Добавил:

ota Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тольяттинский государственный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

высшая математика руководство к решению задач часть 3.pdf

Скачиваний:

2569

Добавлен:

26.07.2016

Размер:

835.31 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Пример 4.

Вычислить работу силы F = {x2 + y2 , xy} вдоль отрезка прямой, соединяющей точки

М(1,1) и N(3,4).

Решение: Запишем уравнение прямой, проходящей через точки M и N: y −1 = 43 −−11(x −1) или y = 32 x − 12 .

	A = ∫				Fdr = ∫ (x						2	− y	2	)dx						2		2		3	x −	1	2	3		x −	1	3			3	2	+	3	x −	1
	A = ∫				Fdr = ∫ (x							− y		)dx		+ xydy = ∫ x							−		x −	2		+ x	2	x −	2		2	dx = ∫ x			+	4	x −	4	dx =
			MN						MN															2		2			2		2		2		1			4		4
			MN						MN											1															1
	x3		3		2		x	3				27			3		1		3		1			67
	x3		3		2		x	3				27			3		1		3		1			67
=		+		x		−			= 9	+			−			−		+		−			=		.
=		+		x		−			= 9	+			−			−		+		−			=		.
	3		8				4	1				8			4		3		8		4			6
	3		8				4	1				8			4		3		8		4			6

Задачи:

1. Найти массу участка линии y = ln x между точками с абсциссами x = a и x = b , если плотность линии в каждой точке равна квадрату абсциссы точки

		(b2	3		3		).
(Ответ:	1		+ 1)		− (a2 + 1)
				2		2
	3

2. Найти массу четверти эллипса x = a cost , y = bsin t , расположенной в первом квадрате, если плотность в каждой точке равна ординате этой точки

(Ответ:	b2	+	ab	arcsinξ , где ξ	=	a2 − b2	- эксцентриситет эллипса).
	2		2ξ			a

Криволинейные интегралы второго рода. Формула Грина.

Цель: научить вычислять криволинейные интегралы 2-го рода, применять формулу Грина.

Аудиторная работа

Решение типичных заданий:

Пусть a(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k - векторная функция, определенная и

непрерывная в точках гладкой кривой γ. И пусть точки Ak(xk, yk, zk), k=1,…,n разбивают эту кривую на элементарные дуги. На каждой элементарной дуге выберем произвольную точку Mk(ξk, ηk, υk) и составим сумму

∑P(ξk ,ηk ,ν k ) xk .

k=1

Криволинейным интегралом по координате x называется предел интегральных сумм

n
∑P(ξk ,ηk ,ν k ) xk		при max	xk → 0 , если он не зависит от способов разбиения кривой γ и
k=1
выбора на ней точки Mk. Пишут
∫	P(x, y, z)dx =	n	P(ξ		,η	,ν		)	x		,
	P(x, y, z)dx =	lim	P(ξ		,η	,ν		)	x		,
		max xk →0∑		k	k		k			k
γ		k=1

Где левая часть формулы – обозначение, правая – его определение. Аналогично определяются интегралы по координатам y и z:

∫

Q(x, y, z)dy =

Q(ξ

,η

,ν

)

lim

max yk

→0∑

k=1

∫

R(x, y, z)dz =

lim

R(ξ

,η

,ν

)

max zk →0∑

k=1

Полный криволинейный интеграл второго рода есть сумма трех интегралов:

∫adr = ∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫ Pdx + ∫Qdy +∫ Rdz , гдеdr = (dx,dy, dz) .

γ γ γ γ γ

Если кривая γ задана вектор-функцией F(t) = ϕ (t)i +ψ (t) j + χ (t)k ,t [α , β ], то криволинейный интеграл вычисляется по формуле:

∫adr =∫[P(ϕ (t),ψ (t), χ (t))ϕ′(t) + Q(ϕ (t),ψ (t), χ (t))ψ ′(t) + R(ϕ (t),ψ (t), χ (t))χ ′(t)]dt,

γα

где в правой части стоит определенный интеграл по переменной t.

В случае, когда кривая может быть задана в явном виде y = y(x), x [a,b], формула может быть записана

∫adr =∫b [P(x, y(x)) + Q(x, y(x)) + R(x, y(x))]dx.

γa

Если γ – граница области D и функции P(x, y),Q(x, y) непрерывны вместе со своими производными первого порядка в замкнутой области D+γ, то справедлива формула Грина:

∫			∂Q		∂P
∫	Pdx + Qdy =	∫∫		−
	Pdx + Qdy =			−	dxdy .
γ		D	∂x		∂y

При этом контур γ пробегается так, чтобы область D при этом оставалась слева.

Пример 1. Вычислить:

∫ ydx + zdy + xdz , где γ – окружность:

x = R cost

y = Rsin t , t [0,2π ], пробегаемая в направлении возрастания параметра.z = R

Решение:

x′(t) = −Rsin t

y′(t) = R costz′(t) = 0

						2π					2	2π	1
	∫ ydx + zdy + xdz = ∫(Rsin t(−Rsin t) + R R cost)dt = = R											∫ cost −	2	(1− cos2t) dt =
	γ					0						0	2
	2		t		sin 2t		2π		2
	2		t		sin 2t		2π		2
= R		sin t −		+				= −πR		.
= R		sin t −	2	+	4			= −πR		.
							0
							0

Пример 2.

