2_sem_141

Доказательство. Необходимость доказывается тривиально. Достаточность. Пусть выполняется условие (1), т. е.

8 > 0 9n 2 N 8n n 8m n 8x 2 X jfm(x) fn(x)j < : (2)

Это означает, что последовательность (fn(x)) при любом x 2 X фундаментальна, следовательно, она сходится (мы воспользовались критерием Коши сходимости числовой последовательности).

Пусть функция f является поточечным пределом последовательно-

ñòè (fn):

Перейдя к пределу при m ! 1 в условии (2), получим

8 > 0 9n 2 N 8n n 8x 2 X jf(x) fn(x)j :

Это означает, что fn f:

2.2Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость предела

Теорема 2.2.1. (о непрерывности предела). Пусть при всех n 2 N fn непрерывны в точке x0 2 X è fn f: Тогда функция f непрерывна в точке x0:

Доказательство. Очевидна следующая цепочка неравенств

jf(x) f(x0)j jf(x) fn(x)j + jfn(x) fn(x0)j + jfn(x0) f(x0)j2jjf fnjj + jfn(x) fn(x0)j;

где n - любое.

Пусть теперь > 0 - произвольное число. В силу условия fn f найдем номер n1 такой, что jjf fn1 jj < =3: Поскольку функция fn1 непрерывна в точке x0; то найдется > 0 такое, что при всех x 2 X; удовлетворяющих условию jx x0j < ; выполняется неравнство jfn1 (x)

при всех x 2 X; удовлетворяющих условию jx x0j < : Согласно определению Коши непрерывности функции делаем заключение, что функция f непрерывна в точке x0:

21

Теорема 2.2.2. (об интегрируемости предела). Пусть при всех n 2 N fn непрерывны на отрезке [a; b] и fn f: Тогда функция f интегрируема

ZZ

Доказательство. В силу теоремы (2.2.1) функция f непрерывна на отрезке [a; b]; и следовательно, интегрируема.

Тогда, пользуясь свойствами интеграла, имеем

b

Z

fn(x) f(x) dx jjfn fjj(b a) = o(1);

a

следовательно,

bb

ZZ

lim fn(x)dx = f(x)dx:

n!1

aa

Следствие. Пусть при всех n 2 N fn непрерывны на отрезке [a; b] и fn f: Тогда при любом x0 2 [a; b] последовательность функций

x

Z

Fn(x) = fn(t)dt; x 2 [a; b];

x0

равномерно на этом отрезке сходится к функции

x

Z

F (x) = f(t)dt; x 2 [a; b]:

x0

22

Доказательство. Обратим внимание на то, что при всех x 2 [a; b]

b

Z

jfn(t) f(t)jdt jjfn fjj(b a);

a

следовательно,

jjFn F jj jjfn fjj(b a) ! 0 ïðè n ! 1:

Теорема 2.2.3. ( о дифференцируемости предела на отрезке). Пусть при всех n 2 N функции fn непрерывно дифференцируемы на отрезке [a; b]; последовательность (fn0 ) равномерно сходится на отрезке к функции ', а последовательность (fn) сходится в некоторой точке x0 2 X:

Тогда последовательность (fn) равномерно на этом отрезке сходится к некоторой функции f и при всех x 2 [a; b] f0(x) = '(x):

Доказательство. Согласно формуле Ньютона-Лейбница имеем равен-

В силу следствия теоремы (2.2.2) Fn : Тогда последовательность (fn) равномерно на этом отрезке сходится к функции

x

Z

f(x) := A + '(t)dt; x 2 [a; b]:

x0

Дифференцируя интеграл по верхнему пределу интегрирования, полу-

чим равенство

f0(x) = '(x) ïðè âñåõ x 2 [a; b]:

23

2.3Функциональные ряды.

Равномерная сходимость и критерий Коши.

