Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по векторной алгебре

.pdf

Скачиваний:

116

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

822.4 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

векторы, определяемые ребрами, диагоналями и диагоналями граней этого

параллелепипеда.

2~c, m~ = ~a

56. Разложить вектор ~s = ~a + b +~c по векторам l = ~a + b

~n = 2b + 3~c.

57. Векторы !

и !, определяемые смежными сторонами параллело-

грамма ABCD, взяты в качестве базисных. Найти координаты векторов

ог

и !.

ABC

58. Векторы !

и ! двух сторон треугольника

приняты завба-

зисные. Найти координаты векторов

AE BF

!, !,

!, определяемых медианами

треугольника.

59. Векторы, определяемые двумя сторонами правильного шестиугольни-

ка, исходящими из одной вершины, приняты за базисные. Найти координаты

векторов, определяемых диагоналями шестиугольника, исходящими из той

вершины.

60. Найти коллинеарные между собой векторы среди векторов:

1) ~a(2; 7), b( 3; 8), ~c( т3; 8), d( 4; 14);

2) ~a(1; 1; 1), b(2; 2; 2)и, ~c(1; 2; 3), d( 3; 6; 9).

~с

61. При каком векторы ~a( 2; 3),рb(1; ) будут коллинеарными?

62. Даны три вектора ~a(2; 4), bи( в3; 1) и ~c(5; 2). Найти координаты век-

торов: 1) 2~a + 3b

5~c; 2) ~a + 24уbн+ 14~c.

63. Даны векторы ~a( 1;ый2), b(3; 5), ~c(4; 3). Можно ли из их предста-

вителей построить треугольник?

;

3) и

;

5), найти координаты вектора

64. Зная векторы !(

!(4

2CA

65. Будут ли линейно зависимыми векторы:

ос

1) ~a(2; 7), b(4; 10);

2) ~a( 2; 1; 0, b(3; 2; 1), ~c( 1; 4; 1).

66.кРазложить вектор ~c по векторам ~a и b в каждом из следующих слу-

чаев:

ра

1) ~a(4; 2), b(3; 5), ~c(1; 7);

Са

2) ~a(5; 4), b( 3; 0), ~c(19; 8);

3) ~a( 6; 2), b(4; 7), ~c(9; 3).

67. Разложить вектор d по векторам ~a, b и ~c в каждом из следующих

случаев:

1) ~a(2; 3; 1), b(5; 7; 0), ~c(3; 2; 4), d(4; 12; 3);

~ ~

2) ~a(5; 2; 0), b(0; 3; 4), ~c( 6; 0; 1), d(25; 22; 16);

3)~a(3; 5; 6), b(2; 7; 1), ~c(12; 0; 6), d(0; 20; 18).

68.Координаты вектора ~a по базису (~e1; ~e2) равны и . Каковы будут

координаты этого вектора, если в качестве базисных векторов взять ~e 10 =

43~e1 и ~e 20 = 2~e2?

69. Вектор ~a относительно базиса (~e1; ~e2; ~e3) имеет координаты , , .

Доказать, что векторы

ог

~e 1

= ~e2

~e1; ~e

~e3;

~e 3

= ~e3

+ 2~e2

базиса.

образуют базис и найти координаты вектора ~a относительно новогор

4. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Скалярным произведением (~a; b) двух ненулевых векторов ~a и b называ-

векторов и косинуса

ется число, равное произведению длин перемножаемыхт

угла между ними:

(~a; b) = j~aеjjрbj cos ~ab;

если ~a = ~0 или ~b =

~0, то полагают

и(~a;~b) = 0.

Геометрические свойства скалярного произведения

1. Скалярное произведе ие обращается в нуль тогда и только тогда, когда

сомножители взаимно вперпендикулярны.

2. Скалярное п оизведение положительно, если угол между сомножите-

лями острый, и дотрицательно, если этот угол тупой.

