ИДЗ 3.1 Рябушко пример решения
.pdfНаш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
ИДЗ 3.1 – Вариант 0
Даны четыре точки A1(x1, y1, z1), A2(x2, y2, z2), A3(x3, y3, z3), A4(x4, y4, z4)
Составить уравнения:
а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1А2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3;
г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2;
д) плоскости, проходящей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2. Вычислить:
е) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3;
ж) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью А1А2А3;
1.0 A1(2, −3, 5), A2(6, 8, −3), A3(2, 6, −4), A4(8, 4, 7)
а) уравнение плоскости А1А2А3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x x1 |
y y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Используя формулу уравнения плоскости по трем точкам |
x 2 x1 |
y2 |
y1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 3 x1 |
y3 |
y1 |
уравнение плоскости А1А2А3: |
|
|
|
|
|
|
|||
x 2 |
y 3 |
z 5 |
x 2 |
y 3 |
z 5 |
|
|
|
|
6 2 |
8 3 |
3 5 0 4 |
11 |
8 |
0 |
|
|
||
2 2 |
6 3 |
4 5 |
0 |
9 |
9 |
|
|
|
|
(x 2) 99 72 (y 3) 36 0 z 5 36 0 0
27 x 2 36(y 3) 36 z 5 0
27x 54 36y 108 36z 180 0
27x 36y 36z 18 0
3x 4y 4z 2 0 уравнение плоскости A1A 2 A3
z z1
z 2 z1 0 , составляем z3 z1
б) прямой А1А2
Учитывая уравнения прямой, проходящей через две точки, уравнения А1А2 можно записать в виде
x x1 |
|
|
y y1 |
|
|
z z1 |
, получаем: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x 2 x1 |
|
|
y2 y1 |
|
z2 z1 |
|||||||
x 2 |
|
y 3 |
|
z 5 |
, тогда |
|||||||
6 2 |
8 3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
3 |
5 |
||||||||
x 2 |
|
y 3 |
|
z |
5 |
уравнение прямой A1A2 |
||||||
4 |
|
|
|
|||||||||
|
11 |
|
8 |
в) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2А3
Из условия перпендикулярности прямой А4М и плоскости А1А2А3 следует, что в качестве направляющего вектора s можно взять нормальный вектор n 3, 4, 4 плоскости А1А2А3. Тогда
уравнение прямой А4М с учетом уравнений |
x x 0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
, запишется в виде |
|||||||
k |
l |
m |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 8 |
|
y 4 |
|
z 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
г) прямой А3N, параллельной прямой А1А2; |
4, 11, 8 |
||||||
Так как прямая А3N параллельная прямой А1А2, то их направляющие векторы s1 s2 |
|||||||
Следовательно, уравнение прямой А3N имеет вид |
|
||||||
|
x 2 |
|
y 6 |
|
z 4 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|||
4 |
11 |
|
|
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
д) плоскости, проходящей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2.
Т.к. искомая плоскость перпендикулярна прямой A1A2, то её нормальным вектором будет
A1A2 4, 11, 8
Получаем уравнение:
4 x 8 11 y 4 8 z 7 0 4x 32 11y 44 8z 56 0 4x 11y 8z 20 0
е) синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3
Уравнение прямой А1А4
x 2 |
|
y 3 |
|
z 5 |
, тогда |
||
8 2 |
4 3 |
7 5 |
|||||
|
|
|
|||||
x 2 |
|
y 3 |
|
z 5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
6 |
7 |
2 |
|
|
3x 4y 4z 2 0 уравнение плоскости A1A2A3
По формуле sin |
|
|
|
|
|
Ak Bl Cm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вычисляем угол между прямой и плоскостью |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
A2 B2 C2 |
|
k 2 l2 m2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
sin |
|
|
|
|
|
|
|
3 6 ( 4) 7 ( 4) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 28 8 |
|
|
|
18 |
|
0,298 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6,403 9,43 |
|||||||||
|
|
32 ( 4)2 ( 4)2 62 |
72 |
22 |
|
|
9 16 |
16 |
36 |
49 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
arcsin 0,298 17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ж) косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью А1А2А3; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Согласно формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
сos |
n1 |
|
|
n 2 |
|
|
|
|
x1x 2 y1y2 z1z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n1 |
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
x12 y12 z12 |
|
x 22 y22 z 22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n1 0, 0, 1 ; n 2 3, 4, 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Находим косинус угла между плоскостью Oxy и плоскостью A1A 2 A3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сos |
|
|
|
|
|
|
|
0 3 0 ( 4) 1 ( 4) |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
0,625 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6,403 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
02 02 |
12 |
|
|
|
32 ( 4)2 ( 4)2 |
|
41 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
2. Решить следующие задачи
2.0 Написать уравнение плоскости проходящей через точки С(0;1;2) Д(−5;2;3) Е(1; −2;1)
Решение:
Используя формулу уравнения плоскости по трем точкам
|
|
|
|
|
|
x x С |
|
y yС |
z zС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x Д x С |
yД yС |
zД zС |
0 , |
|||
|
|
|
|
|
x Е x С |
yЕ yС |
zЕ zС |
|
|||
составляем уравнение плоскости СДЕ: |
|
|
|
||||||||
|
x 0 |
y 1 |
z 2 |
|
x y 1 |
z 2 |
|
||||
|
|
|
|||||||||
|
5 0 |
2 1 |
3 2 |
0 |
5 |
1 |
1 |
0 |
|||
|
1 0 |
2 1 1 2 |
|
1 |
3 |
1 |
|
||||
x 1 1 1 3 (y 1) ( 5) 1 1 1 z 2 ( 5) 3 1 1 0 |
|||||||||||
x 1 3 (y 1) 5 1 z 2 15 1 0 |
|
|
|
||||||||
2x |
4(y 1) 14 z 2 0 |
|
|
|
|
|
|||||
2x |
4y 4 14z 28 0 |
|
|
|
|
|
|||||
2x |
4y 14z 24 0 |
|
|
|
|
|
|||||
x 2y 7z 12 0 уравнение плоскости СДЕ |
|||||||||||
|
|
|
Ответ: |
x 2y 7z 12 0 уравнение плоскости СДЕ |
3. Решить следующие задачи
3.0 Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М(−4; −2; 5) и перпендикулярно вектору АВ, если А (3; −3; −7), В (9; 3; −7)
Решение:
Вектор AB 9 3, 3 ( 3), 7 ( 7) 6, 6, 0
Он является нормальным искомой плоскости. n A, B, C AB 6, 6, 0
Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется ее нормальным вектором. Уравнение определяет плоскость, проходящую через точку и M0 x0 , y0 , z0 имеющей
нормальный вектор n A, B, C
A x x0 B y y0 C z z0 0
Подставляем данные, получаем:
6 x 4 6 y 2 0 z 5 0 6x 24 6y 12 0
6x 6y 36 0 x y 6 0
Ответ: x y 6 0