Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по векторной алгебре

.pdf

Скачиваний:

125

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

822.4 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

3. 1) ~a?b, 2) ~a "" b, 3) ~a

"# b и j~aj > jbj, 4) ~a

"# b.

4. 1) Угол между векторами ~a и b острый, 2) угол между векторами ~a и

ог

b тупой.

! =

~c d

~c+d

d ~c

~c+d

2 .

7. ! = 2

, ! =

2 , !

~a+b

~a b

b+~a MD

b ~a

8. ! =

, ! =

9. ! =

.Ч

m~+p~

~n+~q

! =

F D

dГDG

10.

! =

.Н

11.

3 .

b+~c

P Q

~a+~c

~a+b

= 2,

не имеет смысла.

13.

14. 1) 2/3, 2) -1/2, 3) отношение не име ттсмысла.

15. 4.

17.

! =

(

b~a

21. 3/4.

на тот же угол в том же направлении,

22. Вектор суммы повернетсяу

длина его не изменится.

равен F , равнодействующая делит угол

25. Модуль равнодействующейн

пополам.

между силами !2

и !3

26. 1

=гоn 1

2 =

, ..., n 1 = n 1.

n 2

= 2~rB

~rA.

27. ~rC

28.вс~rD = ~r1 + ~r3 ~r2, ~rM =

~r1+~r3

~r1+~r2+~r3

т29. ~r

j !j!

j!j !

30.

! =

AC AB+ AB AC

j !j j!j

AB + AC

31.

~r1+ ~r3

~r1 ~r2

(

2),

32. ~rC = ~rB + ~rD ~rA,

~rB0

= ~rB ~rA ~rA0 , ~rC0 = ~rB + ~rD ~rA0 ,

~rD0

~rD ~rA + ~rA0 .

34. ~r

m1~r1+:::+mn~rn

m1+:::+mn

37.В точке пересечения диагоналей параллелограмма. Решение единственное.

38.Смотри пример 2.

40.Смотри пример 3.

41.Указание: найти радиусы-векторы середин указанных отрезков.

ог

46.

47.

ыш

48.

1) ~a k h, 2) ~a k l.

рн

50.

Прямая, параллельная направляющей прямой, в случае плоскости и

пространства.

плоскость, параллельная направляющей плоскости, в случаеГ

51.

2 =3.

52.

=2.

53.

Обе проекции равны нулевому вектору.

54.

, где

= !

!т

е.

55.

~q AB

си .

57.

(1; 1), (1; 1).

ер

58.

1); ( 1;

ив

(2;

2); (2;

2).

59.

(2; 1), (2; 2), (1; 2).

60.

1) ~a и d.

61.

= 3=2.

62.

1) ( 30; 21).

66.

1) ~c = ~a bр.

67.

1) d = ~aу+дb ~c.

68.

(

3го; 2 ).

ов

т70.

1) 14 2; 2) 5; 3) 24; 4) 1.

71.

ар

1) нет; 2) да; 3) верно тогда и только тогда, когда ~a k b; 4) да; 5) верно

тогда и только тогда, когда b k ~c; 6) верно тогда и только тогда, когда ~a k ~c

или b?~a;~c; 7) верно тогда и только тогда, когда p~?b.

72.

~a = b + p~, где p~?~c.

73.

~x =

~a2

+ b, где b – любой вектор, перпендикулярный ~a.

74.Теорему косинусов. Теорему Пифагора.

75.Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

77. Указание: выразить векторы медиан через векторы сторон.

78. Указание: выразить векторы сторон через векторы !,

79. Указание: выразить все векторы через векторы !,

OB OD

ог

80. Указание: выразить векторы !,

! через векторы

OB OD

81. Указание: выразить векторы !,

! через векторы

86. ! =

( ! !

AD2

AB; AD)

91. Указание: воспользоваться результатом задачи 78.

92. Указание: воспользоваться результатом задачи 79.

94.

93. d =

a2 + b2 + c2

+ 2ab cos + 2bc cos + 2ca cos . .

2BC2

+2AC2

AB2

BC AC(AB+BC+CA)(BC+AC AB)

96. CD

(BC+AC)2

BCD

ACD

97. Указание: выразить ! из треугольников

(AB+BC+CA)(AB+BC CA)(BC+CA ABи)(CA+AB BC)

98. CD =

4AB2

99. CD

иAB

(1+ )2

103. MM

+ b

+ a

с02

= 4(a

+ерb

104. cos' = (a2 b2) : (a2 + b2)и. в

105. ' =

3 .

