Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2_sem_141

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

481.56 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Теорема 1.3.2. Последовательность (Sn) имеет ограниченную вариацию тогда и только тогда, когда она представима в виде Sn = un vn; n 2 N; ãäå (un) è (vn) - неубывающие сходящиеся последовательности.

Доказательство. Доказать самостоятельно.

Следствие. Всякая последовательность с ограниченной вариацией сходится.

1.4Числовые ряды с произвольнами членами. Условно сходящиеся ряды

Определение 1.7. Ряды, которые сходятся, но не сходятся абсолютно, называют условно сходящимися.

Наша ближайшая задача - получить признаки сходимости рядов с произвольными членами.

Теорема 1.4.1. (преобразование или тождество Абеля). Для любых чисел B0; B1; : : : ; Bn;

a1; a2; : : : ; an справедливо равенство

n	n 1
=1	ak(Bk Bk 1) = anBn a1B0 Bk(ak+1 ak):
=1	=1
Xk	Xk

Доказательство.

n		n 1
X	ak(Bk Bk 1) +	X
	ak(Bk Bk 1) +	Bk(ak+1 ak) =
k=1		k=1
n	n	n 1	n 1
X	X	X	Xk
= akBk akBk 1 + Bkak+1 Bkak =
k=1	k=1	k=1	=1

= anBn a1B0:

Теорема 1.4.2. (о равносходимости рядов, связанных преобразованием Абеля). Пусть Bn = Pnk=1 bk; B0 = 0 и последовательность (anBn)

сходится. Тогда ряды Panbn è PBn(an+1 an) ведут себя одинаково.

anbn сходится.

Теорема 1.4.3.

Доказательство. Так как bk = Bk Bk 1; B0 = 0; то тождество Абеля можно переписать в виде

n 1

	akbk = anBn Bk(ak+1 ak):
k=1	k=1

Остальное очевидно.

(Абеля-Дирихле). Пусть последовательность (an) èìå-

ет ограниченную вариацию, Bn = k=1 bk; (B0 = 0); Bn = O(1); после-

довательность (anBn) сходится. Тогда ряд

Доказательство. Поскольку

		1
Bn(an+1 an) = O(jan+1 anj) è		X
Bn(an+1 an) = O(jan+1 anj) è		jan+1 anj < +1;
		n=1
то в силу признака мажорации ряд	Bn(an+1 an) абсолютно сходится
и, следовательно, сходится. Тогда	согласно теореме о равносходимости
и, следовательно, сходится. Тогда	P
рядов, связанных преобразованием Абеля, ряд			anbn сходится.

Теорема 1.4.4. (обобщенный признак Абеля). Пусть последователь-

ность (an) имеет ограниченную вариацию и ряд bn сходится. Тогда ðÿä Panbn сходится.

Доказательство. Поскольку последовательность (an) имеет ограниченную вариацию, то она сходится.

Сходимость ряда

bn означает сходимость последовательности (Bn);

последовательность

(anBn)

сходится.

Bn = k=1 bk: Тогда P

(Bn)

Bn = O(1):

Сходимость последовательности

обеспечивает условие

Таким образом выполняются все условия теоремы Абеля-Дирихле,

следовательно, ряд

anbn сходится.

Теорема 1.4.5. (обобщенныйP

признак Дирихле). Пусть последователь-

ность (an) имеет ограниченную вариацию, an

= o(1); Bn

bk; Bn =

O(1): Тогда ряд anbn сходится.

Pk=1

Доказательство.PУсловия данной теоремы обеспечивают выполнение усло-

теоремы Абеля-Дирихле, следовательно, ряд

сходится.

âèéНетрудно доказать следующую теорему.

Теорема 1.4.6. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет ограниченную вариацию.

Доказательство. Доказать самостоятельно.

Используя эту теорему, можно видоизменить признаки Абеля и Дирихле.

