Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

Аудиторная работа

Однородные линейные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами.

Однородное линейное уравнение II порядка с постоянными коэффициентами имеет вид у”+ py´ + qy = 0 где p , q – заданные числа.

Общее решение линейного однородного уравнения II порядка есть линейная комбинация частных решений его фундаментальной системы: у = с1у1 + с2у2. Для отыскания фундаментальной системы решений составляют так называемое характеристическое уравнение : k2 + pk + q = 0.

Виды фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения

Пример 1. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения

у” – 13у´ – 30у = 0,

Решение.

у” – 13у´ – 30у = 0 – линейное, однородное, II порядка, с постоянными коэффициентами. Формула общего решения: у = с1у1 + с2у2

Характеристическое уравнение k2 – 13k – 30 = 0 k1=-2, k2= 15 (корни вещественные, различные)

k1=-2 у′ = е−2 х k2=15 у = е15х

Записать общее решение уравнения:

у = с1е-2х + с2е15х

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения у′′ − 14у′ + 49у = 0

21

где c1 (x), c2 (x) - теперь уже функции переменной х, где c1 (x) и c2 (x) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

70. Запишем частное решение у*:

23

y* = x − ln(1 + ex )− e− x ln(1 + ex ), y* = x − (1 + e− x )ln(1 + ex ).

80. Запишем ответ – общее решение уравнения:

Линейные неоднородные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа неопределенных коэффициентов.

Аудиторная работа

Продолжаем рассматривать методы решения уравнения у′′ + ру′ + qу = f ( x ) y = y + y -

общее решение линейного неоднородного уравнения, y = c1 y1 + c2 y2 -общее решения соответствующего однородного уравнения, y''+ py'+ gy = 0 .

Имеются случаи, когда частное решение у* можно найти проще, не прибегая к интегрированию. Речь пойдет о широко применяемых в науке дифференциальных

уравнениях, у которых правая часть носит вид: f (x) = eαx [Px (x) cos βx + Qm (x)sin β (x)], где Px(x), Qm(x) – заданные многочлены одной или разных степеней.

Поставим в соответствие уравнению у′′ + ру′ + qу = f ( x ) с правой частью

f (x) = eαx [Px (x) cos βx + Qm (x)sin β (x)] число α ± βi и назовем его основным параметром уравнения.

Сконструируем функцию вида

y* = eαx [M n (x) cos βx + Nn (x)sin β (x)]xr

где Mn(x), Nn(x) – многочлены степени n = max{k, m}, записанные пока с

неопределенными коэффициентами (отсюда название метода); r – кратность корня характеристического уравнения, равного параметру α ± βi

24

Как видим, конструкция функции у* определяется как формой правой части уравнения – функцией f(x), так и видом левой его части – корнями характеристического уравнения. Доказано, что при соответствующем выборе значений коэффициентов для многочленов Mn(x) и Nn(x) функция у* является частным решением уравнения

В таблице приведены различные формы правой части f(x) (частные случаи α=0, β=0, α=β=0) и соответствующие решения уравнения у*.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

у′′ + у′ = х3 + 1

Решение.

Определить тип уравнения:

у′′ + у′ = х3 + 1 - линейное, неоднородное, II порядка, с постоянными коэффициентами, со специальной правой частью.

Записать формулу общего решения: у= у + у* Найти общее решение однородного уравнения – у :

25

у′′ + 4у′ = 0 ,

k2 + 4k = 0, k1 = 0, k2 = -4 у =c1+c2е-4х

Провести анализ павой части уравнения:

х3 + 1 = е0х((х3 + 1)cos0x + 0·sin0x), α = 0, β = 0, f(x) = P3(x).

Вычислить основной параметр уравнения:

α ± βi = 0

Определить параметр r :

Основной параметр α ± βi = 0 является однократным корнем характеристического уравнения, следовательно, r = 1.

Сконструировать частное решение – у* :

у* = Ms(x)x = (Ax3 + Bx2 +Cx +D) · x.

Вычислить коэффициенты функции у* : а) Найти производные от функции у* :

у* = Ах4 + Bx3 + Cx2 + Dx , (у*)/ = 4Ах3 + 3Bx2 + 2Cx + Dx (у*)//= 12Ах2 + 6Bx + 2C.

б) подставить функцию у* и ее производные в данное уравнение: 16Ах3 + (12А + 12В)х2 + (6В + 8С)х + (2С+4D) = х3 + 1

в) приравнять коэффициенты при подобных членах левой и правой части равенства:

16А = 1.

12А+ 12В = 0.6В + 8С = 0.2С + 4D = 1.

г) Решить систему: А = 161 , В = 161 , С = 643 , D = 12829 .

9.Записать частное решение у* :

у* = 161 х4 - 161 х4 + 643 х2 + 12829 х.

10.Записать ответ – общее решение уравнения: у = с1 + с2е-4х + 161 х4 - 161 х4 + 643 х2 +

12829 х.

Пример 2. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения: у′′ + у = 8sin x , удовлетворяющее условиям у(0) = 1, у/(0) = 0.

Решение.

1.у′′ + у = 8sin x - линейное, неоднородное, II порядка, с постоянными коэффициентами, со специальной правой частью.

2.у= у + у*.- общее решение

3.у′′ + у = 0 ,

26

k2 + 1 = 0, k1,2 = ±i,

x

Ответ: y = c1e− x + c2 e 2 + ex

4. Решить ДУ y''+ y = ex + cos x

Ответ: y = 12 (ex + x sin x)c1 cos x + c2 sin x

27

Самостоятельная работа

Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Нормальная система двух дифференциальных уравнений 1 порядка с двумя неизвестными имеет вид

Решение системы имеет вид:

Нормальная система II порядка допускает общее решение, содержащее две y = ϕ1 (x,c1 ,c2 ),

z = ϕ 2 (x,c1 ,c2 ).

решением системы.

dz = y,

Пример: Найти общее решение системы дифференциальных уравнений dt

dy = 2y.

dt

Имеем простейший случай, когда одно из уравнений – второе – содержит только одну искомую функцию. Решим его:

∫ dyy = 2∫dt.

ln y = 2t + ln c1 , y = c1e2t .

Подставим полученную функцию в первое уравнение системы: dzdt = c1e2t .

∫dz = c1 ∫e2t dt, z = c21 e2t + c2 .

28

Пример. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

dy = −2y,dx

dz − z.

dx

Ответ: y = c1e−2 x ;

z = c e x .

2

В общем случае нормальная система II порядка решается сведением её к равносильному уравнению II порядка относительно одной из искомых функций.

Пример: Найти частное решение системы дифференциальных уравнений

29