Вычислить криволинейный интеграл ∫(xy −1)dx + x2 ydy от точки А(1,0) до точки В(0,2):

по прямой 2x+y=2;
по дуге параболы 4x + y2	= 4 ;
по дуге эллипса x = cost ,	y = 2sin t .
Решение:
1) y = 2 − 2x ; dy = −2dx ;
xB	0
I1 = ∫[x(2 − 2x) −1]dx + x2 (2 − 2x)(−2dx) = ∫(4x3 − 6x2 + 2x −1)dx = (x4 − 2x3 + x2 − x)		10


xA	1

= 1 .

2) Здесь удобно преобразовать криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с

переменной y: x = 1														−		y2		; dx = −					y		dy .
переменной y: x = 1														−	4			; dx = −					2		dy .
															4								2
			2					y2												y								y2	2			2	y5		y4		y3		y2			3y
I		=			1	−						y		−	1			−			dy +			1			−			ydy =				+		−		−			+		dy =
I		=			1	−			4			y		−	1			−	2		dy +			1			−	4		ydy =			16	+	8	−	2	−	2		+	2	dy =
	2		∫						4										2									4				∫	16		8		2		2			2
			0																													0

		y6			y5					y	4			y3				3y2				2		1
		y6			y5					y	4			y3				3y2				2		1
=			+				−						−				+					= −				.
=		96	+		40		−		8				−	6			+		4			= −		5		.
		96			40				8					6					4			0		5
																						0
3) dx = − sin tdt ; dy = 2costdt .
			π																																π
I3 = ∫2				(cost 2sin t −1)(− sin tdt) + cos2 t 2sin t 2costdt = ∫2																																(4cos3 t sin t + sin t − 2sin2 t cost)dt =
			0																																0
																														π							2 sin3 t			π		= 4 .
= −4∫cos3 td cost + ∫sin tdt − 2∫sin2 td sin t																														π	= − cos4 t − cost					−				2
																														02	= − cos4 t − cost					−				2
																														02							3			0		3
																																					3			0		3

Пример 3.

Даны точки А(3,6,0) и В(-2,4,5). Вычислить криволинейный интеграл∫ xy2dx + yz2dy − zx2dz :

по прямолинейному отрезку ОВ

по дуге АВ окружности, заданной уравнениями x2 + y2 + z2

= 45 . 2x + y = 0 .

Решение:

Составим уравнение прямой ОВ:

. Параметрическое уравнение этой прямой:

− 2

x = −2t , y = 4t , z = 5t .

tB =1

∫− 2t(4t)2 (−2dt) + 4t(5t)2 4dt − 5t(−2t)2 5dt = 364∫t3dt = 91 .

to =0

Преобразуем данное уравнение окружности к параметрическому виду: x = t ,

y = −2t (из

второго уравнения), z = 45 − 5t2 (из первого уравнения). Отсюда: dx = dt , dy = −2dt ,

dz = −

5tdt

45 − 5t2 :

tB =−2

5tdt

−2

∫ t(−2t) dt + (−2t)(45 − 5t

)(−2dt) −

45 − 5t t

= ∫(180t −17t )dt = −173

−

45 − 5t

tA =3

Пример 4.

Вычислить криволинейные интегралы:

1) ∫2xdx − (x + 2y)dy и 2)

∫ y cos xdx + sin xdy

−γ

+γ

вдоль периметра треугольника с вершинами А(-1,0), В(0,2) и С(2,0). Решение:

Криволинейный интеграл по ломанной АВСА вычислим как сумму интегралов, взятых на отрезках АВ,ВС, СА.

Составим уравнение прямой АВ: y − 2x = 2 y = 2x + 2 dy = 2dx .

	0	0
∫= − 8∫(x + 1)dx = − 4(x + 1)2			= −4 .

		−1
AB	−1
ВС: x = 2 − y dx = −dy ; ∫ = ∫0 ( y				− 6)dy =		( y − 6)2	0	= 10 .
						( y − 6)2	0
						2
	BC		2			2	2
	BC		2		−1		2
СА: y = 0 dy = 0 ; ∫=2−∫1 xdx = x2

					= −3.
	CA 2				2
	CA 2				2
∫= ∫+ ∫ + ∫= − 4 + 10 − 3 = 3.
ABCA AB	BC CA

Подынтегральное уравнение есть полный дифференциал функции двух переменных, ибо

( y cos x)′	= (sin x)′	= cos x . Вследствие этого данный криволинейный интеграл, взятый по
y	x

периметру данного треугольника, равен нулю. Он будет равен нулю и по любому другому замкнутому контуру.

Пример 5.

Применяя формулу Грина вычислить интеграл

∫− x2 ydx + xy2 dy ,

где γ – окружность x2 + y2 = R2 , пробегаемая против хода часовой стрелки.

