33. Ламинарный режим движения. Распределение скорости жидкости по сечению потока.

При ламинарном движении жидкости в цилиндрической трубе распределение скоростей по сечению имеет вид параболы и схематически изображается телескопическим (рис.): у стенок трубы скорости равны нулю, а при удалении плавно возрастают и достигают максимального значения на оси трубы. Определим закон распределения скоростей в живом сечении потока при ламинарном режиме. Для этого выделим внутри горизонтального трубопровода объем жидкости в виде цилиндра радиусом (рис.) и длиной и составим уравнение равновесия всех действующих сил:

, где – разность сил давления в сечениях 1 и 2; – сила трения на боковой поверхности цилиндра. Знак минус в формуле Ньютона взят потому, что градиент отрицателен, поскольку с увеличением радиуса скорость убывает. При равномерном движении жидкости, при котором все живые сечения по длине потока одинаковы как по форме, так и по размерам, и скорости в соответственных точках живых сечений также одинаковы. Таким образом, скорость является функцией исключительно одного радиуса: C учетом гидравлического уклона получим: . Интегрируя по сечению трубы от до :

учитывая, что при скорость , тогда, получим закон распределения скоростей в живом сечении потока:

Для центральной струйки при :. Расход жидкости через трубу при ламинарном движении численно равен объему параболоида скорости и определяется из выражения

, отсюда средняя скорость а соотношение между максимальной и средней скоростью Отсюда закон распределения скоростей может быть записан таким образом:

34. Определение расхода жидкости и средней скорости ламинарного потока.

Рассмотрим движение вязкой жидкости в круглой трубе радиусом R при установившемся ламинарном режиме. Выделяя в потоке цилиндрический объем жидкости длиной и произвольным радиусом(рис.), из условия динамического равновесия получим, что разность сил давления, приложенных к выделенному объему в сечениях 1-1 и 2-2, уравновешивается силами трения, возникающими на его боковой поверхности, где и –давление в центрах сечений 1-1 и 2-2. Из уравнения энергетического баланса напоров для рассматриваемого случая, следует, что потери на трение по длине определяются зависимостьюИз выражения следует, что касательные напряжения в сечении потока распределяются линейно Решая совместно (4) и (1), получаем дифференциальное уравнение, определяющее скорость как функцию радиуса : Интегрируя уравнение с учетом граничного условия (при) получаем параболический закон распределения скоростей (рис.) по сечению круглой трубы

Скорость имеет максимальное значение на оси трубы, когда : Сопоставляя зависимости, находим закон Стокса, выражающий параболическое распределение скоростей в сечении трубопровода при ламинарном движении

Подсчитав расход жидкости суммированием расходов через элементарные кольцевые площадки толщиной (рис.) сечения потока, находится средняя скоростьОтсюда следует, что средняя скорость потока при ламинарном режиме равна половине максимальной. Расход жидкости в круглой трубе при ее ламинарном движении определяется уравнением Пуазейля где– внутренний диаметр трубы.