Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по векторной алгебре

.pdf

Скачиваний:

116

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

822.4 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

где

g11	g12	g13

g = g21 g22 g23

g31	g32	g33
и называется дискриминантом метрических			параметров	базиса.	о
В случае положительного ортонормированного базиса:					о
					ког
ax ay		az			вс

~a~b~c = bx	by	bz :			ше

cx cy cz

ерны

геометрический

Пример 1. Доказать, что [(~a + b)(~a

b)] = 2b. Какой.Г

смысл имеет это тождество?

Решение. Пользуясь формальными свойствами внкторного произведения,

неколлине-

имеем: [(~a+b)(~a b)] = [a~a]+[b~a] [~ab] [bb] = и2[м~ab]. Если ~a, b

S, построенного на

арные векторы, то j[~ab]j есть площадь параллелограммае

этих векторах, а j[(~a + b)(~a b)]j площадьи параллелограмма, построенного

Таким образом, доказанное тожде-

на диагоналях данного параллелограмма.р

построенного на диагоналях

ство дает теорему: площадь параллелограмма,в

некоторого параллелограмма Q,уравна удвоенной площади этого параллело-

грамма Q.

если к точке P приложено n сил F1, F2, ..., Fn, то

Пример 2. Доказать, чтон

момент их равнодейс вующей относительно некоторой точки пространства

O будет равен суммермоментов составляющих сил относительно той же точки

Решение.оЕсли обозначить через F равнодействующую данной системы

], момент

OP F

сил, то ееймомент M относительно точки O есть вектор [!

OP F

i], (

;

; :::; n

составляющий силы F1 относительно O есть вектор [!

= 1 2

оТак как

Fi; то M = [!

F =

] = [!

i] = [! i] =

OP F

M :

i=1

Пример 3. Вычислить смешанное произведение

( i + j)( j + k)( k + i);

~ ~

зная, что векторы i, j, k образуют положительный ортонормированный ба-

зис.

Решение. Пользуясь формальными свойствами смешанного произведе-

ния, находим

~~~

( i + j)( j + k)( k + i) = (ijk) + (iji)+

~~~

ог

+ (ikk) + (iki) + (jjk) + (jji)+

~~~

+ (jkk) + (jki) = 2 (ijk):

~~~

Так смешанное произведение ijk = 1 (ijk равно объему куба, построенного

~ ~

произве-

на ортах i, j, k), то получаем окончательно, что данное смешанноее

дение равно 2 .

Пример 4. Найти объем тетраэдра, зная длины трех его ребер, выходя-

щих из общей вершины, и углы между ними.

Решение. Рассмотрим тетраэдр SABC; пусть !

! =

= ,

c = , c~a = . Тогда VT =

тождество

~ab = ,

6j~ab~c j. Используят

(с~a; b)

(~a; ~c)

и~

(~b; ~c)

(~a~b~c)2 =

(~b; ~a)ер~b 2

(~c;

~b)

~c 2

(~c;и~a)

Находим

ba cosс

bc cos

cos

VT =

ac cos

cos

еab cos

caаcos

cb cos

abc

cos

Пример г5.оНайти

единичный вектор, образующий

острый угол с ортом ~k

;

и ортогональный к плоскости треугольника AOC, зная векторы !(1

и !(2 3 1).

OCс; ;

OAOC

;

1) ортогонально плос-

Векторное произведение [!!](

а Решение.

ркости данного треугольника и образует с k тупой угол (последнее следует

из того, что его третья координата отрицательна). Следовательно, искомым

единичным вектором будет

~n =

[!!]

;

OAOC

!! j[OAOC]j

то есть вектор

~n =

5p3

; p3

; 5p3

данные

Пример 6. Решить уравнение [a~x] = b, где ~x

искомый, ~a и b

векторы.

Решение. Возможны два случая: 1) ~a, b неперпендикулярны и 2) ~a?b. В

первом случае уравнение [a~x] = b не имеет решения, так как левая частьог

уравнения при любом векторе ~x перпендикулярна ~a. Во втором случае ~x

компланарен векторам ~a

и [~ab], следовательно, ~x

= ~a + [~ab], гдеш,

действительные числа. Подставляя ~x в исходное уравнение, получаем:ы

a2 . Окончательно имеем

~x = ~a +

[b~a];

где действительное число. Проверка очевидна.н

З А Д А Ч И

163. Векторы ~a, b, ~c образуют положительный базис. Определить ориен-

тацию базиса в каждом из следующвх случаев:

~ ~

1) (~a + b; b + ~c;н~c + ~a),

2) (2~a + 3ыb й~c; ~a + b;

5b + ~c).

