Добавил:

ota Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тольяттинский государственный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

высшая математика руководство к решению задач часть 3.pdf

Скачиваний:

2554

Добавлен:

26.07.2016

Размер:

835.31 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

u'−			4		u = 0,
			x
		du			=	4u	,
		dx			=		,
		dx				x
∫	du			= 4∫ dx				,
		u				x

ln u = ln x4 , u = x4 ;

u v' = x uv , x4 v' = x x4 v ,

∫	dv	= ∫	dx	,
	v		x

2 v = ln x + C, v = (ln x + C)2 .

60. Запишем общее решение дифференциального уравнения: y = u v,

y = x4 (ln x + c)2 .

Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения y'+2y = y 2 e x , удовлетворяющее начальным условиям y x=0 = 1.

Ответ: y = e− x .

ДУ в полных дифференциалах

Аудиторная работа

Уравнение P( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0 называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть – полный дифференциал некоторой функции u( x, y ),

т.е. P( x, y )dx + Q( x, y )dy = du( x, y ).

Необходимым и достаточным условием полного дифференциала является равенство частных производных ∂∂Py ≡ ∂∂Qx .

Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах имеет вид u( x, y ) = c , где функция

	x	y
u( x, y ) =	∫	P( x, y )dx + ∫ Q( x0 , y )dy;
u( x, y ) может быть найдена по одной из формул:	x0	y0
u( x, y ) может быть найдена по одной из формул:	x		y
	x		y
u( x, y ) =	∫ P( x, y0 )dx +		∫ Q( x, y )dy.
	x0		y0
Пример 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения			y' =	e y
					.
				2y − xe y	.

Решение:

y' =

e y

2y − xe y

e y

− xe y

(2y − xe y )dy = e y dx ,

e y dx + (xe y − 2y)dy = 0 ,

Тогда P( x, y ) = e y , Q( x, y ) = xe y − 2y.

Найдём частные производные:

∂P

∂(e y )

= e

∂Q

∂(xe y − 2y)

= e

∂y

∂x

Так как

∂P

≡

∂Q

= e y , то уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

∂x

∂y

Запишем формулу общего интеграла u( x, y ) = C. u( x, y ) =

∫ P( x, y0

)dx + ∫ Q( x, y )dy.

u(x, y) =

= e y0 x

+ xe y

− y 2

∫ e y0 dx +

∫ (xe y − 2y)dy

= e y0 (x − x0 ) + x(e y − e y0 )= xe y − y 2 − x0 e y0 + y02 .

Запишем общий интеграл уравнения:

xe y − y 2 − x0 e y0 + y02 = C1 ,

xe y − y 2 = C + x

e y0

− y 2 ,

xe y − y 2 = C.

Пример 2. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения

(ln y − 2x )dx +

− 2y dy = 0, удовлетворяющее начальным условиям y(1) = 1.

P( x, y ) = ln y − 2x , Q( x, y ) =

− 2y.

∂

−

∂P

∂(ln y − 2x)

Найдём частные производные:

− 2 ,

∂Q =

− 2..

∂y

∂x

Так как

∂P

≡

∂Q

− 2 , то уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

∂x

∂y

Запишем формулу общего интеграла: u( x, y ) = C. u( x, y ) =

∫ P( x, y0 )dx + ∫ Q( x, y )dy.

u(x, y) =

∫

(ln y

−

2x )dx +

∫

−

2 y dy =( x ln y

− x2

)

+ xlny

− y2

y0 y

= ln y0 (x − x0 ) - (x2

− x02 ) + x(ln y − ln y0 ) − ( y2

− y02 ) = x ln y − x2 - y2

- x0 lny0

+ x02 + y02 .

Запишем общий интеграл уравнения:

x ln y − x2

- y 2

- x0

lny0 + x02 + y02 = C1 ,

x ln y − x2

- y 2

= x

lny

− x2

− y

2 + C

x ln y − x 2 - y 2 = C .

Найдём значение произвольной постоянной. При x = 1, y = 1 получим

ln1 − 1 − 1 = C ,

C = −2 .

Запишем ответ – частное решение уравнения: x ln y − x2 − y 2

Задачи:

1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

sin 2x			sin	2	x
		+ x dx + y −				dy = 0.
		+ x dx + y −		2		dy = 0.
	y		y	2
	y		y

2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

+ 2 = 0.

		sin2 x	+	x2 + y 2		= C.
Ответ:		y			2

xy' cos	y	= y cos		y	− x
	x			x

				sin	y	+ ln	x	= C
					y
					x
		Ответ:
		Ответ:
	y' =	x + y
3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения	y' =	x − y
		x − y

Ответ: arctg			y	= ln C		x2 + y 2
			x

Самостоятельная работа

Если дифференциальная форма M (x, y)dx + N(x, y)dy является полным дифференциалом некоторой функции u, то можно записать:

du = M (x, y)dx + N(x, y)dy =			∂u	dx +	∂u	dy.
du = M (x, y)dx + N(x, y)dy =				dx +		dy.
			∂x		∂y
	∂u	= M (x, y)
		= M (x, y)
Т.е.	∂x	.
	∂u	= N (x, y)
	∂y	= N (x, y)

Найдем смешанные производные второго порядка, продифференцировав первое уравнение по у, а второе – по х:

∂ 2u	=	∂M (x, y)

∂x∂y		∂y

∂ 2u		∂N (x, y)
	=
∂x∂y		∂x

Приравнивая левые части уравнений, получаем необходимое и достаточное условие того, что левая часть дифференциального уравнения является полным дифференциалом. Это условие также называется условием тотальности.

Пример. Решить уравнение (3x2				+ 10xy)dx + (5x2 − 1)dy = 0
Проверим условие тотальности:			∂M	(x, y)	=	∂(3x2 +10xy)	= 10x;
Проверим условие тотальности:			∂y		=	∂y	= 10x;
			∂y			∂y
∂N (x, y)	=	∂(5x2 − 1)	= 10x.
∂x	=	∂x	= 10x.
∂x		∂x

Условие тотальности выполняется, следовательно, исходное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Определим функцию u.

u = ∫ M (x, y)dx + C( y) = ∫(3x2 + 10xy)dx + C( y) = x3 + 5x2 y + C( y);

∂u = 5x2 + C′( y) = N (x, y) = 5x2 − 1;

∂y

C′( y) = −1; C( y) = ∫(−1)dy = − y + C1 ;

Итого, u = x3 + 5x2 y − y + C1.

Находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения:

u= x3 + 5x2 y − y + C1 = С2 ;. x3 + 5x2 y − y = C.

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
26.07.2016399.9 Кб87высшая математика пособие для академических консультантов часть 3.pdf
#
26.07.2016277.65 Кб55высшая математика пособие для преподавателя часть 3.pdf
#
26.07.2016478.99 Кб75высшая математика пособие для студентов часть 3.pdf
#
26.07.2016835.31 Кб2554высшая математика руководство к решению задач часть 3.pdf
#
26.07.2016564.19 Кб139высшая математика Ряды-1.pdf
#
26.07.2016564.19 Кб93высшая математика Ряды.pdf
#
26.07.2016178.67 Кб17высшая математика структура дисциплины часть 3.pdf
#
26.07.2016113.73 Кб17высшая математика структура дисциплины часть 4.pdf
#
26.07.20161.43 Mб98высшая математика теоретический материал часть 3.pdf