Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4603 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
fizmathim.ru Решаю задачи по высшей математике. Фотографии решенных заданий по высшей математике https://fizmathim.ru/photo/ Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова
Предмет:
Математика
Файл:

ИДЗ 11.4 Рябушко пример решения

.pdf
Скачиваний:
87
Добавлен:
20.02.2017
Размер:
273.13 Кб
Скачать
☆

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

ИДЗ 11.4 – Вариант 0.

1. Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения.

1.0 y΄΄΄+ 4y΄ = 0, y(0) = 0, y΄(0) = 4, y΄΄(0) = −8

Составляем характеристическое уравнение и решаем его: k 3 4k 0

k k 2 4 0 k 0

k 2 4 0 k 2 4

k 2i

Общее решение однородного уравнения запишется в виде: y C1 C2 cos 2x C3 sin 2x

Находим

y 2C2 sin 2x 2C3 cos 2x y 4C2 cos 2x 4C3 sin 2x

Используя начальные условия y(0) = 0, y΄(0) = 4, y΄΄(0) = −8, составляем систему для определения

C1 , C2 , C3 и решаем ее:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C C

 

cos 2 0 C

 

 

sin 2 0 0

C C

 

0

C

 

2 0

C

 

2

1

 

 

2

 

 

3

 

 

1

 

2

 

1

2

1

2

2C

2 sin 2 0 2C3 cos 2 0 4

2C3 4

 

C3

C3

 

 

cos 2 0 4C

 

 

sin 2 0 8

 

4C

 

8

 

 

2

 

 

2

4C

2

3

 

2

C

2

C

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частное решение исходного уравнения имеет вид y 2 2cos 2x 2sin 2x

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

2. Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами: а) сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка; б) с помощью характеристического уравнения.

x 2x 9y

2.0

y x 2y

а) Дифференцируем первое уравнение данной системы.

Получаем: x 2x 9y . Затем заменяем в последнем уравнении y его выражением из второго уравнения данной системы: x 2x 9 x 2y 2x 9x 18y

В последнем уравнении y заменяем выражением y x 2x , найденным из первого уравнения системы.

9

В итоге приходим к дифференциальному уравнению второго порядка относительно неизвестной функции x(t):

x 2x 9x 18

x 2x

 

2x 9x 2x 4x 4x 5x

 

 

 

 

9

 

 

x 4x 5x 0

 

 

Составляем характеристическое уравнение и решаем его: k 2 4k 5 0

D b

2 4ac 16 4 1 5 16 20 36

 

(D 0)

 

 

b

 

 

4 6

 

 

4 6

 

k1,2

 

D ; k1

5;

k 2

1

2a

2

2

 

 

 

 

 

 

 

Общее решение однородного уравнения запишется в виде:

x C1ek1t C2ek2t

Следовательно x C1e5t C2e t

Отсюда находим x 5C1e5t C2e t

Подставляя полученные выражения для x и x’ в y

x 2x

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5C e5t

C

2

e t

2C e5t

2C

2

e t

 

3C e5t

3C

2

e t

1

 

C e5t

 

1

 

 

 

e t

y

 

1

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

3

 

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, искомым решением являются функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x C e5t

C e t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

C1e5t

1

C2e t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

 

2 k

9

 

2

k 2 k 9

4 2k 2k k 2

9 k 2

4k 5 0

 

 

 

1

2 k

 

 

 

 

 

 

 

 

Корни уравнения k1 5; k 2 1

Так как характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, то общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид

x t C1 1ek1t C2 2 ek2t

y(t) C1 1ek1t C2 2 ek2t

Коэффициенты в показателях экспонент k1 ; k 2 нам уже известны, осталось найти коэффициенты

1 , 1 , 2 , 2

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

Корню k1 5 соответствует система для вычисления

 

2 5

9

 

0

 

 

3 9

 

0 или

3 1 9 1 0

 

 

 

 

 

1

2 5

 

 

1

3

 

 

1 3 1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

Из обоих уравнений следует одно и то же равенство: 1 13 1

Теперь нужно подобрать наименьшее значение 1 .

