2.3 Прийняття рішень на мові бінарних відношень.

Застосування платіжної матриці стримується розмірністю задачі. Зменшення розмірності матриці можливо за допомогою виключення з розгляду альтернатив, що домінуються.

У задачах з невизначеністю природи вважають, що альтернатива А домінує альтернативу B, якщо при будь-якій реалізації події (стану природи) виграш альтернативи А буде не менший, а принаймні для однієї події строго більший, ніж для альтернативи В.

Частіш за все в задачах прийняття рішень в умовах ризику максимізується математичне очікування корисності альтернативи. При цьому використовується критерій максимального середнього очікуваного виграшу:

,

де - елементи платіжної матриці (виграші),- ймовірності реалізації відповідних умов, подій або стратегій.

157. Інший критерій, який в залежності від сутності проблеми, співвідношення ймовірностей, позицій ОПР, використовують у задачах вибору в умовах ризику – критерій максимальної правдоподібності.

158. Вибір за допомогою критерію максимальної правдоподібності базується на припущенні ОПР, що реалізується найбільш ймовірна подія з усіх можливих. серед усіх альтернатив найкращою визнається та, який відповідає найбільший виграш для найбільш правдоподібної (ймовірної) події.

159. В деяких випадках можливо застосування критеріїв прийняття рішень, які використовуються в умовах природної невизначеності - критерію Вальда, Севіджа та інш.

160. У випадку, коли ймовірності здійснення можливих подій невідомі (хоча в принципі вони можуть існувати) вибір залежить від точки зору на ситуацію, від позиції ОПР, від того, що ОПР вважає найкращим, прийнятним та не найгіршим критерієм. Тобто, якщо найкраще рішення знайти важко, намагаються знайти не найгірше. Для цього використовують деякі додаткові критерії.

161. Використання песимістичних критеріїв базується на припущенні, що при виборі будь-якої альтернативи реалізуються найгірші для неї події (умови).

162. Критерій, за яким обирається рішення, що максимізує виграш у найбільш несприятливих умовах називається критерієм Вальда (критерій песимізму):

163. Критерій Севіджа (критерій мінімального ризику) – також надзвичайно песимістичний, але при виборі найкращої альтернативи ОПР орієнтується не на виграш, а на ризик. За найкращу вважається альтернатива, при якій величина ризику у найгірших умовах мінімальна:

де величина ризику;– максимально можливе значення критерію з усіх можливих альтернатив для конкретної умови.

164. Використання критерію оптимізму орієнтовано на те, що реалізація альтернатив буде здійснюватися найкращих умовах. В такій ситуації доцільно вибрати альтернативу, яка забезпечує отримання максимального виграшу у найбільш сприятливих умовах

165. Критерій Гурвіца (песимізму-оптимізму) рекомендує при виборі рішення не керуватись ані надзвичайним песимізмом, ані крайнім оптимізмом. Згідно з цього критерію альтернатива вибирається з умови

,

де – коефіцієнт песимізму, який визначається ОПР та змінюється у межах 0≤≥1.

166. Коефіцієнт вибирається з суб’єктивних міркувань: чим менша схильність ОПР до ризику та більше бажання застрахуватися, чим небезпечніше ситуація, тим ближче до одиниці вибирається коефіцієнт. При=1 критерій Гурвіца перетворюється у критерій Вальда. При=0 – в критерій оптимізму.

167. Іноді при виборі рішення в умовах ризику вважають, що ймовірності реалізації подій (умов) хоча і невідомі, але в принципі існують. У цьому випадку виходять з того, що нема достатніх підстав вважати одні умови (стан природи) переважнішими за інші. Тобто, події приймають рівно ймовірними .

168. Критерій, який використовують в умовах такого припущення називається критерієм Лапласа-Баейса (недостатньої підстави).

Виходячи з цього визначають середнє очікуване значення критерію для альтернативи та для всіх умов:

Найкращим вважають рішення, яке забезпечує максимальне значення критерію:

.

169. Як правило, застосування різних критеріїв обґрунтування рішень в умовах невизначеності призводить до вибору несумісних альтернатив. Це є природнім тому, що використовуються іноді протилежні стратегії прийняття рішень, які залежать від ряду суб’єктивних факторів. Тому зазвичай, для вибору рішення використовують один, максимум-два несуперечливих критерії, вибір яких залежить від ОПР

170. Теорія ігор являє собою математичну теорію конфліктних ситуацій, та застосовується для обґрунтування рішень в умовах поведінкової невизначеності (невизначеності супротивника).

171. Математична модель ситуації прийняття рішень в умовах поведінкової невизначеності називається грою.

172. Стратегія – це встановлений гравцем метод вибору варіанту дій в залежності від ситуації, що склалась.

173. Ігри, в яких виграш одного гравця дорівнює програшу іншого відносяться до антагоністичних ігор (з протилежними інтересами двох сторін) з нульовою сумою (сума виграшів гравців після закінчення гри дорівнює 0).

174. В теорії ігор припускається, що обидва гравці є ідеально розумними та не вдаються до ризикованих дій (стратегій). Поведінка учасників конфлікту є найбільш обережною, “перестрахувальною”. Виходячи з цього можна передбачити дії, які може застосовувати супротивник в тій чи іншій ситуації.