Теорема 1.4.7. (признак Абеля). Пусть последовательность (an) монотонная и ограниченная и ряд Pbn сходится. Тогда ряд Panbn сходится.

Теорема 1.4.8. (признак Дирихле). Пусть последовательность (an) монотонная и an = o(1); Bn = Pnk=1 bk; Bn = O(1): Тогда ряд Panbn сходится.

Теорема 1.4.9. (признак Лейбница). Пусть последовательность (an) монотонная и an = o(1): Тогда ряд P( 1)nan сходится.

Доказательство. Нужно положить bn = ( 1)n и воспользоваться при- знаком Дирихле.

1.5Сумма ряда как обобщение суммы конечного числа слагаемых

Теорема 1.5.1. (Сочетательный закон). Пусть ряд	a		сходится, по-
следовательность натуральных чисел (mn)	P	n	m1 = 1:

возрастает (строго),

Тогда ряд

1 mn+1 1

n=1 k=mn

сходится и его сумма равна сумме P1n=1 an:

Доказательство. Последовательность частных сумм сгруппированного ряда является подпоследовательностью последовательности частных сумм ряда исходного, следовательно, она также сходится, и их пределы равны.

Определение 1.8. Пусть - взаимно однозначное отображение мно-

k	P	Pk
жества N на себя. Тогда ряд	a (k) называют перестановкой ряд		an:
	P
Обозначив (k) = n ; перепишем перестановку ряда в виде		an :

Теорема 1.5.3.

Теорема 1.5.2. (коммутативный закон для знакоположительного ряда). Если при всех k 2 N ak 0; то для любой перестановки ряда выполняется равенство

	X		X
		ank =	ak:
	k=1		k=1
Доказательство. Пусть
	mp = max(n1; n2; : : : ; np);			p 2 N:
Тогда при всех p 2 N
	p	mp	1
	X	X	1
	X	X	Xk
	ank		ak	ak
	k=1	k=1	=1
и, следовательно,	1		1
	1		1
	X	ank	X
		ank	ak:
справедливо	k=1		k=1	P
справедливо	P			P
Поскольку ряд	ak можно считать перестановкой ряла ank ; òî

неравенство противоположное

ak	ank :
k=1	k=1

Следовательно, верно равенство.

(коммутативный закон для абсолютно сходящегося ряда). Если ряд абсолютно сходится, то любая его перестановка абсолютно сходится и их суммы равны.

Доказательство. Нужно применить предыдущую теорему к рядам Pa+n

è Pan :

Утверждение. Если ряд Pan сходится условно, то ряды Pa+n è Pan расходятся.

Доказательство. Если ряды Pa+n è Pan сходятся, то ряд

X X X janj = a+n + an

X X an =

сходится, т.е. ряд сходися абсолютно. Предположим, что один из рядов Pa+n ; Pan сходится. Пусть это будет ряд Pa+n : Тогда ряд

X a+n an

тоже сходится, и, следовательно, ряд сходится абсолютно.

Теорема 1.5.4. (Римана) Если ряд Pan сходится условно, то для любого A 2 R найдется перестановка, сумма которой P1k=1 ank = A:

Доказательство. В силу условной сходимости ряда имеем

an+ = +1;	an = +1; an ! 0:
n=1	n=1

Тогда, начиная с некоторого значения n; будет выполняться неравенство

a+k > A:

k=1

Обозначим через n1 наименьшее значение n; при котором это неравенство выполняется, т.е.

n1 1

ak+ A <	ak+:
k=1	k=1

Это означает, что мы сделали набор из неотрицательных членов ряда, не нарушая их порядка, пока их сумма не превысила число A ровно на один, последний в этом наборе, член a+n1 :

Обозначим y1 = P a+k :

k=1

Далее будем брать отрицательные члены ряда в том порядке, как они стоят в этом ряду, до тех пор, пока вся сумма не станет меньше числа A; т.е.

