2_sem_141

Определение 3.13.

xn = O(1) , 9M > 0 8n 2 N jxnj M:

xn = o(1) , 8 > 0 9n 2 N 8n n jxnj < : xn ! x0 , xn x0 = o(1):

(xn) фундаментальная , 8 > 0 9n 2 N 8n n 8k n jxn xkj < :

Теорема 3.2.1. Последовательность (xn) является ограниченной или

бесконечно малой или фундаментальной тогда и только тогда, когда все ее координатные последовательности (xin)1n=1; i = 1; : : : ; m; ÿâëÿ-

ются ограниченными, бесконечно малыми, фундаментальными соответственно.

Теорема 3.2.2.

xn ! x0 , 8i = 1; : : : ; m xin ! xi0:

Теорема 3.2.3.

xn ! x0; yn ! y0; n ! 0 (â R) )

xn + yn ! x0 + y0; nxn ! 0x0; xn yn ! x0 y0; jxnj ! jx0j:

Теорема 3.2.4. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Теорема 3.2.5. Любая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится, причем к той же самой точке.

Теорема 3.2.6. (критерий Коши). Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Теорема 3.2.7. (Больцано-Вейерштрасса). У любой ограниченной последовательности существует сходящаяся подпоследовательность.

41

3.3Предел функции в точке

Отображение вида f : X ! R; где X Rm; m > 1; называют функ-

цией многих переменных, а точнее скалярной функцией многих переменных.

Отображение вида f : X ! Rk; ãäå X Rm; m > 1; k > 1; íà-

зывают векторной функцией многих переменных или вектор-функцией векторного аргумента.

Вектор-функцию векторного аргумента f : Rm ! Rk можно рассмат-

ривать как совокупность k скалярных функций fi; i = 1; : : : ; k; полагая, что

f(x) = (f1(x); : : : ; fk(x)); x 2 D(f):

Функции fi; i = 1; : : : ; k; называют координатными функциями векторфункции f:

Определение 3.14. (предела по Коши). Пусть точка x0 - предельная точка области определения функции f : X ! Rk; A 2 Rk:

Вектор A называют пределом функции f в точке x0

символом lim f(x) = A; åñëè

x!x0

8 > 0 9 > 0 8x 2 D(f) (0 < jx x0j < ) jf(x) Aj < ):

Замечание.Условие из определения предела по Коши можно записать в следующем виде:

8 9 8 2 \ 2

> 0 > 0 x O (x0) X f(x) O (A):

Определение 3.15. (предела по Гейне). Пусть точка x0 - предельная точка области определения функции f : X ! Rk; A 2 Rk:

Вектор A называют пределом функции f в точке x0; если для любой

последовательности (xn) точек, принадлежащих D(f) и удовлетворяющей условиям: xn 6= x0; xn ! x0; имеет место

f(xn) ! A:

Теорема 3.3.1. Определение предела по Коши равносильно определению по Гейне.

Теорема 3.3.2.

42

Задание. Назвав -окрестностью бесконечно удаленной точки в Rm

множество

O (1) = fx 2 Rm : jxj > g;

определить следующие пределы:

3.4Непрерывность функции в точке

Определениå 3.16. (непрерывности функции по Коши). Функции f называется непрерывной в точке x0 åñëè

8 > 0 9 > 0 8x 2 D(f) (jx x0j < ) jf(x) f(x0)j < ):

Определение 3.17. (предела по Гейне). Функции f называется непре-

рывной в точке x0 если для любой последовательности (xn) точек, принадлежащих D(f) и удовлетворяющей условию xn ! x0; имеет место

f(xn) ! f(x0):

Теорема 3.4.1. Определение непрерывности по Коши равносильно определению непрерывности по Гейне.

Замечание. Непрерывность функции в точке x0; являющейся пре-

дельной точкой области определения функции f; выражается равенством

lim f(x) = f(x0):

x!x0

Теорема 3.4.2. Функция f = (f1; : : : ; fk) непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда 8i = 1; : : : ; k функции fi непрерывны в этой точке.

Замечание. Операции сложения, умножения на скаляр и скалярное произведение над вектор-функциями не выводят из класса функций непрерывных в точке. Над числовыми функциями многих переменных можно производит операции сложения, умножения и деления, которые также не выводят за пределы класса функций непрерывных в точке.

43

3.5Непрерывность функции на множестве

Многие свойства скалярных функций одно переменной, непрерывных на множестве, обобщаются на случай вектор-функций.

Теорема 3.5.1. Пусть функция f непрерывна на множестве X и множество X является компактом. Тогда множество Y = f(X) тоже компакт.

Теорема 3.5.2. (первая теорема Вейерштрасса). Пусть функция f непрерывна на множестве X и множество X является компактом. Тогда функция f ограничена на X:

Вторая теорема Вейерштрасса справедлива лишь для скалярных функций многих переменных.

Теорема 3.5.3. (вторая теорема Вейерштрасса). Пусть f : X ! R; где X Rm; непрерывна на X и множество X является компактом. Тогда функция f принимает на множестве X наибольшее и наименьшее значения.

Определение равномерной непрерывности на множестве вектор-функции векторного аргумента дословно повторяет данное ранее для скалярных функций одной переменной. И справедлива теорема Кантора.

Теорема 3.5.4. Пусть функция f непрерывна на множестве X и мно-

жество X является компактом. Тогда функция f равномерно непрерывна на X:

Что касается теоремы Коши о промежуточных значения непрерывной функции, то здесь появляются некоторые специфические моменты.

Теорема 3.5.5. Пусть функция f непрерывна на множестве X и мно-

жество X линейно связно. Тогда множество Y = f(X) также линейно связно.

Доказательство. Доказать самостоятельно.

Следствие. Пусть функция f : X ! R определена и непрерывна на линейно связном множестве X 2 Rm и принимает на нем значения A и B: Тогда эта функция принимает любое значение промежуточное между A и B:

Замечание. Линейно связное множество на числовой прямой R является промежутком.

44

3.6Дифференцируемость в точке функции многих переменных

Частные производные и дифференцируемость в точке.

Пусть вещественнозначная функция f определена на множестве

X Rm; и точка x0 - внутренняя точка области определения функции.

Определение 3.18. Частной производной функции f по первой переменной в точке x0 = (x01; : : : ; x0m) называют предел

Аналогично определяются частные производные по остальным переменным.

Задание. Установить геометрический смысл частных производных.

Определение 3.19. Функция f называется дифференцируемой в точке x0; если приращение функции в этой точке может быть представлено

ââèäå

f(x) f(x0) = '1(x)(x1 x01) + '2(x)(x2 x02) + : : : + 'm(x)(xm x0m);

(5)

где функции 'k (k = 1; : : : ; m) непрерывны в точке x0:

Обозначим Ak = 'k(x0): Тогда 'k(x) = Ak + k(x); где функции k бесконечно малы в точке x0: Очевидно, что равенство (5) эквивалентно равенству

f(x) f(x0) = A1(x1 x01) + A2(x2 x02) + : : : + Am(xm x0m)+

+ 1(x)(x1 x01) + 2(x)(x2 x02) + : : : + m(x)(xm x0m): (6)

45

Покажем также, что условие (5) эквивалентно условию

f(x) f(x0) =

= A1(x1 x01) + A2(x2 x02) + : : : + Am(xm x0m) + o(jx x0j): (7)

Действительно,

(j 1(x)j + j 2(x)j + : : : + j m(x)j)jx x0j = o(jx x0j):

Ñдругой стороны,

и учитывая, что i = o(1) ïðè x ! x0; придем к представлению (6). Равенства (5), (6) и (7) называют условием дифференцируемости

функции в точке x0:

Теорема 3.6.1. (о непрерывности дèфференцируемой функции). Если функция f дифференцируема в точке x0; то она непрерывна в этой точ- ке.

Доказательство. Доказательство следует из равенства (5).

46

(о существовании частных производных у дифôеренцируемой функции). Если функция f дифференцируема в точке x0; то в этой точке у нее существуют все частные производные и при всех k = 1; : : : ; m

@f

@xk (x0) = Ak;

ãäå Ak числа из (6).

Доказательство. Согласно равенству (6) имеем

f(x1; x02; : : : ; x0m) f(x01; x02 : : : ; x0m) = A1(x1 x01)+ 1(x1; x02; : : : ; x0m)(x1 x01):

Поделив обе части равенства на x1 x01 и перейдя к пределу при x1 ! x01; получим

@f

@x1 (x0) = A1:

Аналогично доказываются равенства для частных производных по остальным переменным.

Геометрический смысл условия дифференцируемости функции двух переменных.

Если функция z = f(x; y) дифференцируема в точке (x0; y); то это означает, что

p

f(x; y) = f(x0; y0) + A(x x0) + B(y y0) + o( (x x0)2 + (y y0)2)

Рассмотрим в R3 плоскость

z = z0 + A(x x0) + B(y y0);

ãäå z0 = f(x0; y0):

Сравнивая эти равенства, видим, что график функции f в окрестности точки (x0; y0; z0) хорошо аппроксимируется плоскостью. Точнее, точка (x; y; f(x; y)) графика функции уклоняется от точки (x; y; z(x; y))

47

ïëоскости на бесконечно малую более высокого порядка, чем величина

p

(x x0)2 + (y y0)2:

Эта плоскость с уравнением

называется касательной плоскостью к графику функции z = f(x; y) в

точке (x0; y0; f(x0; y0)):

Записывая уравнение касательной плоскости в каноническом виде

является нормальным вектором касательной плоскости. Его называют нормальным или ортогональным к графику функции в точке

(x0; y0; f(x0; y0)):

Достаточное условие дифференцируемость в точке.

Теорема 3.6.3. Если у функции f в некоторой окрестности точки x0 ñуществуют все частные производные и они íепрерывны в самой точке x0; то функция f дифференцируема в точке x0:

Доказательство. Для сокращения записи проведем доказательство для функции двух переменных f(x; y) и точки (x0; y0):

Представим приращение функции следующим образом

f(x0 + h1; y0 + h2) f(x0; y0) =

= (f(x0 + h1; y0 + h2) f(x0; y0 + h2)) + (f(x0; y0 + h2) f(x0; y0))

Выражение f(x0+h1; y0+h2) f(x0; y0+h2) можно рассматривать как приращение функции f(x; y0+h2) одной переменной x на отрезке [x0; x0 + h1]: Применяя к этому приращению формулу Лагранжа, найдем такое 1 2 (0; 1); ÷òî

f(x0 + h1; y0 + h2) f(x0; y0 + h2) = fx0 (x0 + 1h1; y0 + h2)h1:

48

Так как производная fx0 непрерывна в точке (x0; y0); òî fx0 (x0 + 1h1; y0 + h2) = fx0 (x0; y0) + 1(h1; h2);

ãäå 1 бесконечно малая при (h1; h2) ! (0; 0) функция. Аналогично рассуждая, получим

f(x0; y0 + h2) f(x0; y0) = fy0(x0; y0 + 2h2)h2 = (fy0(x0; y0) + 2(h1; h2))h2;

ãäå 2 2 (0; 1) è 2 бесконечно малая при (h1; h2) ! (0; 0) функция. Таким образом

f(x0 + h1; y0 + h2) f(x0; y0) =

= fx0 (x0; y0)h1 + fy0(x0; y0)h2 + 1(h1; h2)h1 + 2(h1; h2)h2:

Согласно равенству (6) функция f дифференцируема в точке (x0; y0):

3.7Дифференцирование сложной функции.

Рассмотрим вопрос о дифференцировании сложной функции f g; где f : Rm ! R è g : Rk ! Rm; òî åñòü

(f g)(t) = f(g1(t); : : : :gm(t)) = f(g1(t1; : : : ; tk); : : : :gm(t1; : : : ; tk))

Теорема 3.7.1. Пусть функция f дифференцируема в точке x0; а функции gi при всех i = 1; : : : ; m дифференцируемы в точке t0 è x0 = g(t0): Тогда функция f g дифференцируема в точке t0 и при любом j = 1; : : : ; k справедливо равенство

Доказательство. Так как функция f дифференцируема в точке x0; òî

m

X

f(x) f(x0) = 'i(x)(xi x0i );

i=1

где функции 'i (i = 1; : : : ; m) непрерывны в точке x0 è 'i(x0) = @f (x0):

@xi

49

Поскольку x = g(t) и x0 = g(t0); òî

(f g)(t) (f g)(t0) = f(g(t)) f(g(t0)) =

Так как функции gi при всех i = 1; : : : ; m дифференцируемы в точке

Осталось заметить, что функции 'i(g(t)) ij(t)) непрерывны в точке t0; è ïîñëеднее раâенство означает условие дифференцируемости функции f g в точке t0: Кроме того при всех j = 1; : : : ; k

3.8Производная по направлению. Вектор градиент.

Определение 3.20. Пусть вектор a 2 Rm - вектор единичной длины,

и прямая l проходит через точку x0 параллельно вектору a: Параметрическое представление прямой l имеет вид: x = x0 + ta; t 2 R: Рассмотрим функцию F (t) = f(x0 + ta): Она определена для всех t таких, что точка x0 + ta принадлежит области определения функции f:

50