2_sem_141

Лекции по математическому анализу для студентов ф-та КНиИТ СГУ 141 группы

Л.В. Сахно

10 февраля 2015 г.

Содержание

1.1Числовой ряд и его сумма. Критерий Коши. Абсолютно сходящиеся ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2Ряды с неотрицательными членами. . . . . . . . . . . . . . 6

1.3Абсолютно сходящиеся ряды и последовательности с ограниченной вариацией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4Числовые ряды с произвольнами членами. Условно сходящиеся ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5Сумма ряда как обобщение суммы конечного числа слагаемых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6Произведение числовых рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1Поточечная и равномерная сходимость фунциональных последовательностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость предела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3Функциональные ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3Глава. Дифференциальное исчисление функций многих

1

3.2Последовательности в Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3Предел функции в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4 Непрерывность функции в точке . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.5Непрерывность функции на множестве . . . . . . . . . . . . 44

3.6Дифференцируемость в точке функции многих переменных 45

3.7Дифференцирование сложной функции. . . . . . . . . . . . 49

3.8Производная по направлению. Вектор градиент. . . . . . . 50

3.9Частные производные высших порядков и n - дифференцируемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.10Дифференциалы первого и высших порядков. . . . . . . . . 56

3.11Формула Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.12Экстремум функций многих переменных. . . . . . . . . . . 59

3.13Теорема о неявной функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.14Дифференцируемость вектор-функций. Матрица Якоби и якобиан. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.15Условный экстремум. Метод Лагранжа. . . . . . . . . . . . 68

2

1Теория числовых рядов

1.1Числовой ряд и его сумма. Критерий Коши. Абсолютно сходящиеся ряды.

Определение 1.1. Пусть (an) - числовая последовательность. Опре-

Если в R существует предел lim Sn = S; то S 2 R называют сум-

n!1

Если число S конечное, то ряд называют сходящимся, если S равно

n=1

и только по контексту определяют, о чем идет речь. Задание. Вычислите сумму

n

X

qk

k=1

и докажите, что при условии jqj < 1 ряд

+1

X

qk

k=1

ряд сходится, а также вычислите его сумму.

Теория числовых рядов изучает последовательность (Sn) с точки зрения последовательности членов ряда an = Sn Sn 1; n 2 N(S0 = 0); которая характеризует скорость изменения последовательности (Sn):

3

Заметим, что произвольную последовательность (Sn) может рассматривать как ряд с членами an = Sn Sn 1; n 2 N(S0 = 0):

Имеется тесная связь теорией последовательностей и теорией рядов. Возможно формулировать теоремы на языке каждой из них, а также на смешанном языке.

Теорема 1.1.1. (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд Pan

сходится, то lim an = 0:

n!1

Доказательство. Пусть ряд Pan сходится и его сумма равна числу S 2 R: Тогда

lim an = lim (Sn Sn 1) = S S = 0

n!1 n!1

Доказательство. Используя критерий Коши сходимости последовательности, имеем:

Теорема 1.1.3. (об арифметических действиях над сходящимися ря- дами). Пусть ряды Pan; Pbn сходятся и P1n=1 an = A; P1n=1 bn =

4

Доказательство.

Замечание. Понятие суммы ряда является обобщением (одним из возможных) понятия суммы конечного числа слагаемых на случай бесконечного числа слагаемых, т.е. целой последовательности слагаемых. В дальнейшем мы будем выяснять, какие свойства конечных сумм унаследовало понятие суммы ряда.

Окажется, что рядами , с которыми можно обращаться как с конеч- ными суммами, являются абсолютно сходящиеся ряды.

Определение 1.3. Ряд Pan называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд Pjanj:

Теорема 1.1.4. (о сходимости абсолютно сходящегося ряда). Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

Доказательство. В силу свойств модуля

n+p n+p

XX

и остается воспользоваться критерием Коши сходимости числового ряда.

Исследуя ряд на абсолютную сходимость, мы будем иметь дело с рядом, члены которого неотрицательны. Изучим такие ряды.

5

1.2Ряды с неотрицательными членами.

Важной особенностью рядов с неотрицательными членами является тот факт, что последовательность частных сумм ряда (Sn) неубывает, и такой ряд всегда имеет сумму конечную, либо равную +1: Поэтому

факт сходимости такого ряда можно выражать неравенством

P1 an < +1:

n=1

(основной признак Вейерштрасса). Ряд с неотрицательными членами сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частных сумм ограничена.

Доказательство. Доказательство вытекает из теоремы Вейерштрасса о монотонных последовательностях.

Теорема 1.2.2. (интегральный признак сходимости). Пусть функция f неотрицательная и невозрастающая на промежутке [1; +1): Тогда

ò.å.

Sn+1 f(1) F (n + 1) Sn:

Так как функция F и последовательность (Sn) неубывают, то из последнего двойного неравенства вытекает, что ограниченность функции F равносильна ограниченности последовательности (Sn):

когда сходится ряд Pf(n):

6

Задание. Пользуясь интегральным признаком сходимости, доказать,

÷òî ðÿä

X 1 np

сходится, если p > 1; и расходится, если p 1:

Замечание. Ðÿä

X 1 n

называют гармоническим рядом. Обратите внимание, что последовательность членов этого расходящегося ряда стремится к нулю.

Определение 1.4. Пусть (an); (bn) - числовые последовательности.

an = O(bn) , 9C > 0 8n 2 N janj Cjbnj:

Теорема 1.2.3. (признак мажорации). Пусть 8n 2 N an 0;

0 ak C bk:

k=1 k=1

Переходя далее к пределу при n ! +1; получим

11

XX

и, следовательно, an = O(bn): Осталось воспользоваться теоремой (1.2.3).

7

и, следовательно, an = O(bn): Осталось воспользоваться теоремой.

Теорема 1.2.4. (признак сравнения в предельной форме). Пусть 8n 2 N an > 0; bn > 0; и существует конечный предел

lim an = k 6= 0:

n!1 bn

Тогда ряды Pan è Pbn ведут себя одинаково.

Доказательство. В силу следствия 2 теоремы (1.2.3) из сходимости ряда

Доказательство. 1) Пусть < 1 и < q < 1: В силу порядковых свойств предела

8

ò.å. an+1 > an ïðè n n0: В этом случае an 6= o(1); следовательно ряд an расходится.

Доказательство. 1) Пусть < 1 и < q < 1: Согласно определению верхнего предела найдется номер n0; начиная с которого

расходится, а другой сходится.

9

1.3Абсолютно сходящиеся ряды и последовательности с ограниченной вариацией

Определение 1.5. Пусть a 2 R: Положим

Число a+ называют положительной частью числа a; a - отрица- тельной частью.

Отметим очевидные соотношения

Для любого числового ряда имеем равенства

X X X an = a+n an ;

X X X janj = a+n + an :

Теорема 1.3.1. (необходимое и достаточное условие абсолютной схо-

димости ряда). Ряд Pan абсолютно сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды Pa+n è Pan :

Доказательство. Доказать самостоятельно.

Определение 1.6. Говорят, что последовательность (Sn) имеет огра-

P1

ниченную вариацию, если n=1 jSn Sn 1j < +1; (S0 = 0):

Очевидно следующее утверждение.

Утверждение.Ðÿä Pan абсолютно сходится тогда и только тогда, когда последовательность частных сумм (Sn) имеет ограниченную вариацию.

10