164. Будут ли базисы (н~a; b;~c) и (~u; ~v; w~) одинаково или противоположно

ориентированы, если:

~aр(3с; 1; 4), b( 2; 3; 3), ~c( 9; 1; 7);

1; 1), ~v( 3; 0; 2), w~(5; 1; 2).

уд~u(2;

165. Показать,с

что два базиса, один из которых получается из другого с

помощью отражения от плоскости , имеют противоположную ориентацию.

166.кВычислить длину векторного произведения векторов ~a и b, если

a = 10, b = 2 и (~a; b) = 12.

ра

167. Показать, что j[~ab]j ab. Когда j[~ab]j = ab?

168. Вычислить:

1) [(2i + 3j)(k

2j)];

2) [(i + 3j)(2i + j

k)] .

169. Найти синус угла между диагоналями параллелограмма ABCD, если AB = 1, AD = 2 и \A = 3 .

170. Доказать: векторное произведение двух неколлинеарных векторов равно произведению длины первого сомножителя и повернутой проекции второго сомножителя, построенной на плоскости , перпендикулярной к первому сомножителю:

~	~
[~ab] = a(Пр b); ( ?~a):

ог

171. Выразить векторное произведение двух неколлинеарных векторов,

лежащих в ориентированной плоскости , через их кососкалярное произвек-

дение и орт, ортогональный к этой плоскости.

= ~a

172. Доказать тождество:[~ab]

+ (~a; b)

~ ~

173. Проверить справедливость равенств: [(~a + b)b] = [~a(b + ~a)] = [~ab]

и дать им геометрическое истолкование.

174. В каком случае равенства [a~x] = [b~x] и ~a = b эквивалентны?Г

коллинеарны , то

175. Доказать, что если ненулевые векторы [~ab ]

[Н~cd ]

векторы ~a, b, ~c и d компланарны.

~ ~

176. Доказать, что из равенств [~ab ] = [~cd ]

м[a~c ] = [bd ] следует коллине-

~ ~

арность векторов ~a d и b ~c.

177. Доказать, что если три вектора ~aи, b и ~c не коллинеарны, то равенства

[~ab ] = [b~c ] = [c~a] и ~a + b + ~c = 0 эквивалентны.р

178. Доказать: площадь выпуклого плоского четырехугольника равна по-

и синуса угла между ними.

ловине произведения длин диагоналейу

179. В каком случае момент силы относительно точки равен нулю?

силы относительно точки сохранится, если

180. Доказать, что моментн

силу переместить по прямой, вдоль которой она действует.

181. Парой силрназывается совокупность двух противолоположных сил

пары относительно некоторой точки называется сумма

F и F . Моментомуд

моментов силгоF и F относительно этой точки. Доказать, что момент пары

не завис

йт от точки, относительно которой он взят.

при условии, что

182.вс

Доказать коллинеарность векторов [~a[b~c ]]

и b

вектор ~a перпендикулярен разности b ~c.

183. При каких условиях для ненулевых векторов ~a, b и ~c справедливо

равенство [~a[b~c ]] = [[~ab]~c ]?

184. Доказать тождества:

(тождество Якоби),

1) [~a [ b~c ]] + [ b [~c~a ]] + [~c [~a b ]] = 0

2) [~a [ b [~c d ] ] ] = [~a~c ](b; d) + [~a d ](b; ~c),

~~ (~a; ~c )

3)[~a b ][~c d ] =

(b; ~c )

(~a; d )

~ ~ (b; d )

185. Доказать тождества:

1) [ [ [~a b ]~a ]b ] = (~a; b)[~ab],

(~a;b~b) .

2) [ [ [ [~a~b ]~a ]~b ]~a ] = (~a; ~b) a2

и обобщить их (по числу скобок) на все натуральные

ог

n 1

[[:::[[[~ab]~a]b]:::~a]b] = ( 1)

(~a; b)

[~ab];

n 3

нечетное

|{z}

число,

[[ :::[[ ~a~b]~a]:::b~]~a] = ( 1)2 (~a; ~b)2

(~a;

~b)Н;

n 2

четное

|{z}

число.

186. Доказать, что если ~a?b, то [~a[~a[~a[~abт]]]] = a b и выяснить геометри-

ческий смысл этого утверждения.

187. В треугольнике ABC проведена высота AD. Полагая ! =

, ! =

, выразить

через

bв

~a и !

188. Доказать, что j

abcн

b~c

~ j ~

у.

~a+b

b+~c ~c+~a

189. Показать, что

~ab~c и выяснить геометрический

смысл этого равенства принусловии, что векторы ~a, b и ~c некомпланарны.

190. Доказать, что

всмешанное произведение не изменится, если к одному

из сомножителей прибавить линейную комбинацию двух других.