n1	m1	n1	m1 1
X	X	Xk	X
	ak+ +	( ak ) < A ak+ +	( ak )
k=1	k=1	=1	k=1

Обозначим y2 = P( ak ):

k=1

Далее продолжим набор a+

òàê, ÷òî

n2 1

k=X1

ak+ + ( ak ) +

ak+ A <

ak+ + ( ak ) +

ak+:

k=1

k=n +1

k=1

n +1

Обозначим y3 =

ak+:

k=n +1

Продолжим наборP1

ak òàê, ÷òî

k=X1

ak+ +

( ak ) +

ak+

( ak ) < A

k=1

k=n +1

m +1

m2 1

k=X1

( ak ):

ak+ +

( ak ) +

ak+

k=1

k=n +1

m +1

+1( ak ):

Обозначим y4 = k=m1

Продолжая так

P n

; частные суммы S

которого

удовлетворяют неравенствам:

далее, получим ряд

jS1 Aj an+1 ; jS2 Aj am1 ;

jS3 Aj an+2 ; jS4 Aj am2 ;

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

;

jS2k 1 Aj ank ;

jS2k Aj amk

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

Очевидно, что ряд

Поскольку an ! 0; то сумма ряда n=1 yn = A:

an добавлением

получен из некоторой перестановки ряда

обяза-

нулевых слагаемых и группировкой членов. Нулевые

слагаемые появляются в связи с тем, что одно из чисел

тельно равно нулю. Поскольку сгруппированные члены имеют одинаковые знаки, то частные суммы перестановки заключены между частными суммами ряда сгруппированного. Следовательно, указанная перестановка имеет ту же сумму, то есть A:

1.6Произведение числовых рядов

Определение 1.9. Пусть даны числовые ряды Pan è Pbn: Числовой ðÿä Pcn; ãäå

n 1	n 1
X	X
cn = an	bk + bn ak + anbn;
k=1	k=1

будем называть произведением исходных рядов, согласованным с перемножением частных сумм.

Обратим внимание на следующий важный факт:

Cn = An Bn;

ãäå	n	n	n
	n	n	n
	X	X	Xk
	Cn = ck; An = ak; Bn = bk:
	k=1	k=1	=1
Очевидна следующая		Pbn		Pcn
è	Åñëè ðÿäû Pan	Pbn		Pcn
Теорема 1.6.1.		è	сходятся, то ряд		сходится
	1	1	1
	X	X	X
	cn = an bn:
	n=1	n=1	n=1

Теперь нас будет интересовать вопрос: можно ли перемножать сходящиеся ряды по правилу перемножения конечных сумм?

Составим бесконечную матрицу

C =	0 a2b1	a2b2	a2b3	: : : 1
	a1b1	a1b2	a1b3	: : :	A
	@ : : :	: : :	: : :	: : :	A

и произвольным образом занумеруем ее элементы: cn = amn bpn :

Теорема 1.6.2. (о произведении абсолютно сходящихся рядов). Если

ðÿäû	P	P		C		cn абсолютно сходится и
ðÿäû	an è		bn абсолютно сходятся, то при любой нумерации эле-
ментов матрицы					ðÿä	P
ментов матрицы					ðÿä

1 1 1

XX X

cn =	an	bn:
n=1	n=1	n=1

Доказательство. Рассмотрим нумерацию:

c1 = a1b1; c2 = a1b2; c3 = a2b2; c4 = a2b1;

c5 = a1b3; c6 = a2b3; c7 = a3b3; c8 = a3b2; c9 = a1b3; : : : :

Тогда очевидно, что

n	n2	n	n
X	X	Xk	X
	jckj	jckj =	jakj jbkj:
k=1	k=1	=1	k=1

Переходя к пределу при n ! 1; получим

	1	1	1
	X	X	Xk
	jckj	jakj	jbkj < +1;
	k=1	k=1	=1
ò.å. ðÿä	P
ò.å. ðÿä	cn абсолютно сходится. Тогда любая его перестановка

абсолютно сходится и

c (n) =	cn:
n=1	n=1

Осталось в ряду Pcn произвести группировку

c1 + (c2 + c3 + c4) + (c5 + : : : + c9) + : : : ;

c (n)

соглассованную с перемножением частных сумм и воспользоваться ранее доказанными фактами. Таким образом, при дюбой нумерации элементов матрицы C получаем ряд, сумма которого

XX X X

	c (n) = cn = an		bn:
n=1	n=1	n=1	n=1

Определение 2.2.

