Модуль 2 Методи прийняття рішень

Класичні методи оптимізації засновані на використанні властивостей похідної. Необхідною умовою використання цих методів є диференційованість функції мети.

Згідно з теоремою Вейерштраса максимум функції досягається або на границях допустимої множини, або в точці де похідна функції дорівнює нулю.

Пошук найкращого рішення полягає у знаходженні значень вектора керованих факторів, при яких досягається екстремум функції мети.

Під вектором розуміють сукупність однорідних параметрів.

Задачі визначення значень керованих факторів, які забезпечують екстремум функції мети при наявності обмежень, що накладаються на діапазон змін цих факторів носять загальну назву задач математичного програмування.

Різноманітність типів задач математичного програмування обумовлюється:

• видом функціональної залежності, що пов‘язує критерій та керовані фактори;

• видом та кількістю обмежень.

Задачі математичного програмування, в яких функція мети та обмеження є лінійними, належать до класу задач лінійного програмування (ЛП).

У канонічному вигляді задача ЛП (т.з. основна задача лінійного програмування - ОЗЛП) формулюється наступним чином: знайти невід’ємні значення які б задовольняли умовам рівностям:

………………………………….

та обертали б до максимуму лінійну функцію цих змінних (функцію мети)

121. Задачі ЛП можуть бути вирішені різними методами:

• графічний метод;

• симплекс метод;

• метод внутрішньої точки;

• двійчастий симплекс метод;

• метод М-базиса;

• інші

При графічній інтерпретації задачі ЛП визначається область допустимих рішень (ОДР), яка утворюється площиною перетину обмежень, що накладаються на керовані фактори (включаючи і точки, що належать самим обмеженням).

Оптимальне рішення завжди досягається в одній із вершин ОДР.

Найбільше застосування методи лінійного програмування знайшли при вирішенні задач планування, організації роботи транспорту та у інших практичних задачах.

Динамічне програмування (ДП) спеціальний метод оптимізації пристосований до т.з. «багатокрокових» (або «багатоетапних») операцій, найхарактернішою з яких є задача розподілення ресурсів.

Необхідними умовами застосування методу ДП є адитивність (мультиплікативність) критерію та можливість розбиття операції на кроки.

Адитивність – властивість величин, яка полягає у тому, що значення величини, яке відповідає системі, дорівнює сумі значень величин, що відповідає її частинам (виграш за всю операцію дорівнює сумі виграшів на окремих кроках.

В термінології ДП значення критерію інтерпретується як «виграш»

Основний принцип динамічного програмування: « який би не був стан системи перед кожним кроком, управління на цьому кроці вибирається так, щоб виграш на цьому кроці плюс оптимальний виграш на всіх подальших кроках був би максимальним.

Для реалізації методу ДП записують дві функції:

• функцію «зміни стану» ,яка дозволяє визначити як змінюється стан системи під впливом управлінняна-ому кроці.

• функцію «виграшу» ,яка дозволяє визначити, який виграш приносить на -ому кроці управління, якщо перед цим система була у стані

Процес ДП зазвичай розгортається від кінця до початку. При цьому визначаються умовно оптимальні управління на останньому, передостанньому і так до першого кроках.

При плануванні операції на кожному кроці умовно оптимальні управління визначаються для різних умов-припущень, як міг закінчитися попередній крок. Саме тому вони називаються «умовно оптимальними».

Для першого кроку не має необхідності робити варіацію припущень, тому що точно відомо, в якому стані знаходилася система перед початком процесу. Знаючи це можна спланувати безумовно оптимальне управління, рухаючись від початку до кінця процесу та «зчитуючи» вже готові рекомендації.

Основне рівняння ДП називається рекурентним співвідношенням Беллмана, та має вигляд: