Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по векторной алгебре

.pdf

Скачиваний:

116

Добавлен:

29.03.2016

Размер:

822.4 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Каждый вектор AB равен разности радиусов-векторов точек A и B (рис.

8):

AB = ~rB ~rA:

ог

Деление отрезка в данном отношении. Если даны две точки A(~rA)

и B(~r ), то точка C делит отрезок AB в отношении , то есть

= (рис.

9), тогда и только тогда, когда

~rA + т~rB

~rC =

1 +с

AB, то

В частности, если M середина отрезкаив

~rA + ~rB

й~rM =

и обратно.

Пример 1. Отрезок между точками A(~rA) и B(~rB) разделен на три равные части. Определить радиусы-векторы точек деления.

Решение. Обозначим точки деления через M1 и M2, а их радиусы-векторы через ~r1 и ~r2 соответственно.

Для определения ~r1 найдем

1 =

= 1:

M1B

M B

Пользуясь формулой деления отрезка в данном отношении, получим:

ог

2~rA + ~rB

~r1 =

1 + 1

Аналогично:

AM2

~rA

+ 2~rB

1 =

= 2 и ~r2 =

M2B

Г:

M B

Пример 2. Зная,

что между

трех точек A1(~r1),

радиусами-векторамин

A2(~r2), A3(~r3) существует линейная зависимостьим2~r1

5~r2 + 3~r3 = 0,

1) показать, что эти три точки лежат на тодной прямой,

2) найти отношение, в котором каждая из точек делит отрезок между

двумя другими точками.

A A

Решение. 1) Достаточно показать, что два из трех векторов 1 !2

, 2 !3,

! =

1, например,

1уи

2, коллинеарны.

Из данного условия имеем:й~r1 =

5~r2 3~r3

и, следовательно,

1 !2

2 !3

=в2

5~r2

3~r3

( 3

2) =

A A

A A ;

A A

AаA

действительно коллинеарны.

так что 1 !2

и 2 !3

2) Полученноес

выше выражение для ~r1 записываем в виде ~r1 =

5~r2 3~r3

5 3

~r2 5~r3

, откудай

видно, что точка A1

делит отрезок A2A3 в отношении =

1 53

Таккже найдем, что точки A2 и A3 делят соответственно отрезки A1A3 и

в отношениях

. Заметим, что каждый из этих результатов вновь

A2A1

что точки A1, A2, A3

лежат на одной прямой.

доказывает,а

Пример 3.

Доказать с помощью векторной алгебры теорему: средняя ли-

ния треугольника параллельна основанию и равна его половине.

Рещение. Выберем полюс O в некоторой точке плоскости. Тогда положение вершин треугольника будет характеризоваться их радиусами-векторами относительно выбранного полюса, а именно: A(~r1), B(~r2), C(~r3) (рис. 10).

ог

Обозначим среднюю линию треугольника через MN. Имеем

~r1 + ~r2

~r2

+ ~r3

~rM =

;

~rN

;

~r2 + ~r3

~r3

~r1

! =

~r1т+ ~r2

равенство показывает, что

Таким образом, ! = 2 . Полученноеи

и MN = AC , что и требовалось доказать.н

З А Д А Ч И

на n равных частей.

26. Отрезок ABсазделен точками C , C , ..., C

n 1

делят

Найти отношения , ,...,

, в которых точки C , C , ..., C

n 1

отрезок AB. с

27. На ти радиус-вектор точки C, симметричной с точкой A(~rA) относи-

тельнокточки B(~rB).

28. Даны радиусы-векторы ~r1, ~r2, ~r3 трех последовательных вершин A, B,

Cапараллелограмма. Найти радиусы-векторы четвертой вершины D и точки

апересечения диагоналей M.

29. Зная радиусы-векторы ~r1, ~r2, ~r3 вершин треугольника, найти радиус-

вектор точки пересечения его медиан.

30. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD угла A. Выразить

вектор ! через векторы !

и !.

31. Даны три последовательные вершины трапеции A1(~r1), B2(~r2) и

C3(~r3). Найти радиусы-векторы: ~r4 четвертой вершины D, ~r 0

точки пе-

ресечения диагоналей и ~r 00 точки пересечения боковых сторон, зная, что

основание AD в раз больше основания BC.

32. Зная радиусы-векторы ~rA0 , ~rB, ~rD, ~rA четырех вершин параллелепипе-

да ABCDA0B0C0D0, найти радиусы-векторы четырех остальных его вершин.

33. На стороне AD и на диагонале AC параллелограмма ABCD взятыог

соответственно точки M и N так, что AM = AD и AN = AC. Показать,

что точки M, N и B лежат на одной прямой. В каком отношении делит

что

точка N отрезок MB? Решить задачу в более общем виде, предполагая,н

AM =

AD;

AN =

AC:

n + 1

34. В точках M1(~r1), M2(~r2), ... Mn(~rn) помещены массы m1, m2, ..., mn.

Найти радиус-вектор центра тяжести этой системы материальных точек. Как

равных масс?

выразится радиус-вектор центра тяжести для случаяи

35. Показать, что сумма векторов, опред ляемых центром тяжести си-

стемы n материальных точек и каждой из этих точек, равна нулю, если во

всех точках сосредоточены равные массы.е

центра правильного многоугольника

36. Доказать, что радиус-вектори

есть среднее арифметическое радиусов-векторов вершин этого многоуголь-

ника.

37. Где выбрать полюс, чтобы сумма радиусов-векторов всех вершин па-

нулю?

раллелограмма равняласьт

38. Доказать: для того, чтобы три точки A(~r1), B(~r2), C(~r3) лежали на

одной прямой, унеобходимо и достаточно существование трех чисел 1, 2, 3,

не равных

годновременно нулю и таких, что

+ 2 + 3

= 0:

1~r1 + 2~r2 + 3~r3 = 0 и 1

а Доказать с помощью векторной алгебры следующие теоремы элементар-

аной геометрии:

39.Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали, пересекались и делились пополам.

40.Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности.

41. Если в четырехугольнике проведены три отрезка, соединяющие со-

ответственно: 1) середины двух противоположных сторон, 2) середины двух

других противоположных сторон, 3) середины диагоналей, то эти отрезки пе-

ресекаются в одной точке, которая служит их общей серединой. Перенести

этот результат с четырехугольника на тетраэдр.

42. Прямая, соединяющая точку пересечения диагоналей трапеции с точ-

кой пересечения боковых сторон, делит основания трапеции пополам.

ог

43. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

44. Отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра,

проходят через одну и ту же точку и делятся в ней пополам.

45. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.е

3. ПРОЕКЦИЯ И ЧИСЛЕННОЕеЗНАЧЕНИЕ

ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА.

ВЕКТОРА

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА. КООРДИНАТЫт

На плоскости проекцией вектора ~a на прямую l (прямая проекции) или

прямой h

6=l называется вектор

на вектор b

6=0 параллельно направляющейу

~c, удовлетворяющий двум условиям:ы

1) ~c k l или, соответственно, ~c k b и 2)

~a ~c k h. Этот вектор обозеначается соответственно символами Прl~a(k h) или

Пр~b~a(k h).

Проекцией точкирP на прямую l параллельно направляющей h называет-

пересечением прямой проекции l и прямой, прове-

ся точка P , являющаясяд

денной через т чку P параллельно направляющей h (рис. 11, а). В простран-

стве при йопределении проекции вектора на прямую или вектор и проекции

точки на прямую вместо направляющей прямой h нужно брать направля-

ющуюо плоскость (рис. 12, а). Проекция называется ортогональной, если

п ямая проекции и направляющая прямая (плоскость) взаимно перпендику-

лярны. Ортогональная проекция обозначается без указания направляющей.