3. Скалярное произведение ненулевых векторов равно длине одного из

умноженной на численное значение ортогональной проекции

сомножителей,й

другого сомножителя на орт первого сомножителя:

(~a; b) = j~ajпр~a b = jbjпр~b ~a:

Численное значение ортогональной проекции вектора ~a на единичный

вектор i совпадает со скалярным произведением векторов ~a и i:

пр~~a = (~a; i):

4. Скалярное произведение (~a; ~a) называется скалярным квадратом вектора ~a и обозначается ~a2. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины:

~a2 = j~aj2:

5. Косинус угла между двумя ненулевыми векторами равняется скаляр-

ог

ному произведению данных векторов, деленному на произведение их длин:

cos ~ab~b =

(~a; b)

ышев

~b 2

Формальные свойства скалярного произведения

1. Скалярное произведение коммутативно

(~a; b) = (b;~a):

2. ( ~a; b) = (~a; b):

3. Скалярное произведение дистрибутивно

(~a + b;~c) = (~a;~c) + (b;~c):

Выражение скалярногоу произведения в координатах

1. Скалярное произведение векторов ~a и b плоскости, заданных своими ко-

) выражается фор-

ординатами относительнонбазиса (~e1; ~e2): ~a(a ; a

), b(b

; b

мулой:

;

(~a;рb) = g11(a )

+ 2g12(a b

+ a

) + g22a

в частности:

;

= g11a

+ g12a

+ g22(a )

так называемые метрические параметры базиса (~e 1;~e 2),

где g11с, g12, g22

определяемые равенствами: g11

= ~e 1

, g12

= (e~1; ~e2), g22 = ~e

2. Для ортонор-

базиса g11 = g22 = 1, g12 = 0 и

мированногоа

(~a; b) = axbx + ayby;

~a2 = a2x + a2y:

Скалярное произведение векторов ~a и b пространства, заданных своими

) выра-

координатами относительно базиса (~e1; ~e2; ~e3): ~a(a ; a

; a

), b(b

; b

жается формулой:

;

(~a; b) =

gija b

i;j=1

ог

где gij метрические параметры базиса (~e1; ~e2;~e3), определяемые равен-

ствами: gij

= (~ei; ~ej) (i; j

= 1; 2; 3). Для ортонормированного базиса

(~a; b) = axbx

+ ayby + azbz;

в частности

= ax

+ ay

+ az:

со скалярными

2. Ортонормированные координаты вектора совпадают.

произведениями этого вектора на соответствующие базисные векторы:

~н

для случая плоскости: ax = (~a; i), ay = (~a; j);

для случая пространства: ax = (~a; i), ayи= (~a; j), az = (~a; k).

Пример 1. Вычислить выражение (~a; bт) + (b; ~c) + (~c; ~a), если известно,

что ~a + b + ~c = 0 и j~aj = jbj = j~cj = 1.

Первое решение. Согласно условию задачи, из представителей векторов

~a, b и ~c можно составить равностороннийу

треугольник. Следовательно, ~a b =

~b~c = ~c~a = 23 . Отсюда:

енн

1 1

(~a;

~b) + (~b; ~c) + (~c; ~a) =

2 2 2

Возводя обе части равенства ~a + b + ~c

= 0 в квадрат,

Второе решение.а

у~

получаем: ~a

+ b

+~c

+ 2((~a; b) + (b; ~c) + (~c; ~a)) = 0. Отсюда: (~a;

b) + (b; ~c) +

о2

+ b

+ ~c

(~c; ~a) = й2(~a

) = 2.

2. К одной точке приложены две силы, равные по величине F1 и

Примери

F2 ивдействующие под углом . Найти величину равнодействующей.

р~

Решение.

Равнодействующая сила F определяется формулой: F = F1 +

F2. Отсюда:

F =

F~ 2 = q(F~1 + F~2)2

F12

+ 2F1F2cos + F22:

Пример 3. Какой угол образуют единичные векторы ~a и b, если известно,

что векторы ~a + 2b и 5~a 4b взаимно перпендикулярны?

Решение. Записывая условие перпендикулярности векторов ~a + 2b и 5~a

4b, получаем:

= 0:

(~a + 2b; 5~a

4b) = 5~a

+ 6(~a; b)

Но по условию

= b

= 1, (~a; b) = cos~ab. Следовательно,

ог

;

cos~ab =

~a b =

евс

Пример 4. Доказать, что в прямоугольном треугольнике ABC высота

CD, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное междуы

отрез-

ками, на которые она делит гипотенузу.

DB .

Решение. Имеем: ! =

! + !,

! = ! +

!. Перемножая оба

CA; CB

CD; DB!