2Функциональные последовательности и ряды

2.1Поточечная и равномерная сходимость фунциональных последовательностей

Определение 2.1. Отображение множества N во множество функ-

ций будем называть функциональной последовательностью и обозна- чать (fn):

Будем считать, что все функции fn определены на одном и том же множестве X:

Говорят, что последовательность (fn) сходится в точке x0 2 X; если сходится числовая последовательность (fn(x0)):

Говорят, что последовательность (fn) поточечно сходится на множестве M X; если последовательность (fn) сходится в каждой точ- ке множества M:

Если последовательность (fn) поточечно сходится на всем множестве X; то говорим кратко, что она сходится поточечно и обозначаем символом fn ! f.

Определение 2.3. Пусть функция f определена на множестве X: Равномерную норму функции обозначим символом jjfjj и определим

равенством

jjfjj = sup jf(x)j:

x2X

Простейшие свойства равномерной нормы.

1.8x 2 X jf(x)j jjfjj:

2.jjfjj < +1 , f ограничена.

3.jjfjj 0 è jjfjj = 0 , f(x) = 0 8x 2 X:

4.8 2 R jj fjj = j j jjfjj:

5.jjf + gjj jjfjj + jjgjj:

6.jjf gjj jjfjj jjgjj:

Свойства равномерной нормы доказать самостоятельно.

Определение 2.4. Пусть все функции fn и функция f определены на множестве X:

Будем говорить, что последоваельность (fn) равномерно сходится к функции f и обозначать символом fn f; åñëè

lim jjfn fjj = 0:

n!1

Условие определения равномерной сходимости можно расписать подробнее:

8 > 0 9n 2 N 8n n 8x 2 X jfn(x) f(x)j < :

Задание. Дать геометрическую интерпретацию равномерной сходимости.

Очевидно утверждение следующей теоремы.

Теорема 2.1.1. Если последовательность (fn) равномерно сходится к функции f; то последовательность (fn) сходится поточечно к функции f.

Следствие. Если последовательность равномерно сходится, то ее предел единственный.

Теорема 2.1.2. (линейность равномерного предела). Если

fn f; gn g; 2 R;

òî

fn + gn f + g; fn f:

Доказательство. Доказательство выекает из свойств 4 и 5 равномерной нормы.

Теорема 2.1.3. (критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности). Последовательность (fn) равномерно сходится тогда и только тогда, когда

8 > 0 9n 2 N 8n n 8m n jjfn fmjj < :

(1)

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.03.201672.65 Кб2525,02,15 конспект практика.doc
#
23.09.201993.3 Кб627 вопрос - 55 философия.docx
#
09.06.20151.97 Mб2062DetLitVuz2.doc
#
09.06.20151.87 Mб2922DetLitVuz3.doc
#
09.06.201555.81 Кб122_kurs_1_sem_k_r.doc
#
29.03.2016481.56 Кб162_sem_141.pdf
#
09.06.201523.37 Кб182_Struktura_khimicheskogo_yazyka.docx
#
09.06.201586.84 Кб262курс.docx
#
22.09.201940.09 Кб32Философия как мировоззрение. Функции философии...docx
#
09.06.2015207.36 Кб823 zadachi_dinamika_(задачи по физике).doc
#
08.05.2019152.06 Кб13 Психология 2 часть Метод рекомендации.doc