191. Доказать,уд что векторы ~a

~c и ~c ~a компланарны.

b, b

192. От

одной точки отложены три некомпланарных вектора ~a, b и ~c.

Доказать,йчто плоскость, проходящая через концы представителей векторов

~a, b, ~c, перпендикулярна вектору [~ab ] + [b~c ] + [~c~a ].

о193. Доказать тождество

[~a[b~c ]] [b[~c~a ]] [~c [~ab ]] = 0

и вывести из него следствие: если через боковые ребра треугольной пирамиды провести плоскости, перпендикулярные противоположным боковым граням, то они пересекутся по одной прямой.

194. Решить уравнения:

1)~x [a~x] = [~ab];

2)~x [a~x] = b;

где ~a, b данные, а ~x неизвестный вектор.

195. Найти вектор ~x и число из системы уравнений:

ог

(~a; ~x) = 0;

~a [a~x] = b;

~a 6=0:

ев

196. Доказать тождества:

~ ~

1) [[~ab ][~cd ]] = (~abd)~c (~ab~c)d = (a~cd)b

(b~cеdр)~a;

~ ~

2) [~ab][b~c ][c~a] = (~ab~c) ;

3) [~ab]

= ~a[b~a]b = b[~ab]~a.

Н~ ~

197. Показать, что из компланарности векторов [~ab], [b~c ] и [c~a] следует

их коллинеарность.

взаимным, если име-

198. Для базиса (~a; ~b; ~c) базис (~a ; ~b ~c ) называетсям

ют место равенства:

(~a; ~a ) = 1;

(~a; ~c ) = 0;

(~a; ~b ) = 0;

(~b; ~a ) = 0;

(~b; ~c ) = 0;

(~b;и~b ) = 1;

~b ) = 0;

(~c; ~c ) = 1;

(~c; ~a ) = 0й; (~c;

Доказать, что

[c~a ]

[ b~c ]

[~ab ]

~aт=

;

~c =

~ab~c

199. Доказать, что базис совпадает с ему взаимным тогда и только то-

гда, когда онсбразован из единичных попарно взаимно перпендикулярных

векторов.

200.кНайти взаимный базис для базиса:

~ ~

1) (i + j; j + k; k + i);

(~a

2) (~a; [~ab]; [~a[~ab]]);

, b):

201. Доказать, что разложение произвольного вектора ~x пространства по

базису (~a; b; ~c) может быть представлено в виде (формула Гиббса):

~ ~

~x = (~x; ~a )~a + (~x; b )b + (~x; ~c )~c;

~ ~

где (~a ; b ; ~c ) взаимный базис для базиса (~a; b; ~c).

202. Векторы ~a, b, ~c некомпланарны. Найти вектор ~x, удовлетворяющий

системе уравнений:

(~a; ~x) = ;

(b; ~x) = ; (~c; ~x) = :

ог

203. Решить систему:

c~a~x = ;

ев

~ab~x = ;

b~c~x = ;

~ab~c 6=;0

где , , действительные числа.

ны

204. Дан правильный тетраэдр SABC. Зная, что ! =

и !

~ab~x >

найти вектор ~x = ! при условии

с вершиной

205. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD.

S. Зная, что ! = , ! =

! ! =

, найти вектор

! (

0).

~a AD

ABAS

~ab~x >

206. Дан прямой круглый конус. Орты ~n1 и ~n2

параллельны образующим

одного из осевых сечений конуса. Найти ор ы, параллельные образующим

осевого сечения конуса, перпендикулярноготпервому.

207. Найти ненулевое решение системы:с

(~a; ~xи) = 0;

+ a~xb = 0;

(b; ~x) = 0

(~a , b):

208. Решить систему:

~ е

(~a; ~x) = 0;

~x[a~x]b + (~c; ~x) + [b~x]

= 0

([~ab]

=0):

(b; ~x) = 0;

209. Решить систему:а

го

(~a; ~x) = ;

[a~x] = b;

(~a 6=0; ~a?b):

210.кРешить систему:

(~a; ~c) = 0;

а[~a[~xb]] = ~c; ~xb~c = 0 при условии

~ab~c 6=;0

(~a; b) 6=:0

211. Доказать тождество:

[~ab]

~ ~ ~

[~a[b~c ]][~c [b~a]] = (~a; b)

(~c;[ ~b])	[	0	]	:
~	c~a
~cb	c~a
(~c; ~b)	(~c; ~a)

212. Решить уравнение:

[[a~x ][ b~x ]] = ~c;

~ab~c > 0:

213. Показать, что уравнение:

~x = [a~x ] + [~a [b~x ]]

ог

имеет только нулевое решение.

214. Показать, что система

6= 0

рн

[~a [~xb ]] = ~c;

[~c [~xb ]] = b;

~ab~c

не имеет решений.

215. Найти векторы ~x

и ~y

из системы

~ н

[[a~x ][ b~x ]] = ~y;

~ab~y = 0;

[~aеb] 6=:0

216. Доказать, что уравнение

и~ ~

[[i~x ][j~x ]] =с[k[k~x ]];

~ ~

векторы ортонормированногони

базиса, имеет только нулевое ре-

где i, j, k

шение.

217. Решить уравнение: ы

[~ab]

=;0

(~a; b) > 0:

[~xв[~a ~x ]] = b;

218. Решить уравнение:

го

~x [a~x]

[~a[b~x]] = b;

[~ab] 6=:0

219.кПоказать, что система

[~b [~b~y ]] = ~z;

~a ~b ~c = 1

[~a [a~x ]] = ~y;

[~c [c~z ]] = ~x;

имеет только нулевое решение.

220. Истолковать геометрически тождество Лагранжа:

m1m2 + n1n2

+ p1p2

m22

+ n22

+ p22

+ m2

+ n2

m12

+ n12

+ p12

m1m2 + n1n2

+ p1p2

221. Какие свойства определителей третьего порядка выражают фор-

мальные свойства смешанного произведения?

222. Найти координаты векторного произведения [~ab], если

1) ~a(3; 1; 4) и b( 2; 3; 3);

2) ~a(5; 2; 1) и b(4; 0; 6).

;

223. Вычислить площадь треугольника ABC,

если

!( 5

2; 3),

;

1).

ог

!(2

224. Найти какой-либо вектор, ортогональный плоскости треугольникав

ABC, если

!( 4

;

1), !( 3

;

1).

ABC

!( 5

;

225. Найти длину высоты

треугольника

, если

рн

!( 1

;

5).

226. Вектор ~x, ортогональный к векторам ~a(4; 2; 3)Ги b(0; 1; 3), обра-

Зная, что j~xj = 26,

зует с вектором j ортонормированного базиса тупой угол.Н

найти его координаты.

к векторам ~a(2; 3; 1)

227. Найти вектор ~x, зная, что он перпендикуляренм

~ и

и b(1;

2; 3) и удовлетворяет условию ~x(i + 2тj

7k) = 10.

228. Даны векторы: ~a(2; 3; 1), b( 3и; 1; 2), ~c(1; 2; 3). Найти координаты

векторов: 1. [~a[b~c ]]; 2. [[~ab ]~c ].

едение векторов ~a, b и ~c в каждом из

229. Вычислить смешанное произв

случаев:

~c(2; 1; 0),

1)~a(1; 2; 1)ы,йb( 1; 1; 1),

~c(0; 3; 2),

2)~a( 2; 0н;н3), b(1; 1; 0),

1; 3),

2; 2; 1),

~c(3;

2; 5),

3)~a(1;

230. Доказать, рчтос

векторы ~a( 1; 3; 3), b(1; 1; 1) и ~c(2; 6; 0) компланар-

ны.

;

3),

2),

231. Вычио

лить объем тетраэдра ABCD, если !(3

!(1

!(4 1 0).

;

Дан тетраэдр

ABCD. Известно:

1),

232.с

!( 1

3), !( 3

!(3

;

. Найти длину высоты тетраэдра, опущенной из точки

ABCD

!(0

233.

В четырехугольнике

дано:

;

!(3

;

аAD

. Доказать, что четырехугольник плоский, и найти его площадь.

;

1),

234. Найти объем параллелепипеда ABCDA B C D , если !(2

!(1

3),

2).

;

235. Объем тетраэдра ABCD равен 5. Основание тетраэдра треуголь-

;

2),

;

4). Найти координаты

ник ABC. Известны векторы !(1

!(0

;

7).

вектора !, если его орт имеет координаты (2

найти взаимный базис.

236. Для базиса ~a(2; 1; 1), b( 3; 0; 2), ~c(5; 1; 2)

ог

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.06.2015292.35 Кб12Салическая Правда_полный.doc
#
10.09.2019158.72 Кб0самост. изучен е.doc
#
23.11.2019479.74 Кб20Сапонины.doc
#
17.11.201837.42 Кб6Саратовский государственный университет и1.docx
#
28.04.20191.02 Mб53САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.docx
#
29.03.2016822.4 Кб116Сборник задач по векторной алгебре.pdf
#
09.06.2015193.07 Кб112Сборник задач по микроэкономике.docx
#
09.06.2015738.14 Кб473Сборник задач по экономике .pdf
#
09.06.2015714.75 Кб713Сборник задач по экономике_Челнокова О.Ю.doc
#
12.11.2019294.91 Кб4СБТ Показатель качества в нашей стране в те дал...doc
#
26.08.201928.34 Кб2своя игра.docx