При 1 1;

1

 

1

1

1

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

Корню k 2

1 соответствует система для вычисления

 

2 1 9

 

 

0

 

 

3

9

 

0

3 2 9 2 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

1 2

1

 

 

 

 

 

1

3

 

 

 

2 3 2 0

Из обоих уравнений следует одно и то же равенство: 2 13 2

При 2

 

1; 2

 

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В итоге получаем:

 

 

 

 

 

x t

C e5t

C

 

e t

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

y(t)

 

1

C e5t

 

1

C

 

e t

 

 

 

2

 

3

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных постоянных.

3.0 y′′ + 3y′ + 2y = e−x· 1

ex 2

Решаем соответствующее однородное уравнение:

k 2 3k 2 0

 

 

 

 

 

 

 

D b2 4ac 9 4 1 2 9 8 1

(D 0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k1,2 b D

;

k1

3 1

1;

k1

3 1

2

2a

 

 

2

 

 

2

 

Общее решение однородного уравнения запишется в виде:

~

y C1ek1x C2ek2x

Следовательно

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y C e x C

2

e 2x

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Считаем, что С1

 

и С2 - функции от x, т.е.

y C x e x C

2

x e 2x

 

1

 

 

 

 

 

 

 

Определяем C1 x

 

и C2 x из системы

 

x y1

 

 

x

y2

0

C1

C2

C

x y

C

 

x

y

f x

1

1

2

 

 

 

 

2

 

Которая, для данного уравнения имеет вид

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

C

x e x C x e 2x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C x e x

2C

x e 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

x C x e x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C x 2C

x e x

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2e x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x

 

 

 

2e x

( e x ) e x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2e x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

e x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

x

 

 

 

 

 

 

e

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2e

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

ex 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

2

 

 

 

 

e

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

ex 2

 

e

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим C

x

,

C

x , а затем C

2

x

,

C

 

x :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex

C

x

 

e

x

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

x

2

 

 

e

x

 

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x ex 2

ex 2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x

 

 

ex 2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

dx

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

x

n

ex 2

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

ex

 

 

 

 

 

 

 

ex 2 t

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nt C

2

n

ex 2

C

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex

2

 

 

 

dt ex dx

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

Следовательно, согласно формуле y y y *, общее решение исходного уравнения имеет вид:

 

 

1

 

1

 

 

e x n

 

ex 2

 

C

 

e 2x

y

x

n

ex 2

C

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или y C1e x C2e 2x 12 xe x 12 n ex 2 e x n ex 2 e 2x

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

4. Решить следующие задачи.

4.0 Записать уравнение кривой, проходящей через точку А(3, 8) и обладающей следующим свойством: длина отрезка, отсекаемого на оси ординат любой касательной, равна утроенной абсциссе точки касания.

Решение:

По условию: OA 3x Найдем ОА: OA y y x

Тогда y y x 3x y x y 3x y

y

3

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Имеем:

 

y u u ,

y u

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u u

 

u

3

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M x; y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

u u

 

 

 

3

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

Находим функцию x

из условия x 0

 

 

 

d

 

 

 

 

d

 

 

dx

 

 

 

0

x

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

x

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n nx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляем полученное выражение для x в уравнение (1)

 

 

u x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

3 du 3 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

du 3 dx x

Тогда

u 3 nx C

Общее решение: y x 3 nx C

Учитываем, что кривая проходит через точку А(3, 8)

8 3 3 n3 C 8 9 n3 3С С

 

8 9 n3

С

8

 

3 n3

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

В итоге

y x

3 nx

 

 

3 n3 или

y

3x nx

 

 

3 n3 x

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 
Соседние файлы в предмете Математика
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности