30. Нормальное напряжение при плоском изгибе прямого стержня

Продольное усилие

При выводе расчетных формул для определения нормального напряжения, делается следующее предположение: продольная ось не меняет своей длинны при изгибе, продольные линии изгибаются по радиусу. Контуры поперечных сечений плоские до нагружения остаются плоскими и после нагружения; линии контура сечений всюду перпендикулярны продольной оси.

Существует слой, который не меняет своей длинны при изгибе- он называется нейтральным слоем.

При пересечении нейтрального слоя поперечным сечением, получаем нейтральную линию.

При плоском изгибе нейтральный слой оказывается перпендикулярным силовой плоскости и значит нейтральная линия перпендикулярна к силовой линии сечения.

Выберем теперь двумя поперечными сечениями элемент балки длинной dx.

Относительная деформация волокна равна разности между длинами волокон

ab=dx

Рассмотрим волокно a₀b₀, принадлежащее нормальному слою, его длина равняется отрезкуdx, после деформации отрезок превращается в дугуa₀’b₀’=

Волокно нейтрального слоя не меняет своей длины при деформации => dx=, подставляя это выражение в формулу для относительной деформации

по закону Гука, сравнивая эти выражения =>, здесь у- расстояние от нейтральной линии до точки, где определяется это напряжение, подставляя это выражение в выражение для момента:

,

В случаи поперечного изгиба расчет нормальных напряжений производится по той же формуле, что и для чистого изгиба, поскольку разница в результатах практически нулевая, а возникающее касательное напряжение может достигать больших величин, и определяется при изгибе с помощью формул Журавского.

31. Определение касательного напряжения при поперечном изгибе

При поперечном сечении поперечные усилия Qи изгибающие моменты, возникает не только нормальное, но и касательное напряжение

Вывод формулы для определения касательных напряжений рассмотрим на балке с поперечным сечением

;

1. Касательное напряжение всюду параллельно поперечным усилиям

2. Во всех точках сечения на постоянном уровне y, касательные напряженияодинаковы

3. Касательные напряжения по ширине постоянны и зависят от расстояний точки до нейтральной линии.

Эти предположения справедливы в том случае, если ширина сечения bзначительно меньше, чемh.

Отмечаем часть элемента балки проведя горизонтальную плоскость mmна расстоянии у от нейтральной линии

На гранях A₁A₂m₂m₁,C₁C₂n₂n₁ иA₁A₂C₂C₁ напряжений никаких нет, т.к. эти грани являются частью наружной поверхности балки.

Необходимо вычислить равнодействующую нормальных напряжений распределенных по грани A₁C₁m₁n₁на элементарную площадкуdF=bd, проведенную параллельно осиzна расстоянииот нее действует нормальная осевая сила

32. Стат момент площади, заключенной между уровнемYи наружным краем балки

Аналогично на грани A₂C₂n₂m₂равнодействующая нормальных напряжений отбудет равняться:

величина статического момента отсеченной плоскости будет такой же, как и в предыдущем выражении.

В грани n₁n₂m₁m₂действует нормальное напряжение, поскольку при поперечном изгибе волокна давят друг на друга, но этими напряжениями пренебрегают как несущественными для расчета на прочность.

Кроме того согласно закону парности касательных напряжений, возникают касательные напряжения в перпендикулярном направлении по ЗПКН

Т.к. длина грани n₁n₂m₁m₂ мала, т.е. равнаdx, можно считать, что-равномерно распределены по этой грани.

Условие равновесия параллелепипеда: a₁a₂c₂c₁n₁n₂m₂m₁

Если разделить полученное равенство на bdx, то :- Формула Журавского,

Которая позволяет определить величину касательного напряжения при поперечном изгибе на любом уровне поперечного сечения