Модуль 11. Криволинейные и поверхностные интегралы

n

∑ f (ξk ,ηk ,ν k ) Sk .

k=1

Криволинейным интегралом первого рода называется предел интегральных сумм

n

∑ f (ξk ,ηk ,ν k ) Sk

, при

Sk

→ 0 , если он не зависит от способов разбиения кривой γ и

k=1

выбора на ней точки Mk. Пишут

∫

f (x, y, z)dS =

n

f (ξ

,η

,ν

)

S

,

lim

max Sk

→0∑

k

k

k

k

γ

k=1

может быть записана

∫ f (x, y)dS =∫b

f (x, y(x)) 1+ y′2 dx.

γ

a

Пример 1.

Вычислить ∫

dS

, где γ – отрезок прямой

y =

1 x − 2

, заключенного между точками

x − y

γ

2

А(0,-2) и В(4,0).

Решение:

y′ =

1

2

dS

4

1

1 2

4

dx

4

8

∫

= ∫

1

1+

dx = 5∫

=

5ln(x +

5) 0 =

5 ln

= 5 ln 2.

x − y

x +

4

γ

0

x −

x + 2

2

0

4

2

Пример 2.

Вычислить криволинейный интеграл ∫(43

x − 3 y )dS

от точки Е(-1,0) до точки Н(0,1) по

γ

дуге астроиды x = cos3 t ,

y = sin3 t .

Решение:

dx = −3cos2 t sin tdt ; dy = 3sin2 t costdt ; dS =

dx2 + dy2

= 3sin t costdt .

tH =π

π

π

5

I

= ∫2

(4cost − 3 sin3 t )3sin t costdt = −12∫2 cos2 td cost − 9∫2 sin

td sin t = −

46 .

2

tE =π

0

0

7

Пример 3. Вычислить ∫ 2x 2

+ y 2 dl , где L – линия пересечения поверхностей

L

R

2

− 2t

2

≥

0,

t

2

≤

R2

,

t

≤

R

, −

R

≤ t

≤

R

.

2

2

2

2

′

′

′

2t

;

x

(t ) = 1, z (t ) = 1,

y (t ) =

R 2

− 2t 2

4t 2

2Rdt

dl = 1 + 1 +

R 2 − 2t 2 dt =

R 2 − 2t 2 .

Подынтегральная функция примет вид

2x 2 + y 2

= 2t 2 + R 2 − 2t 2 = R .

R

R

R

2

2

∫

2x 2 + y 2 dl = ∫

2R 2

dt

= R 2

∫

dt

= = R 2 arcsin

2t

2

= R 2 π.

R 2 − 2t 2

R2

− t 2

R

−

R

L

− R

2

− R

2

2

2

(Ответ: 24)

2.

∫ ydS , где γ – дуга параболы y2

= 2 px , отсеченная параболой x2 = 2 py .

γ

( Ответ:

p2

(5 5 −1) )

3

x = R cost

3.

∫(x2 + y2 )n dS , где γ – окружность y = Rsin t , t [0,2π ].

γ

z = R

( Ответ: 2πa2n+1 )

4.

∫ xydS , где γ – четверть эллипса, лежащего в первом квадрате.

γ

x = a cost

6.

z2

dS , где γ – первый виток винтовой линии y = a sin t , t [0,2π ].

∫γ x

2

2

+ y

z = at

( Ответ:(

8aπ 3

2

)

3

x = еcost

7.

∫(2x −

x2 + y2 )dS , где γ – первый виток винтовой линии y = еsin t , t [0,2π ].

γ

z = t

2 2

2

3

( Ответ:

(1+ 2π

)

−1 )

3

2

γ

Пример 1.

z = bt,t [0.2π ],

Вычислить массу первого витка винтовой линии x = a cost , y = a sin t ,

если плотность распределения вещества обратно пропорционально квадрату расстояния от

точки кривой до начала координат.

Решение: m = ∫ f (x, y, z)dS, где

f =

k

- плотность распределения вещества;

x

2

+ y

2

+ z

2

γ

k – коэффициент пропорциональности.

m = ∫γ

k

2π

a2 sin2 t + a2 cos2 t + b2

2π

a2 + b2

k

a2 + b2

2π

d(bt)

x2 + y2 + z2 dS = k

∫0

a2 cos2 t + a2 sin2 t + b2t2

dt = k ∫0

a2 + b2t2

dt =

b

∫0 a2 + b2t2

=

=

k a2 + b2 1

arctg

bt

2π

k a2 + b2

arctg

2πb

.

b

a

a

=

ab

a

0

Пример 2.

Найти длину кардиоиды x = 2a cost − a cos 2t , y = 2a sin t − a sin 2t .

Решение:

dl =

x2 + y2 dt = 4a sin

t

dt ; L =

2∫π sin

t

dt = − 8a cos

t

2π

= 16a .

Пример 3.

2

0

2

2

0

Найти массу дуги АВ кривой y = ln x , если в каждой ее точке линейная плотность

пропорциональна квадрату абсциссы точки,

xA = 1,

xB = 3 .

Решение:

y′ = 1

, dl = 1+ ( y′)2 dx = 1+

1

dx , f (x, y, z) = kx2 ;

x

x2

3

2

x2 + 1

k

3

2

1

2

k

2

3 3

k

m = ∫

f (x, y, z)dS =k ∫ x

∫(x

x2

dx = 2

+ 1)2 d (x

+ 1) =

(x

+ 1)2 =

3 (10 10

− 2

2) ≈ 9,6k

3

γ

1

1

1