2_sem_141

Если существует производная F 0(0); то ее называют производной функции f в точке x0 по направлению вектора a и обозначают симво-

Теорема 3.8.1. Если функция f дифференцируема в точке x0; то для любого единичного вектора a = (a1; : : : ; am) существует производная функции f в точке x0 по направлению вектора a и справедливо равен-

Доказательство. Для доказательства достаточно применить теорему о дифференцировании сложной функции.

Определение 3.21. Пусть функция f дифференцируема в точке x0: Градиентом функции f в точке x0 называют вектор

Замечание. Формулу (9) можно перåписать в виде скалярного произведения вектора-градиента и вектора a

@f

@a (x0) = grad f(x0) a: (10) Рассмотрим случай m = 2; 3: Тогда, как известно,

@f

@a (x0) = grad f(x0) a = jgrad f(x0)j jaj cos ' = jgrad f(x0)j cos ';

где ' - угол между векторами grad f(x0) и a: На основании этого можно сделать выводы:

1)вектор градиент grad f(x0) указывает направление, по которому функция f имеет максимальную производную в точке x0;

2)значение производной функции f по направлению, определенному

градиентом этой функции в точке x0; равно длине вектора градиента jgrad f(x0)j:

51

3.9Частные производные высших порядков и n - дифференцируемость

Определение 3.22. Пусть частная производная @x@fi существует в неко-

торой окрестности точки x0 и функция @f имеет в точке x0 частную

@xi

производную по переменной xj: Определим частную производную второго порядка равенством

Производную

@2f @xj@xi

будем также обозначать символом

f(2) : xixj

Если j 6= i; то частную производную называют смешанной. При j = i

пишут @@x2f2 :

i

Мы определили частные производные второго порядка. Если определена частная производная

@kf

@xi1 : : : @xik (x)

порядка k в некоторой окрестности точки x0; то по индукции определим частную производную порядка k + 1 в точке x0 соотношением

Здесь возникает вопрос о том, влияет ли порядок дифференцирования на вычисляемую частную производную.

Теорема 3.9.1. (о равенстве смешанных производных). Пусть функция

любой точке x0; в которой обе частные производные непрерывны, их значения совпадают.

52

Доказательство. Для сокращения записи проведем доказательство для функции двух переменных. Пусть @2f @2f (x0; y0):

@x@y è @y@x непрерывны в точке Для достаточно малого h определим функцию

F (h) = f(x0 + h; y0 + h) f(x0 + h; y0) f(x0; y0 + h) + f(x0; y0)

Введем теперь функцию

'(t) = f(x0 + th; y0 + h) f(x0 + th; y0):

Тогда верно равенство

F (h) = '(1) '(0):

Согласно теореме Лагранжа найдется точка 1 2 (0; 1) такая, что верно

равенство

'(1) '(0) = '0( 1):

Пользуясь формулой дифференцирования сложной функции, получим

'0( 1) = fx0 (x0 + 1h; y0 + h)h fx0 ((x0 + 1h; y0)h =

=fx0 (x0 + 1h; y0 + h) fx0 (x0 + 1h; y0) h: (11)

Èопять, пользуясь теоремой Лагранжа, представим

fx0 (x0 + 1h; y0 + h) fx0 (x0 + 1h; y0) = fxy(2)(x0 + 1h; y0 + 2h)h;

ãäå 2 2 (0; 1): Таким образом, мы имеем равенство

F (h) = fxy(2)(x0 + 1h; y0 + 2h)h2:

В то же время, если ввести функцию

(t) = f(x0 + h; y0 + th) f(x0; y0 + th);

òî

F (h) = (1) (0):

Поступая аналогично, придем к равенству

F (h) = fyx(2)(x0 + 10 h; y0 + 20 h)h2;

53

ãäå 10 2 (0; 1); 20 2 (0; 1): Следовательно, верно равенство

fxy(2)(x0 + 1h; y0 + 2h) = fyx(2)(x0 + 10 h; y0 + 20 h):

Переходя к пределу при h ! 0 в силу непрерывности обеих частных производных в точке (x0; y0); получим равенство

fxy(2)(x0; y0) = fyx(2)(x0; y0):

Определение 3.23. Пусть функция f определена в некоторой окрест-

ности точки x0: Функцию f назовем 2-дифференцируемой в точке x0; åñëè âñå ее частные производные первого порядка дифференцируемы в точке x0:

Пусть определено понятие (n 1) - дифференцируемости. Функцию f назовем n-дифференцируемой в точке x0; если функция f (n 1)- дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 и все ее частные производные порядка (n 1) дифференцируемы в точке x0:

Опираясь на достаточное условие дифференцируемости функции в точке, нетрудно сформулировать достаточное условие n- дифференци-

руемости функции в точке.

Теорема 3.9.2. ( достаточное условие n-дифференцируемости функции в точке). Если все частные производные n-го порядка функции f существуют в некоторой окрестности точки x0 и непрерывны в самой точке x0; то функция f n- дифференцируема в этой точке.

В дополнение к теореме (3.9.1) докажем еще одну теорему о равенстве смешанных производных.

Теорема 3.9.3. Если функция f 2-дифференцируема в точке x0; то смешанные производные 2-го порядка в точке x0 не зависят от порядка дифференцирования.

Доказательство. Начнем доказательство как в теореме (3.9.1). Построим функцию F: Получив равенство (11), продолжим далее иначе

fx0 (x0 + 1h; y0 + h) fx0 (x0 + 1h; y0) =

= fx0 (x0 + 1h; y0 + h) fx0 (x0; y0) fx0 (x0 + 1h; y0) fx0 (x0; y0) :

54

Так как частная производная fx0 дифференцируема в точке (x0; y0); òî fx0 (x0 + 1h; y0 + h) fx0 (x0; y0) =

= fxx(2)(x0; y0) 1h + fxy(2)(x0; y0)h + 1 1h + 1h;

fx0 (x0 + 1h; y0) fx0 (x0; y0) = fxx(2)(x0; y0) 1h + 2 1h;

ãäå 1; 1; 2 - бесконечно малые при h ! 0 функции. Используя эти выражения, получим

Следовательно,

fxy(2)(x0; y0) + = fyx(2)(x0; y0) + :

Перейдя к пределу при h ! 0; получим равенство

fxy(2)(x0; y0) = fyx(2)(x0; y0):

Следствие.Если функция f n-дифференцируема в точке x0; то смешанные производные n-го порядка в точке x0

дифференцирования.

Определение 3.24. Пусть функция f определена в некоторой области G: Назовем функцию n-непрерывно дифференцируемой (n 2 N); если все частные производные до порядка n включительно определены и непрерывны в области G: Класс таких функций обозначим через C(n)(G):

Теорема 3.9.4. Åñëè f 2 C(n)(G); то смешанные производные до порядка n включительно в любой точке области не зависят от порядка дифференцирования.

55

3.10Дифференциалы первого и высших порядков.

Определение 3.25. Пусть функция f дифференцируема в точке x0: Определим новую функцию df(x0) : Rm ! R; полагая для любого h 2 Rm

m

X @f

df(x0)(h) = @xk (x0)hk: (12)

k=1

Указанная функция называется дифференциалом функции f в точке x0:

Рассмотрим функцию '(x) = xk: Ее дифференциалы в любой точке пространства Rm равны между собой и обозначаются через dxk: Таким

образом dxk(h) = hk: Тогда, пользуясь оперециями сложения и умножения функций на число, получим

Определение 3.26. Пусть функция f 2-дифференцируема в точке x0: Для каждого h 2 Rm определим в окрестности O(x0) точки x0 функцию dh : Rm ! R; полагая для каждого x 2 O(x0)

dhf(x) = df(x)(h):

Дифференциалом 2-го порядка функции f в точке x0 называется

функция d2f(x0) : Rm ! R такая, что для любого h 2 Rm

d2f(x0)(h) = d(dhf)(x0)(h)

Дифференциал произвольного порядка определяется по индукции.

Пусть функция f n-дифференцируема в точке x0:

56

Искодя из (12) или (13), по индукции легко установить равенство

В силу независимости смешанных производных от порядка дифференцирования последние равенства можно привести к виду

Докажем вспомогательное утверждение.

Утверждение. Пусть функция f n-дифференцируема на открытом

множестве G и отрезок, соединяющий точки x0 и x; целиком содержится в множестве G; h = x x0: Тогда для функции F (t) = f(x0 + th); определенной для всех t 2 [0; 1]; справедливо равенство

F (n)(t) = dnhf(x0 + th):

Доказательство. При n = 1 равенство следует из теоремы о дифферен-

цировании сложной функции. Далее следует применить метод математической индукции.

57

Теорема 3.11.1. (формула Тейлора). Пусть функция f n-дифференцируема

в некоторой окрестности O(x0) точки x0: Тогда при любом x 2 O(x0) справедливо равенство

ãäå

h = x x0; 2 (0; 1) (d0hf(x0) = f(x0)):

Равенство (18) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Доказательство. Рассмотрим функцию одной переменной F (t) = f(x0 + th) из предыдущего утверждения и воспользуемся для ней формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Тогда имеем равенство

n 1

f(x) = F (1) = X k1!F (k)(0) + n1!F (n)( ) =

Замечание. Как и в случае функции одной переменной, можно полу- чить и другие формы остаточного члена (Шлемильха-Роша, Коши или интегральную форму).

Следствие. Если функция f n-непрерывно дифференцируема окрестности точки x0; то справедлива формула Тейлора-Пеано

Доказательство. Доказать самостоятельно.

58

3.12Экстремум функций многих переменных.

Определение 3.28. Пусть точка x0 является внутренней точкой области определения функции f:

Точка x0 называется точкой локального максимума (минимума), если существует окрестность O(x0) этой точки такая, что f(x) f(x0)

(f(x) f(x0)).

Åñëè ïðè x 2 O(x0)nfx0g имеет место строгое неравенство f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0)), то точка x0 называется точкой строго локального максимума (минимума).

Точки локального максимума и локального минимума называют еще точками локального экстремума.

Теорема 3.12.1. (необходимое условие локального экстремума). Пусть точка x0 является точкой локального экстремума функции f и в этой

точке у функции существуют вñå частные производные первого порядка fx0i (x0); i = 1; : : : ; m: Тогда fx0i (x0) = 0; i = 1; : : : ; m:

Доказательство. Рассмотрим функцию '(x1) = f(x1; x01; : : : ; x0m): Эта функция одной переменной имеет в точке x01 локальный экстремум и ее

производная

'0(x01) = fx01 (x0):

В силу теоремы Ферма

fx01 (x0) = 0:

Остальные равенства доказываются аналогично.

Определение 3.29. Точки, в которых обращаются в нуль все частные производные первого порядка функции f; называются стационарными

или критическими точками этой функции.

Замечание. Как и в случае функций одной переменной равенства fx0i (x0) = 0; i = 1; : : : ; m; являются необходимым условием локального экстремума, но не являются достаточным.

Для нахождения достаточного условия локального экстремума потребуется понятие квадратичной формы.

59

ãäå aij являются вещественными числами и aij = aji; называется квадратичной формой.

Таким образом матрица коэффициентов квадратичной формы

является симметрической.

Определение 3.31. Квадратичная форма Q называется положительно (отрицательно) определенной, если

Если найдутся h1; h2 такие, что

Q(h1)Q(h2) < 0;

то квадратичная форма называется неопределенной.

Для исследования квадратичной формы можно применять известный из курса алгебры критерий Сильвестра: квадратичная форма

m

X

Q(h) = aijhihj;

i;j=1

с матрицей

0 1 a11 : : : a1m

@ : : : : : : : : : A am1 : : : amm

1)положительно определена тогда и только тогда, когда положительны все главные миноры этой матрицы;

2)отрицательно определена тогда и только тогда, когда a11 < 0; и при переходе от любого главного минора матрицы к главному минору следующего порядка знак значения минора меняется.

60