106. = 2; 1.

107. cos C = 5.

108. cos ' = 5

109. cos ' = 5cosс4.

5а4рcos

(! !

111. Указание:уд

доказать сначала, что ctg A = 2

CA; AB)

112. Указание:о

доказать сначала, что ctg A =

113. ctgй' =

b2+b02 a2 a02

2cc0

) : 2

115. прAB

! = (

AB2

BC2

CA2

AB2

116. прAB ! = (

) : 2

117. прAB ! = (

)(

)( +

) : 2

(

CA).

CA BC

AB BC

CA AB

AB BC

118. 1) 25; 2) 0; 3) -18.

119. 1) 47; 2) (60; 140).

120. ' =

121.x = 158 .

122.(35; 45).

123.(3; 11).

124.

A =

, cos B = p

, cos C = p

125.

пр~~a =

ог

126.

~ab = 3 .

p114

p826

127.

; 2) 0; 3)

128.

1) 705; 2) (822, -1148, -61).

130.

(

;

131. cos A =

, cos B =

, cos C =

132.

пр~b ~a = 3.

133.

134.

1) cos ' = p

; 2) ' = 60 .

135.

1) cos ' =

; 2) cos ' =

2н.

2 2 2

p(a +c )(b

+еc )

136. cos ' =

274

им

1789

137.

~a).

ве

1) 2(b

~a); 2) 10(b

139.

Разность b ~c коллинеарна ~a.

140.

Если векторы ~c и d неколлинеарны, то ~a = b. Если же ~c и d колли-

нколлинеарнаы

~c.

неарны, то разность ~a b

141. b = ~a .

т~

144.

Если базис (~a; b) ортонормированный.

2ab sinр

149. tg ' =

(1+ )2

дb a

151.

152.

г1+

SABC.

(1+ )(1+ )(1+ )

даче.в

формулой, выведенной в предыдущей за-

153.кУказание:

воспользоваться

См. указание к задаче 153.

а 154.

155.

См. указание к задаче 153.

156.

См. указание к задаче 153.

157.

( 1)2

+ +1

158.6 2.

159.3.

160. ~x = ( 45; 35).

1 1 ~ 1 4

161.~a = ( 5; 5), b = (15; 15).

162.53 .

ог

163. 1. Положительный. 2. Отрицательный.

164. Противоположно.

165. Указание: вычислить координаты векторов данных базисов относив -

тельно базиса, два первых вектора которого лежат в плоскости , аштретий

вектор перпендикулярен .

166. 16.

.Г

168. 1) 3i

2j + 5k; 2) 35.

169. sin = p

ой плоскости и на-

171. Если k – орт, ортогональный ориентирован

рассматриваемое с кон-

правлен так, что положительное вращение в ней,м

ца вектора k, противоположно направлениютвращения часовой стрелки, то

~ ~

[~ab] = (~a b)k.

си

173. Геометрическое истолковани р: площади двух параллелограммов с

одинаковыми основаниями и равными высотами равны.

~x содержит по меньшей мере два некол-

174. Если область определенияу

линеарных вектора.

[b~c] следует [(~a + ~c)b] = 0, то есть ~a + ~c =

177. Решение. Из [~abн] =

равенство слева векторно на ~c, находим = 1.

b. Умножая последнеет

= 0 слева векторно на ~c, а затем

Обратно: умнож яравенство ~a + b + ~c

справа на b, полдчим требуемое.

179. Ко

ода прямая, определяемая вектором силы, проходит через эту

точку.

Момент

пары

относительно

любой

точки

пространства равен

181.

]

[ !

о P

, где

1 – точки приложения сил

соответственно.

т 2 1

183. Указание: рассматриваемое равенство равносильно следующему

(~ab)~c = (b~c)~a.

186. Геометрический смысл: так как ~a?b, то согласно задаче 170, постро-

на угол

ение [~ab]

сводится к повороту вектора b

2 в плоскости , перпенди-

кулярной вектору ~a, и умножению на a. Построение 4-кратного векторного

произведения, данного в примере, равносильно повороту вектора b в плоскости на угол 2 и умножению на a4.

~1 ~

187.h = a2 [~a [b~a ]].

189. Геометрический смысл: если в тетраэдре из любой вершины провести

медианы боковых граней и принять их за ребра нового тетраэдра, то объем

последнего равен четверти объема исходного тетраэдра.

193. Указание: воспользоваться тождеством Якоби задачи 184. Геометог-

рическая интерпретация: пусть ~a, b, ~c некомпланарны, тогда они определяютв

тетраэдр OABC. Плоскость , проходящая через OA перпендикулярно гра-

ни OBC, параллельна вектору [b~c ], а вектор [~a [b~c ] является ее

ормальным

плоско-

вектором. Аналогично находятся нормальные векторы двух другихе

стей. Эти нормальные векторы компланарны, следовательно, рассматривае-

мые плоскости, имея общую точку, проходят через одну прямую.

194. 1) Если [~ab ] = 0, то ~x = 0; если [~ab ]

6=0, тони

[~ab ] + [~a[~ab ]]

~x =

1 + a2

~ с

2) Если [~ab] = 0, то ~x = b; если [~ab ]

6=0р, то

(~aиb)~a + b + [~ab]

~x =

1 + a2

195. =

(~a; b)

, ~x =

[~ab ]

2 .

тождеством 2) предыдущей задачи.

197. Указание: воспользоватьсяв

198. Решение: изр второго и третьего равенств первого столбца следует,

что

[~b~c ]

~a = [~b~c ]

; подставляя

в первое равенство, получим

, тоуесть~

= 1

. Имеемс~a = [ b~c ]. Аналогично из равенств второго и третьего столбцов

~ab~c

найдем ~b йи ~c соответственно.

~ ~

i+j

j+k i

, ~c =

k+i j

;

200. 1) ~a =

, b =

о2) ~a =

, [~a~b] =

[~ab]

, [~a[~a~b]] =

[~a[~ab]]

[~ab]

201. Указание: для нахождения коэффициентов разложения ~x

= ~a +

b + ~c умножить это равенство скалярно соответственно на векторы взаим-

ного базиса ~a , ~b , ~c .

202.

~x =

( [ b~c ] + [c~a ] + [~ab ]).

~ab~c

203. ~x =

~a+ b+ ~c

~ab~c

204.

~x =

(~a + b +

[~ab ]).

cos2

205.

~x =

(~a + b +

[~ab ]).

a cos

206.

~x1;2 =

+ ~n2

[~n1~n2]), = ~n[1~n2.

2(~n1

cos2

207.

~x = [~ab].

~c b~a

208.

~x =

[~ab].

+(~a; b)

)[~ab]

~a+[b~a]

209.

~x =

a2 .

ог

210.

~x =

+ b, где – действительное число.

(~a; b)

212.

~x =

p~c~

~ab~c

ыш

215.

~x = ~a + b, ~y = 0, где , – действительные числа.

~ ~

~a+(~a; b)b

217.

~x =

j[~ab]j

~ab

~ 2~

~ ~

218.

~x =

(~a; b)~a+(1+(~a; b)) b+(1+(~a; b))[~ab]

+(1+(~a; b))

222.

1) ( 9; 1; 7), 2) ( 12; 26; 8).

223.

S =

107.

224.

Например, N(6; 1; 21).

225.

22.

226.

( 6; 24; 8).

си

227.

(7, 5, 1).

228.

1) (10, 13, 19), 2) ( 7; 14н; и7).

229.

1) 6; 2) 5; 3) 7.

231.

1/2.

232. h = 3.

233.

равна 2p74.

Площадь ABCDт

234.

11.

235.

уд;

;

3).

= (2 6

236. ~a г=о( 32; 34; 1), ~b = (31; 31; 1), ~c = (32; 31; 1).

Оглавление

1. Аффинные действия с векторами...........................................................

2. Радиус-вектор точки

...............................................................................

3. Проекция и численное значение проекции вектора.

Разложение вектора. Координаты вектора

............................................

4. Скалярное произведение

ог

5. Кососкалярное произведение

..................................................................

с30

6. Векторное и смешанное произведения

Ответы и указания

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.09.2019158.72 Кб0самост. изучен е.doc
#
23.11.2019479.74 Кб27Сапонины.doc
#
17.11.201837.42 Кб7Саратовский государственный университет и1.docx
#
28.04.20191.02 Mб80САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.docx
#
08.01.20204.02 Mб0сборка.doc
#
29.03.2016822.4 Кб125Сборник задач по векторной алгебре.pdf
#
09.06.2015193.07 Кб118Сборник задач по микроэкономике.docx
#
09.06.2015738.14 Кб485Сборник задач по экономике .pdf
#
09.06.2015714.75 Кб795Сборник задач по экономике_Челнокова О.Ю.doc
#
12.11.2019294.91 Кб4СБТ Показатель качества в нашей стране в те дал...doc
#
26.08.201928.34 Кб4своя игра.docx