CD; DA.

равенства скалярно и учитывая, что (! !) = ( ! !) = ( !

) =

CD2

DA; DB

CD2

DA DB

, получаем отсюда,

+ ( ! !) = 0

или

ни

З А Д А Ч Ит

70. Найти скалярное произведение векторовс

~a и b в каждом из следующих

случаев:

1) j~aj = 7, jуbjн= 4, ~a b =

4 ;

= 5,

~a b

;

2) ~a = 2, b

c = 3

j j

ы j j

= 8,

;

jbj

3) j~aнj = 3,

c""

4) ~a = 1, b = 1, ~a

j j

тj j

71. Верны ли

авенства:с

1) ~aa = ~a 2;

~ 2

= ~a

;

2) (~a + b)

+ 2(~a; b) + b

2~ 2

;

3) (~a; b)

= ~a b

~ 2

4) (~a + b; ~a b) = ~a b

;

5) (~a; b) : (~a;~c) = b : ~c;

6) (~a; b)~c = ~a(b;~c);

7) (~a + p;~ b) = (~a; b)?

72. Как связаны между собой векторы ~a и b, удовлетворяющие условию

(~a;~c) = (b;~c), где ~c 6=0? Можно ли утверждать, что ~a = b?

73. Решить уравнение (~a; ~x) = , где ~x неизвестный вектор (~a,

данные).

. Какую теорему элементарной

74. Доказать, что (~a b)

= ~a

2(~a; b)+b

геометрии выражает это тождество? В частности при ~a?b?

= 2~a

. Какую теорему элемен-

75. Доказать, что (~a + b)

+ (~a b)

+ 2b

тарной геометрии выражает это тождество?

76. Доказать, что векторы p~ = ~a(b;~c) b(~a;~c) и ~c перпендикулярны друг

другу.

77. В треугольнике ABC проведены медианы AL, BM, CN. Доказать,ог

что (! !) + ( ! !) + (! !) = 0.

AB; CN BC; AL

CA; BM

78. Пусть ABC треугольник, O точка пространства (в плоскостиш

треугольника или вне ее). Показать, что

(! !)+( ! !)+(! !) =

AB; OC

BC; OA

CA; OB

79. Пусть ABC треугольник, L, M и N серединыГсторон BC, CA и

треугольника или

AB соответственно, O точка пространства (в плоскостиН

вне ее). Показать, что (! !) + ( ! !) + (! !) = 0.

AB; ON

BC; OA

CA;иOM

80. Дан прямоугольник ABCD и точка пространства O (в плоскости

OB; OD

OA; OC

треугольника или вне ее). Показать, что (! !) = ( ! !).

пространства O (в плоскости

81. Дан прямоугольник ABCD и точкат

треугольника или вне ее). Показать, что !

+ !

= ! +

! .

ABC (AB = BC). Доказать, что

82. Дан равнобедренный треугольникв

биссектриса угла B является высотой.н

ромба взаимно перпендикулярны.

83. Доказать, что диагоналий

84. Доказать, что вписанный угол, опирающийся на диаметр круга, пря-

мой.

треугольнике ABC опущен перпендикуляр CH на

85. В прямоугольномс

гипотенузу AB. Доказать, что AH : BH = AC : BC .

ABCD опущена высота BH на сторону AD. Вы-

86. В параллелограммес

разить вектор !

через векторы ! и

87.кДана окружность и точка M внутри нее. Через точку M проведены

две взаимно перпендикулярные секущие, первая секущая пересекает окруж-

в точках A и A1, вторая

в точках B и B1. Показать, что вектор

рностьа

аMA MB

! +

! перпендикулярен прямой

и ~c. Зная, что расстоя-

88. От одной точки отложены три вектора ~a, b

ние между концами представителей векторов ~a и b равно расстоянию между

концами представителей векторов b и ~c, показать, что векторы ~a + ~c 2b и

~a ~c перпендикулярны друг другу.

89. Доказать, что если прямая перпендикулярна двум пересекающимся

прямым, проведенным на плоскости, то она перпендикулярна и любой тре-

тьей прямой, проведенной на той же плоскости.

90. Доказать, что если прямая составляет равные углы с тремя различны-

ми попарно непараллельными прямыми, лежащими в некоторой плоскости,

то она перпендикулярна этой плоскости.

91. Доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

ог

92. Доказать, что перпендикуляры, восстановленные из середин сторонв

треугольника, пересекаются в одной точке.

93. Вычислить длину диагонали параллелепипеда, выходящейниз точки

O, зная длины трех его ребер, выходящих из той же точки, иеуглы между

этими ребрами.

94. Выразить длину медианы CD треугольника ABC через длины сторон

этого треугольника.

95. В треугольнике ABC проведена биссектриса CD. Доказать, что

тC

2BC

CA cos

CD =

BC +иCA

96. Выразить длину биссектрисы еCD угла треугольника ABC через дли-

ны сторон этого треугольника.

97. В треугольнике ABC проведена биссектриса CD. Доказать, что

= AC BC AD BDн.

98. Выразить длину

еысоты CD треугольника ABC через длины сторон

этого треугольника.с

ABC точка D делит сторону AB в отношении .

99. В треугольникеа

Выразить длину отрезка CD через три стороны треугольника и число .

параллельно AB (A

100. В треугольнике ABC проведен отрезок A

на BC). Показать, что если AB

, то треугольник

лежит наиAC, B

= BA

ABCов равнобедренный.

101. Доказать, что сумма квадратов медиан треугольника относится к

асумме квадратов его сторон как 3 : 4.

102. В треугольнике ABC точки D, E, F делят соответственно стороны

BC, CA, AB в отношении . Показать, что

AD2 + BE2 + CF 2

1 + + 2

+ BC

+ CA

(1 + )

103.Зная длины 6 ребер тетраэдра, определить длины трех отрезков, соединяющих попарно середины противоположных ребер.

104.Зная длины a и b сторон прямоугольника, найти косинус угла между диагоналями.

105.В правильном шестиугольнике ABCDEF обозначим через M и N

соответственно середины сторон CD и DE. Под каким углом пересекаются

прямые AM и BN?

ог

106. Подобрать так, чтобы векторы 2l

4m~ и l + m~, где jl

еj в= 2,

jm~j = 3, lm~ =

3 , были взаимно перпендикулярны.

107. c

Найти угол при вершине равнобедренного треугольника,нзная, что

медианы, проведенные из концов основания этого треугольника, взаимно

перпендикулярны.

108. В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы

из вершин острых углов. Вычислить угол между ними.

109. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен . Найти

угол между медианами углов при основании.т

110. Медианы AL и BM треугольникатABC взаимно перпендикулярны.

Показать, что cos C 5.

ер

ABC

111. Показать, что во всяком треугольникев

ctg A + ctg Bй+ ctg C =

+ CA + AB

ABC.

где S площадь треугольникаве

~a OB

b OC

попарно ортогональны. Показать,

112. Векторы !

, ! =

, !

: c2 (A, B, C углы треугольника ABC).

что ctg A : ctg Bд:аctg C = a2 : b2

113. Зная длины 6 ребер тетраэдра, найти угол между двумя противопо-

ложными ребрами.г

114.иДоказать, что в прямоугольном треугольнике катет является сред-

нимвпропорциональным между всей гипотенузой и ортогональной проекцией

этого катета на гипотенузу.

115. Зная длины сторон треугольника ABC, найти численное значение

ортогональной проекции вектора ! на вектор

116. Зная длины сторон треугольника ABC, найти численное значение

ортогональной проекции вектора CM, определяемого медианой, на вектор

AB.

117. Зная длины сторон треугольника ABC, найти численное значение

ортогональной проекции вектора !, определяемого биссектрисой, на век-

тор

В следующих задачах, если не оговорено противное, базис предполагается

ортонормированным.

118. Вычислить скалярное произведение векторов ~a и b, в каждом из

следующих случаев:

ог

1) ~a(4; 3), b(1; 7);

ыш

2) ~a(6; 8), b(12; 9);

рн

3) ~a(7; 2), b( 4; 5).

3) и ~c(0; 4).

Че

119. Даны три вектора: ~a(5; 2), b(7;

1) Вычислить выражение 3(~a; b) + 3(~a;~c)

4~c

;

2) Найти координаты вектора (~a; b)~c

~a(b;~c).

построенного на

120. Найти угол между диагоналями параллелограмма,и

4).

представителях векторов ~a(5; 10) и b(3;

121. При каком x векторы ~a(x; 3) и b( 8;

т5) являются взаимно перпенди-

кулярными?

122. Найти орт вектора ~a(6; 8). р

123. Из одной точки отложеныивекторы ~a( 12; 16) и b(12; 5). Найти ко-

ординаты какого-нибудь вектора,нкоторый, будучи отложен из той точки,

делил бы угол между ~a и b пополам.й

углы треугольника ABC, зная векторы

124. Определить внутренниен

!(2

6) и

!(1 7).

;

BC ;

значение ортогональной проекции вектора ~a(10; 2)

125. Найти численноес

на вектор b(5; уд12).

126. Извеотны длины базисных векторов j~e1j = 4, j~e2j = 2 и угол между

ними

2).

~e1~e2й=

3 . Вычислить угол между векторами ~a(0; 3) и b(1;

127.кВычислить косинус угла между векторами в каждом из следующих

случаев:

ра

1) ~a(2; 4; 6), b( 3; 7; 1);

Са

2) ~a( 1; 0; 2), b(10; 2; 5);

3)~a(3; 3; 1), b( 2; 1; 1);

					~
128. Даны три вектора: ~a(5; 6; 1), b( 4; 3; 0) и ~c(5; 8; 10).
1)	Вычислить выражение ~a	2			~		2	;
1)	Вычислить выражение ~a		2(~a; b) + 3~c					;
2)	Найти координаты вектора ~a			2	~ ~ 2	~c + ~c			2	~a.
2)	Найти координаты вектора ~a				b + b	~c + ~c				~a.

129. Даны три вектора: ~a(2; 1; 3), b(4; 3; 1) и ~c( 1; 1; 1). Показать, что

~a перпендикулярен вектору ~c.

b + b

130. Из одной точки отложены векторы ~a( 3; 0; 4) и b(5; 2; 14). Найти

единичный вектор, который, будучи отложен из той же точки, делил бы угол

между векторами ~a и b пополам.

131. Определить внутренние углы треугольника ABC, зная векторы

;

6).

ог

!(2

2) и !(3

132. Найти численное значение ортогональной проекции вектора ~a(8;в4; 1)

на орт вектора b(2; 2; 1).

133. К вершине куба приложены три силы, равные по величине 1, 2, 3 и

направленные по диагоналям граней куба, проходящим черезеэту вершину.

Найти величину равнодействующей.

134. Дан куб. Найти углы, которые образуют: 1) диагональ куба с его

ребром; 2) диагонали двух граней, исходящие из од иой точки.

135. Дан прямоугольный параллелепипед с ребрами a, b, c. Найти углы,

которые образуют: 1) диагональ параллелепипеда с его ребром; 2) диагонали

двух граней, исходящие из одной точки.

135. Даны длины базисных векто ров j~e1j = 4, j~e2j = 5, j~e3j = 3 и углы

между ними ~e1~e2 =

, ~e1~e3

2 . Найти угол между векторами

2 , ~eв2~e3

(1 2 1) и

у d

;

b(3; 7; 0)

5. КОСОСКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Плоскость,св которой задано положительное направление вращения, на-

зывается ориентированной. Принято за положительное направление враще-

направление вращения против стрелки часов.

ния считатьк

Направленный угол от вектора ~a к вектору b в ориентированной плоскости

ропределяется, как в тригонометрии, и обозначается символом ~a b (рис. 13).

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.06.2015292.35 Кб12Салическая Правда_полный.doc
#
10.09.2019158.72 Кб0самост. изучен е.doc
#
23.11.2019479.74 Кб20Сапонины.doc
#
17.11.201837.42 Кб6Саратовский государственный университет и1.docx
#
28.04.20191.02 Mб53САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.docx
#
29.03.2016822.4 Кб116Сборник задач по векторной алгебре.pdf
#
09.06.2015193.07 Кб112Сборник задач по микроэкономике.docx
#
09.06.2015738.14 Кб472Сборник задач по экономике .pdf
#
09.06.2015714.75 Кб710Сборник задач по экономике_Челнокова О.Ю.doc
#
12.11.2019294.91 Кб4СБТ Показатель качества в нашей стране в те дал...doc
#
26.08.201928.34 Кб2своя игра.docx