175. Оптимальними називаються стратегії, притримуючись яких один з гравців має максимальний виграш, а інший – мінімальний програш. Такі стратегії повинні задовольняти умові стійкості, тобто будь-якому гравцю має бути невигідно відхилятися від своєї оптимальної стратегії.

176. Для того, щоб прийняти рішення треба знайти рішення гри , тобто вибрати стратегію для кожного гравця, яка задовольняє умові оптимальності.

177. Максимальний з мінімальних виграшів відповідає максимінній стратегії гравця А і називається нижньою ціною гри та позначається .

178. Мінімальний з максимальних виграшів гравця А (програшів гравця В) відповідає мінімаксній стратегії гравця В і називається верхньою ціною гри, та позначається .

179. Принцип обережності, який передбачає, що гравцям не буде доцільно відступати від своїх оптимальних стратегій (максимальної та мінімальної) називається принципом мінімакса. Він заснований на припущенні розумності кожного гравця, який намагається досягнути мети, що протилежна меті супротивника.

180. Чиста стратегія –це стратегія, яка відповідає умовам стійкості та однозначно обирається гравцем (ОПР), у платіжній матриці – один з рядків (для гравця А), або стовпчик (для гравця В).

181. Оптимальні стратегії дозволять гравцю А отримати виграш не менший за ціну гри , а гравцю В не програти більше верхньої ціни гри. У випадку, коли нижня ціна гри дорівнює верхніймінімаксні стратегії гравців є стійкими: якщо один з гравців притримується своєї оптимальної стратегії, то іншому невигідно відступати від своєї. Відхилення гравців може тільки погіршити ситуацію для одного з них.

182. Ігри, в яких нижня ціна гри дорівнює верхній називаються іграми з сідловою точкою.У матриці такої гри існує елемент, який є одночасно мінімальним у своєму рядку та максимальним у своєму стовпчику, такий елемент і називається сідловою точкою.

183. Спільне значення нижньої та верхньої ціни гри називається чистою ціною гри . Сідловій точці відповідає дві мінімаксні стратегії, які є оптимальними, а їх сукупність - рішенням гри.

184. У ситуації, коли сідлова точка гри відсутня, в задачах одноразового вибору можна застосувати один з критеріїв теорії статистичних рішень (Вальда, Севіджа і т.д.).

185. Фізичним поєднанням стратегій називається таке їх поєднання, при якому одночасно (в одній або декількох операціях) можливо застосування декількох стратегій у певних пропорціях. Фізично поєднана стратегія є чистою стратегією: її параметрами є пропорції , в яких змішують різні складові окремих стратегій.

186. Серед реальних задач прийняття рішень більшість формалізується іграми, які не мають сідлової точки. Проте, якщо досліджується ситуація (відповідно гра), повторюється багатократно, виявляється можливим забезпечити гравцю А виграш більший за нижню ціну гри . Досягнути цього можна, якщо застосувати різні з наявних чистих стратегій випадковим чином (у цьому випадку супротивнику буде неможливо передбачити дії гравця А заздалегідь). Такі стратегії називаються змішаними.

187. Класифікація стратегій вибору рішення задач прийняття рішень в умовах невизначеності супротивника.

188. Змішаною стратегією гравця А називається застосування чистих стратегій А₁, А₂, …, А_і, А_m з ймовірностями , причому сума ймовірностей дорівнює 1

189. Чиста стратегія є окремим випадком змішаної, в якій ймовірність всіх стратегій, крім чистої дорівнюють 0. Очевидно, що ймовірність чистої стратегії дорівнює 1.

190. Рішенням гри називається пара оптимальних стратегій (у загальному випадку змішаних), таких, що жодному з гравців не буде вигідним відступати від своїх стратегій, якщо супротивник притримується своєї.

191. Виграш, який відповідає рішенню називається ціною гри. Ціна гри завжди лежить між нижньою ціною грита верхньою ціною гри.

192. Основна теорема теорії ігор (теорема Неймана): Будь-яка кінцева гра має принаймні одне оптимальне рішення, можливо серед змішаних стратегій.

193. Класифікація ігор за кількістю ігрових стратегій сторін:

• Гра 2х2 – у кожного гравця є дві стратегії.

• Гра 2 – у гравця А –стратегій, у гравця В – дві.

• Гра 2– у гравця А – дві стратегії, у гравця в –.

• Гра - у гравця А –стратегій, у гравця В –

194. Методи вирішення кінцевих антагоністичних ігор:

195. Активними стратегіями гравця називаються ті стратегії, які до його оптимальної змішаної стратегії з відмінними від нуля ймовірностями.

196. Якщо один з гравців дотримується своєї оптимальної змішаної стратегії, то виграш лишається незмінним та рівним ціні гри при умові, що другий гравець не виходить за межі своїх активних стратегій (тобто користується будь-якою з них у чистому вигляді, або змішує їх у будь-яких пропорціях).

197. В теорії ігор доводиться наступна теорема: у будь-якої кінцевої грі існує рішення, в якому кількість активних стратегій кожної сторони не перевищує найменшого з чиселтa.

198. У практичних задачах часто немає потреби знаходити точне рішення гри, достатнім виявляється приблизне рішення, яке забезпечує середній виграш, близький до ціни гри. Приблизне рішення гри можна отримати методом ітерацій (Метод Брауна-Робинсона).

199. Ідея ітераційного методу полягає в імітації поведінки гравців А та В, коли вони застосовують один проти іншого свої стратегії, та визначенні основних характеристик цих стратегій.