Добавил:
fizmathim.ru Решаю задачи по высшей математике. Фотографии решенных заданий по высшей математике https://fizmathim.ru/photo/ Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ИДЗ 3.1 Рябушко пример решения

.pdf
Скачиваний:
342
Добавлен:
20.02.2017
Размер:
218.55 Кб
Скачать

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

ИДЗ 3.1 – Вариант 0

Даны четыре точки A1(x1, y1, z1), A2(x2, y2, z2), A3(x3, y3, z3), A4(x4, y4, z4)

Составить уравнения:

а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;

г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2;

д) плоскости, проходящей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2. Вычислить:

е) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;

ж) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью А1А2А3;

1.0 A1(2, −3, 5), A2(6, 8, −3), A3(2, 6, −4), A4(8, 4, 7)

а) уравнение плоскости А1А2А3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x1

y y1

 

 

 

 

 

 

 

Используя формулу уравнения плоскости по трем точкам

x 2 x1

y2

y1

 

 

 

 

 

 

 

x 3 x1

y3

y1

уравнение плоскости А1А2А3:

 

 

 

 

 

 

x 2

y 3

z 5

x 2

y 3

z 5

 

 

 

 

6 2

8 3

3 5 0 4

11

8

0

 

 

2 2

6 3

4 5

0

9

9

 

 

 

 

(x 2) 99 72 (y 3) 36 0 z 5 36 0 0

27 x 2 36(y 3) 36 z 5 0

27x 54 36y 108 36z 180 0

27x 36y 36z 18 0

3x 4y 4z 2 0 уравнение плоскости A1A 2 A3

z z1

z 2 z1 0 , составляем z3 z1

б) прямой А1А2

Учитывая уравнения прямой, проходящей через две точки, уравнения А1А2 можно записать в виде

x x1

 

 

y y1

 

 

z z1

, получаем:

 

 

 

 

 

 

 

x 2 x1

 

 

y2 y1

 

z2 z1

x 2

 

y 3

 

z 5

, тогда

6 2

8 3

 

 

 

 

 

3

5

x 2

 

y 3

 

z

5

уравнение прямой A1A2

4

 

 

 

 

11

 

8

в) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3

Из условия перпендикулярности прямой А4М и плоскости А1А2А3 следует, что в качестве направляющего вектора s можно взять нормальный вектор n 3, 4, 4 плоскости А1А2А3. Тогда

уравнение прямой А4М с учетом уравнений

x x 0

 

y y0

 

z z0

, запишется в виде

k

l

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 8

 

y 4

 

z 7

 

 

 

 

 

 

 

3

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2;

4, 11, 8

Так как прямая А3N параллельная прямой А1А2, то их направляющие векторы s1 s2

Следовательно, уравнение прямой А3N имеет вид

 

 

x 2

 

y 6

 

z 4

 

 

 

 

 

8

 

4

11

 

 

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

д) плоскости, проходящей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.

Т.к. искомая плоскость перпендикулярна прямой A1A2, то её нормальным вектором будет

A1A2 4, 11, 8

Получаем уравнение:

4 x 8 11 y 4 8 z 7 0 4x 32 11y 44 8z 56 0 4x 11y 8z 20 0

е) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3

Уравнение прямой А1А4

x 2

 

y 3

 

z 5

, тогда

8 2

4 3

7 5

 

 

 

x 2

 

y 3

 

z 5

 

 

 

 

 

 

6

7

2

 

 

3x 4y 4z 2 0 уравнение плоскости A1A2A3

По формуле sin

 

 

 

 

 

Ak Bl Cm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вычисляем угол между прямой и плоскостью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2 B2 C2

 

k 2 l2 m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

3 6 ( 4) 7 ( 4) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18 28 8

 

 

 

18

 

0,298

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6,403 9,43

 

 

32 ( 4)2 ( 4)2 62

72

22

 

 

9 16

16

36

49 4

arcsin 0,298 17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ж) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью А1А2А3;

 

Согласно формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сos

n1

 

 

n 2

 

 

 

 

x1x 2 y1y2 z1z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n1

 

 

 

n 2

 

 

 

 

x12 y12 z12

 

x 22 y22 z 22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n1 0, 0, 1 ; n 2 3, 4, 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим косинус угла между плоскостью Oxy и плоскостью A1A 2 A3

 

 

 

сos

 

 

 

 

 

 

 

0 3 0 ( 4) 1 ( 4)

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

4

0,625

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6,403

 

 

 

 

 

02 02

12

 

 

 

32 ( 4)2 ( 4)2

 

41

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

2. Решить следующие задачи

2.0 Написать уравнение плоскости проходящей через точки С(0;1;2) Д(−5;2;3) Е(1; −2;1)

Решение:

Используя формулу уравнения плоскости по трем точкам

 

 

 

 

 

 

x x С

 

y yС

z zС

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x Д x С

yД yС

zД zС

0 ,

 

 

 

 

 

x Е x С

yЕ yС

zЕ zС

 

составляем уравнение плоскости СДЕ:

 

 

 

 

x 0

y 1

z 2

 

x y 1

z 2

 

 

 

 

 

5 0

2 1

3 2

0

5

1

1

0

 

1 0

2 1 1 2

 

1

3

1

 

x 1 1 1 3 (y 1) ( 5) 1 1 1 z 2 ( 5) 3 1 1 0

x 1 3 (y 1) 5 1 z 2 15 1 0

 

 

 

2x

4(y 1) 14 z 2 0

 

 

 

 

 

2x

4y 4 14z 28 0

 

 

 

 

 

2x

4y 14z 24 0

 

 

 

 

 

x 2y 7z 12 0 уравнение плоскости СДЕ

 

 

 

Ответ:

x 2y 7z 12 0 уравнение плоскости СДЕ

3. Решить следующие задачи

3.0 Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М(−4; −2; 5) и перпендикулярно вектору АВ, если А (3; −3; −7), В (9; 3; −7)

Решение:

Вектор AB 9 3, 3 ( 3), 7 ( 7) 6, 6, 0

Он является нормальным искомой плоскости. n A, B, C AB 6, 6, 0

Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется ее нормальным вектором. Уравнение определяет плоскость, проходящую через точку и M0 x0 , y0 , z0 имеющей

нормальный вектор n A, B, C

A x x0 B y y0 C z z0 0

Подставляем данные, получаем:

6 x 4 6 y 2 0 z 5 0 6x 24 6y 12 0

6x 6y 36 0 x y 6 0

Ответ: x y 6 0