Определение 2.5. Пусть (fn) - функциональная последовательность, D(fn) = X ïðè âñåõ n 2 N:

P

Определение 2.6. 1. Ðÿä Pfn сходится в точке x0; если последовательность (Sn) сходится в точке x0:

2.Ðÿä Pfn поточечно сходится, если последовательность (Sn) поточечно сходится.

Åñëè Sn ! S; то функцию S называют суммой ряда и обозначат

P1n=1 fn = S:

3.Ðÿä Pfn равномерно сходится, если последовательность (Sn) равномерно сходится.

4.Ðÿä Pfn нормально сходится, если сходится ряд Pjjfnjj:

Критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей можно перевести на язык теории функциональных рядов.

=n+1

Теорема 2.3.2. (о равномерной сходимости нормально сходящегося ряда). Если ряд Pfn нормально сходится, то ряд Pfn равномерно сходится.

Доказательство. В силу свойств равномерной нормы имеем

n+p n+p

XX

Осталось применить критерий Коши сходимости числового ряда и критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда.

24

Свойства суммы ряда.

Следующие три теоремы являются переводом на язык теории рядов теорем (2.2.1), (2.2.2) и (2.2.3) соответственно.

Теорема 2.3.3. (о непрерывности суммы ряда). Пусть при всех n 2 N

Теорема 2.3.5. (о дифференцируемости суммы ряда). Пусть X = [a; b];

XX

fn(x) = fn0 (x):

Признаки равномерной сходимости.

Докажем несколько признаков равномерной сходимости рядов.

Теорема 2.3.6. (признак Вейерштрасса). Пусть при всех n 2 N jjfnjj an;

В доказательстве следующих признаков мы будем использовать преобразование Абеля.

25

Пусть

k

X

Gn;k = gn+i:

i=1

Тогда

n+p

X

fkgk = fn+1Gn;1 + fn+2(Gn;2 Gn;1) + : : : + fn+p(Gn;p Gn;p 1) =

k=n+1

p 1

X

=(fn+k fn+k+1)Gn;k + fn+pGn;p:

k=1

имеем:

9M 8n 2 N jjGnjj M

è

8n 2 N 8k 2 N jjGn;kjj = jjGn+k Gnjj jjGn+kjj + jjGnjj 2M:

Тогда при любом x 2 X

XX

X

2M (fn+k(x) fn+k+1(x)) + fn+p(x) 2M = 2Mfn+1(x) 2Mjjfn+1jj:

k=1

26

Пусть теперь > 0: Тогда найдется номер n ; начиная с которого jjfnjj <: Продолжим оценку

n+p

X

k=n+1

Доказательство. Пусть M > 0 такое, что при всех n 2 N jjfnjj M; и> 0: Тогда

9n 2 N 8n n 8k 2 N 8x 2 X jGn;k(x)j < :

Поэтому 8n n 8p 2 N 8x 2 X

X

< (fn+k(x) fn+k+1(x)) + jfn+p(x)j = (fn+1 fn+p) + jfn+p(x)j

k=1

2M + M = 3M :

Согласно критерию Коши ряд Pfngn сходится равномерно.

2.4Степенные ряды

Радиус и интервал сходимости степенного ряда.

Определение 2.7. Функциональный ряд вида

1

X

a0 + a1(x x0) + a2(x x0)2 + : : : = an(x x0)n;

n=0

ãäå a0; a1; : : : 2 R; x0 2 R, называют степенным рядом. Числа a0; a1; : : :

называют коэффициентами степенного ряда.

27

1

Не ограничивая общности, изучим подробно ряды вида P anxn: Çà-

n=0

метим, что любой такой степенной ряд сходится в точке x = 0:

Для установления оáëàсти сходимости степенного ряда рассмотрим p

последовательность ( n janj): Возможны два случая:

p

1) последовательность ( n janj) неограничена;

p

2) последовательность ( n janj) ограничена.

Во втором случае существует конечный верхний предел

p

lim n janj = L 0:

n!1

Теорема 2.4.1. (Коши-Адамара).

1

p

1. Если последовательность ( n janj) неограничена, то ряд P anxn

n=0

сходится только в точке x = 0:

p

2.Если последовательность ( n janj) ограничена и L > 0; то ряд абсолютно сходится во всех токах x; удовлетворяющих условию jxj < 1=L; и расходится во всех точках x; удовлетворяющих усло-

âèþ jxj > 1=L:

p

3.Если последовательность ( n janj) ограничена и L = 0; то ряд абсолютно сходится во всех точках x 2 R:

Доказательство. 1. Очевидно, что при любом x 6= 0 последовательность

pp

(jxj n janj) = ( n janxnj) неограничена и, следовательно, anxn 6= o(1): Таким образом, не выполняется необходимое условие сходимости ряда, а значит, ряд расходится.

2. Пусть jxj < 1=L: Тогда

и согласно признаку Коши ряд абсолютно сходится. Пусть jxj > 1=L: Тогда

28

и последовательность anxn 6= o(1): Таким образом, не выполняется необходимое условие сходимости ряда, а значит, ряд расходится.

3. При любом x 2 R

p

lim n janxnj = jxj L = 0

n!1

и согласно признаку Коши ряд абсолютно сходится.

p

Определение 2.8. Пусть L = limn!1 n janj:

Определим число

R = 1=L; åñëè 0 < L < +1;

R = +1; åñëè L = 0;

R = 0; åñëè L = +1:

1

Число R называют радиусом сходимости степенного ряда P anxn:

n=0

Если 0 < R < +1; то интервал ( R; R) называют интервалом

1

сходимости степенного ряда P anxn:

n=0

В случае R = +1 интервал сходимости вырождаеется во всю числовую прямую ( 1; +1); а в случае R = 0 - в одну точку x = 0:

Замечание. В граничных точках интервала ( R; R) ряд может ве-

сти себя по разному. В каждом конкретном случае требуются отдельные исследования.

1

Теорема 2.4.2. (Абеля). Если степенной ряд P anxn сходится в неко-

n=0

торой точке x1 6= 0; то ряд сходится в интервале ( jx1j; jx1j):

Доказательство. Точка x1 лежит внутри интервала сходимости, либо является граничной точкой интервала сходимости, следовательно,

( jx1j; jx1j) ( R; +R):

Свойства суммы степенного ряда

Теорема 2.4.3. Пусть R > 0 - радиус сходимости степенного ряда

1

P anxn: Тогда при любом r 2 (0; R) ряд равномерно сходится на отрезке

n=0

[ r; r]:

29

Доказательство. Степенной ряд абсолютно сходится в точке x = r: Поскольку при любом x 2 [ r; r]

janxnj janjrn;

то в силу признака Вейерштрасса ряд равномерно сходится на отрезке

[ r; r]:

Теорема 2.4.4. (о непрерывности суммы степенного ряда). Пусть R >

1

0 - радиус сходимости степенного ряда. Тогда его сумма S(x) = P anxn

n=0

непрерывна на интервале ( R; R):

Доказательство. В силу предыдущей теоремы и теоремы о непрерывности суммы ряда функция S непрерывна на отрезке [ r; r] при любом

r 2 (0; R): Следовательно, S непрерывна всем интервале ( R; R):

( об интегрируемости суммы степенного ряда). Пусть R > 0 - радиус сходимости степенного ряда и jxj < R: Тогда степенной

ряд можно почленно интегрировать на отрезке с концами 0 и x

причем радиус сходимости полученного ряда равен R:

Доказательство. Следует из равномерной сходимости ряда на отрезке с концами 0 и x и теоремы об интегрируемости суммы функционального

ряда, а также равенства

Замечание. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке, лежащем в интервале сходимости ряда.

Пользуясь теоремой о дифференцируемости суммы функционального ряда, легко доказать следующую теорему.

30