19k

AC AD

1

5

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

4

1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Модуль вектора определяем выражением

a x12 y12 z12

AC AD 262 ( 28)2 192 676 784 361 1821

Окончательно имеем:

 

1

 

 

 

1

 

SACD

 

1821

42,67 21,34

2

2

 

 

 

 

 

б) площадь сечения, проходящего через середину ребра AB и две вершины пирамиды C и D;

A(2, –3, –1), B(–3, 1, 4), C(3, 2, 5), D(–2, –4, 3);

Находим точку середины ребра BD

x A x B

 

yA yB

 

zA zB

2 ( 3)

 

3 1

 

1 4

 

 

1

 

3

K

 

;

 

;

 

; K

 

;

 

;

; K

 

 

; 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

2

 

 

2

 

2

 

2

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

KC

 

 

 

; 3;

 

 

 

 

3,5; 3; 3,5

KD

 

 

; 3;

 

1,5; 3; 1,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

Площадь сечения находим по формуле:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sceч

 

KC KD

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

j

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3,5

(4,5 10,5)i 5,25 5,25 j 10,5 4,5 k 15i 10,5j 6k

KC KD

 

3,5

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,5

3

1,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М одуль равен :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

152

( 10,5)2 ( 6)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

KC KD

 

 

 

 

225 110,25 36 371,25

Sceч

 

1

 

 

 

 

 

19,26

9,63

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

371,25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

в) объем пирамиды ABCD

Поскольку Vпир 16 AB AC AD AB 5; 4; 5

AC 1; 5; 6 AD 4; 1; 4

Находим смешанное произведение векторов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

4

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

6

5 5 4 4 6 ( 4) 5 1 ( 1) 5 5 ( 4) ( 5) 6 ( 1) 4 1 4

AB

AC

AD

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

1

4

 

 

 

 

 

100 96 5 100 30 16

 

147

 

147

 

 

Тогда объем пирамиды ABCD

 

 

V

1

147

49

24,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пир

6

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

3. Сила F приложена к точке А. Вычислить: а) работу силы F в случае, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку В; б) модуль момента силы F относительно точки В.

3.0 F = (3, –2, 1), A(3, 3, 2), B(5, 1, –3)

а) работу силы F в случае, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку В;

Так как A F s,

s AB 5 3, 1 3, 3 2 2, 2, 5 , то

A F AB 3 2 ( 2) ( 2) 1 ( 5) 6 4 5 5 A 5

б) модуль момента силы F относительно точки В.

Момент силы M BA F, BA 2, 2, 5

Векторное произведение a b выражается через координаты данных векторов а и b следующим образом:

 

 

 

i

j

k

 

 

 

y

 

z

 

 

x

 

z

 

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a b

x1

y1

z1

 

 

 

1

 

1

,

 

1

 

1

,

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

z2

 

x 2

z2

 

x 2

y2

 

 

 

 

x 2

y2

z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисляем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

j

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2 10)i 2 15 j 4 6 k 12i 17 j 2k

BA F

2

2

5

 

3

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Модуль определяем выражением

a x12 y12 z12

Следовательно модуль момента силы F относительно точки В.

M BA F 122 172 ( 2)2 144 289 4 437 20,9

Соседние файлы в предмете Математика
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности