2_sem_141

Теорема 2.4.6. (о дифференцируемости суммы степенного ряда). Сумма степенного ряда дифференцируема на интервале сходимости ( R; R);

R > 0; è

1

X

S0(x) = annxn 1;

n=1

причем радиус сходимости полученного ряда равен R:

Следствие. Сумма степенного ряда на интервале сходимости ( R; R); R > 0; дифференцируема сколько угодно раз и при любом p 2 N

1

X

S(p)(x) = ann(n 1) : : : (n p + 1)xn p;

n=p

причем радиус сходимости остается прежним.

Разложение функции в степенной ряд.

Определение 2.9. Функцию f называют аналитической в точке x0; если в некоторой окрестности (x0 r; x0 + r) этой точки функцию можно разложить в степенной ряд:

1

X

f(x) = an(x x0)n:

n=0

Утверждение 1. Функция f; аналитическая в точке x0; бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.

Утверждение 2. Если функция f на интервале (x0 r; x0 +r) разла-

1

P an(x x0)n; то это разложение единственно

n=0

an = f(n)(x0); n = 0; 1; : : : :

n!

n=p

31

Определение 2.10. Пусть функция f бесконечно дифференцируема в

в степенной ряд тогда и только тогда, когда остаточный член формулы Тейлора для этой функции на интервале (x0 r; x0 + r) стремится

ê 0:

Теорема 2.4.7. (достаточное условие аналитичности функции). Пусть функция f бесконечно дифференцируема на интервале (x0 r; x0 + r) è

в ряд Тейлора.

Доказательство. Записав остаточный член формулы Тейлора в форме

Лагранжа,

f(n+1)( )

Rn(x) = (n + 1)! (x x0)n+1;

где точка лежит между точками x и x0; оценим его.

Òàê êàê rn+1

lim = 0; n!1 (n + 1)!

то при любом x 2 (x0 r; x0 + r) Rn(x) ! 0 ïðè n ! 1:

32

Определение элементарных функций степенными рядами.

Рассмотрим степенные ряды

Нетрудно проверить, что радиус скодимости каждого ряда R = +1; т. е. эти ряды абсолютно сходится при любом x 2 R:

Определение 2.11. Функцию

называют показательной функцией или экспонентой. Теорема 2.4.8. (свойства показательной функции).

1) e0 = 1;

Дифференцируя ряд почленно, имеем

33

и, следовательно, показательная функция возрастает на всей числовой

Определение 2.12. Положим по определению для всех x 2 R

Задание. Доказать равенства

Определение 2.13. Функция, обратная к показательной, называется логарифмической, и ее значение в точке x обозначается символом ln x:

Согласно ранее доказанным теоремам об обратной функции функция, обратная к показательной, существует, непрерывна и, более того, дифференцируема. По правилу дифференцирования обратной фунции

имеем

0 1 1 1 (ln x) = (ey)0 = ey = x;

и следовательно,

xx

11

Теорема 2.4.9. (о разложении логарифмической функции в степенной ряд). Для всех x 2 ( 1; 1)

34

Доказательство. В равенстве

где x > 1; сделаем замену t = 1 + : Получим, что

Почленное интегрирование законно ввиду сходимости ряда при 2 ( 1; 1): Таким образом, полученная формула справедлива при всех x 2 ( 1; 1):

Определим теперь степенную функцию с произвольным вещественным показателем степени.

Определение 2.14. Сумма степенного ряда

1

1 + X ( 1) : : : ( n + 1)xn n!

n=1

называется биномиальной функцией и обозначается символом (1 + x)m:

Нетрудно проверить, что этот ряд сходится при всех x 2 ( 1; 1): Если m - натуральное число, то биномиальный ряд принимает вид бинома Ньютона.

35

3Глава. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

3.1Пространство Rm и важнейшие классы его под-

множеств

Пространство Rm.

Определение 3.1. Пусть число m 2 N: Множество упорядоченных на-

боров (x1; x2; : : : ; xm); ãäå xi 2 R; i = 1; : : : ; m; называют пространством

Rm:

Будем обозначать x = (x1; x2; : : : ; xm) и называть точкой или вектором, а числа x1; x2; : : : ; xm - сответственно первой, и т.д., m-ой координатами точки x:

Определим в пространстве Rm несколько операций.

1.Сложение.

Åñëè x = (x1; : : : ; xm) è y = (y1; : : : ; ym); òî

x + y = (x1 + y1; : : : ; xm + ym):

2.Умножение на скаляр.

Åñëè x = (x1; : : : ; xm) è 2 R; òî

x = ( x1; : : : ; xm):

Нетрудно проверить, что эти две операции подчинены законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.

3.Отношение равенства. Пусть 0 = (0; : : : ; 0); тогда

x = y , x y = 0:

4.Скалярное произведение.

x y = x1y1 + : : : + xmym:

Нетрудно проверить, что скалярное произведение обладает свойствами:

36

(a)x y = y x;

(b)(x + y) z = x z + y z;

(c)( x) y = (x y);

(d)x x 0; причем x x = 0 , x = 0:

5.Евклидова норма.

q

jxj = x21 + : : : + x2m:

Векторное пространством Rm со скалярным произведением и нормой называют евклидовым m- мерным пространством.

Теорема 3.1.1. (неравенство Коши-Буняковского-Шварца).

jx yj jxj jyj:

Доказательство. Положим

Åñëè B = 0; òî yi = 0; i = 1; : : : ; m; и неравенство принимает вид

0 0:

Пусть B > 0: Тогда

= B2A 2BC2 + BC2 = B2A BC2 = B(AB C2)

è p p

AB C2 0 ) C2 AB ) jCj A B:

Теорема 3.1.2. (свойства нормы). Пусть x; y 2 Rm; 2 R: Тогда

1)jxj 0; jxj = 0 , x = 0;

2)j xj = j j jxj;

3)jx + yj jxj + jyj:

37

Доказательство. Свойства 1 и 2 очевидны. Докажем свойство 3. jx + yj2 = (x + y)(x + y) = xx + 2xy + yy

jxj2 + 2jxjjyj + jyj2 = (jxj + jyj)2:

Следствие. При любых x; y; z 2 Rm

jx yj jx zj + jz yj:

Определение 3.2. Величину jx yj назовем расстоянием от точки x до точки y и обозначим его символом (x; y):

Нетруднî установитü следующиå ñâîйства расстояния:

1)(x; y) 0; (x; y) = 0 , x = y;

2)(x; y) = (y; x);

3)(x; y) (x; z) + (z; y):

Утверждение 1. При любом i = 1; : : : ; m справедливо неравенство

Доказательство. Доказать самостоятеьно.

Определение 3.3. Систему векторов

e1 = (1; 0; 0; : : : ; 0; 0) e2 = (0; 1; 0; : : : ; 0; 0)

: : : : : : : : : : : : : : : : : :

em = (0; 0; 0; : : : ; 0; 1)

будем называть стандартным базисом в пространстве Rm:

Тогда любой вектор x = (x1; : : : ; xm) можно разложить по этому базису:

x = x1e1 + : : : + xmem:

Òàê êàê jeij = 1; òî

jxj jx1e1j + : : : + jxmemj = jx1j + : : : + jxmj:

Подведем итог, сформулировав утверждение.

Утверждение 2. При любом i = 1; : : : ; m справедливо неравенство

38

Множества точек m-мерного евклидова пространства.

Определение 3.4. Пусть r > 0:

Множество

B(a; r) = fx 2 Rm : jx aj < rg

называют (открытым) шаром с центром a радиуса r:

Множество

S(a; r) = fx 2 Rm : jx aj = rg

называют сферой с центром a радиуса r:

Множество

B(a; r) = fx 2 Rm : jx aj rg

называют замкнутым шаром с центром a радиуса r:

Шар B(a; ); > 0; называют -окрестностью точки a и обознача- ют также O (a):

Как и ранее, множество n f g называем проколотой

O (a) = O (a) a

окрестностью.

Определение 3.5. Пусть множество X 2 Rm:

Точка x0 называется внутренней точкой множества X; если она принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей -окрестностью.

Точка x0 называется внешней точкой множества X; если она является внутренней точкой множества Rm n X:

Точка x0 называется граничной точкой множества X; если она не является íи внутренней, ни внешней точкой этого множества.

Точка x0 называется предельной точкой множества X; если любая ее проколотая -окрестность содержит точки множества X:

Определение 3.6. Множество называется открытым, если все его точки внутренние.

Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Открытое множество, содержащее точку x0; называется окрестностью этой точки.

Обьединение множества X и всех его предельных точек называют

замыканием множества и обозначают X:

Задание. Доказать, что:

1) F -замкнутое , Rm n F - открытое;

39

2)B(a; r) -открытое множество;

3)S(a; r) и B(a; r) - замкнутые множества;

4)пересечение конечного числа и объединение любого числа открытых множеств является открытым множеством;

5)объединение конечного числа и пересечение любого числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.

Определение 3.7. Множество X называют ограниченным, если

9M 8x 2 X jxj M:

Определение 3.8. Ограниченное замкнутое множество называют компактом.

Задание. Доказать, что множество X является компактом тогда и только тогда, когда у любого покрытия множества X открытыми множествами существует конечное подпокрытие.

Определение 3.9. Множество

fx 2 Rm : x1 = '1(t); : : : ; xm = 'm(t); t g;

где функции 'i непрерывны на отрезке [ ; ]; i = 1; : : : ; m; называется a = ('1( ); : : : ; 'm( )) è b =

Определение 3.11. Всякое открытое и связное множество называют областью.

3.2Последовательности в Rm

Отображение множества N в множество Rm íà- зываем последовательностью и обозначаем (xn) èëè (xn)1n=1; ãäå xn = (x1n; : : : ; xmn):

Последовательности (xn); соответствует m числовых последовательностей (xin)1n=1; i = 1; : : : ; m; которые будем называть координатными последовательностями.

40