Решение: В данном случае P = − x2 y,Q = xy2

- функции непрерывные вместе со своими

частными производными на всей плоскости, поэтому

∫− x2 ydx + xy2 dy = ∫∫(x2 + y2 )dxdy ,

т.к.

∂P

= − x2 ;

∂Q

= y2 . Перейдем в полярную систему координат:

∂x

∂y

∫∫(x2 + y2 )dxdy =

2∫π r 2 rdr = 2π

πR4 .

Задачи:

Вычислить криволинейные интегралы 2-го рода:

1. ∫(x + y)2 dx + (x + y)2 dy , где γ – ломанная, соединяющая точки О(0,0), А(2,0), В(4,2).

(Ответ:136/3)

2. ∫ ydx − ( y + x2 )dy , где γ – дуга параболы y = 2x − x2 , расположенная над осью Ох и

пробегаемая против часовой стрелки.

( Ответ:-4)

3. ∫ ydx + 2xdy , где γ – контур ромба, стороны которого лежат на прямых

= ±1;

−

= ±1.

( Ответ:-12)

4. Вычислить ∫(x + y)dx − (x − y)dy , где γ – замкнутый контур, образованный линиями

y = 3x и y = 3(x −1)2

непосредственно применяя формулу Грина.

(Ответ: -1/3)

5. Применяя формулу Грина, вычислить ∫2(x2 + y2 )dx + (x + y)2 dy , где γ – пробегаемый

в положительном направлении контур треугольника с вершинами А(1,1), В(2,2), С(1,3).

Проверить результат непосредственным вычислением

(Ответ: -4/3).

6. Применяя формулу Грина, вычислить ∫

x2 + y2 dx + y(xy + ln(x + x2 + y2 ))dy , где γ –

контур прямоугольника 1 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 2

Самостоятельная работа

Приложения криволинейного интеграла

- если a(x, y, z) - переменная сила, то криволинейный интеграл второго рода можно истолковать как работу силы a на криволинейном пути γ: A = ∫adr .

Пример 1.

Вычислить работу, совершаемую силой тяжести при перемещении точки массы m по дуге АВ некоторой кривой.

Решение:

Если выбрать прямоугольную систему координат так, чтобы направление оси Oz совпадало с направлением силы тяжести, то действующая на точку сила F = mgk , а ее

проекция на оси координат Fx = P = 0,		Fy = Q = 0, Fz = R = mg .
A = ∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫mgdz =mg ∫dz = mg(zB − zA ) .
AB	AB	AB

Она зависит только от разности аппликат начала и конца дуги, но не зависит от формы пути.

Пример 2.

Найти работу силового поля, в каждой точке (x,y) которого напряжение (сила, действующая на единицу массы) p = (x + y)i − xj . Когда точка массы m описывает окружность x = a cost , y = a sin t , двигаясь по ходу часовой стрелки.

Решение:

Подставляя в формулу проекцию силы F = mp , действующей на точку: Fx = m(x + y) , Fy = −mx , и преобразуя криволинейный интеграл в обыкновенный с переменной t, получим

A = ∫ Pdx + Qdy = ∫m(x + y)dx − mxdy =				−2π
					∫m(a cost + a sin t)d (a cost) − ma costd (a sin t) =
−C		−C			0
	−2π		+ sin	2	t	−2π

= −ma2	∫	(1+ sin t cost)dt = −ma2 1				= 2πma2 .
			2
	0					0

Задачи:

1. Поле образовано силой, имеющей постоянную величину F и направление положительной полуоси Ох. Найти работу поля, когда материальная точка описывает по

ходу часовой стрелки четверть окружности x2 + y2 = R2 , лежащую в первом квадрате

(Ответ: FR)

2. Найти работу упругой силы, направляющей к началу координат, величина которой пропорциональна удалению точки от начала координат, если точка приложения силы

описывает против часовой стрелки четверть эллипса				x2	+	y2	= 1 , лежащую в первом
описывает против часовой стрелки четверть эллипса				a2	+	b2	= 1 , лежащую в первом
квадрате				a2		b2
квадрате
(Ответ:	k	(a2	− b2 ), где k – коэффициент пропорциональности).
(Ответ:	2	(a2	− b2 ), где k – коэффициент пропорциональности).
	2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
26.07.2016399.9 Кб101высшая математика пособие для академических консультантов часть 3.pdf
#
26.07.2016277.65 Кб60высшая математика пособие для преподавателя часть 3.pdf
#
26.07.2016478.99 Кб81высшая математика пособие для студентов часть 3.pdf
#
26.07.2016835.31 Кб2569высшая математика руководство к решению задач часть 3.pdf
#
26.07.2016564.19 Кб158высшая математика Ряды-1.pdf
#
26.07.2016564.19 Кб103высшая математика Ряды.pdf
#
26.07.2016178.67 Кб20высшая математика структура дисциплины часть 3.pdf
#
26.07.2016113.73 Кб23высшая математика структура дисциплины часть 4.pdf
#
26.07.20161.43 Mб111высшая математика теоретический материал часть 3.pdf