Проекция вектора и точки всегда существуют и определяются единственным образом. Если вектор ~a на плоскости (в пространстве), (A; B) его представитель с началом в точке A, точки A0, B0 проекции соответственно точек

A и B на прямую l параллельно прямой h (плоскости ), то

0!0

Прl~a(k h) = A B (Прl~a(k ) = A B )

(рис. 11, б и 12, б).

ог

6= 0

На плоскостиг

численным значением проекции вектора ~a на вектор b

h) и опреде-

параллельнои

прямой h называется число, обозначаемое пр~~a(

ляемое равенством

Пр~b~a(k h)

пр~b~a(k h) =

Аналогично определяется и обозначается численное значение проекции век-

тора в пространстве. Численное значение ортогональной проекции на плос-

кости и в пространстве на единичный вектор i вычисляется по формуле

пр~~a = ~a cos i~ba:

j j ~

Если l1, l2 две пересекающиеся прямые на плоскости, то всякий вектор

~a плоскости может быть разложен по этим прямым, то есть представлен в виде суммы векторов ~a1 k l1 и ~a2 k l2. Это разложение единственно, причем

~a1 = Прl1~a(k l2); ~a2 = Прl2~a(k l1):

ог

Аналогичное разложение имеет место в пространстве по трем некомпланар-

два неколлис -

ным пересекающимся в одной точке прямым. Если ~a и b

неарных вектора, то всякий вектор ~u, компланарный с ними, может быть

разложен по этим векторам, то есть представлен как линейная комбинацияш

векторов ~a и b:

~u = ~a + b:

Это разложение единственно, причем

= пр~b~u(kе~aн):

= пр~a~u(k b);

Если ~a, b и ~c некомпланарны, то всякий век ор пространства ~u можно раз-

как линейную комбинацию

ложить по этим векторам, то есть представитьт

векторов ~a, b, ~c:

~u = ~aв+ b + ~c:

Это разложение единственно, причему

= пр~b~u(k ~c;~a);

= пр~a~u(k b;~cн);

= пр~c~u(k ~a; b):

Базисом на пло ко ти называется упорядоченная пара неколлинеарных

векторов (~e1;~e2). аКоординатами вектора ~a на плоскости относительно ба-

зиса (~e1; ~e называются коэффициенты разложения вектора ~a по базисным

и a такие, что

векторам, то есть числа a

~a = a1~e1

+ a2~e2:

координата вектора равна численному значению его проекции на

Каждаяа

соответствующий базисный вектор параллельно другому базисному вектору:

a1 = пр~e1~a(k ~e2);

a2 = пр~e2~a(k ~e1):

То, что вектор ~a имеет координаты a1, a2 записывается так:

~a(a1; a2) или

~a =

a1; a2 :

Базисом в пространстве называется

упорядоченная тройка некомпланар-

ных векторов (~e1;~e2; ~e3). Координатами вектора ~a в пространстве относи-

тельно базиса (~e1;~e2; ~e3) называются коэффициенты разложения вектора ~a

по базисным векторам ~e1; ~e2;~e3, то есть числа a1, a2, a3 такие, что

ог

~a = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3:

на

Каждая координата вектора равна численному значению его проекцииш

соответствующий базисный вектор параллельно двум другим векторам:

= пр~e1~a(k ~e2;~e3);

a = пр~e2~a(k ~e3;~e1);

a = пр~eГ3~a(k ~e1; ~e2):

Базис на плоскости и в пространстве, образованный Нединичными попарно

ортонормированным.

взаимно перпендикулярными векторами, называ тсян

~ ~

Базисные векторы обозначаются: i, j в случае плоскостим

и i, j, k в случае

пространства. Координаты вектора ~a относит льно ортонормированного ба-

зиса называются ортонормированными иобозначаются ax, ay для вектора

плоскости и ax, ay, az

для вектора в пространстве. Справедливы следующие

формулы:

= a cos j~a;

= a cos k~a:

ax = a cos i~a; ay

Если вектор ~u являетсянлинейной комбинацией векторов ~a, b, ..., m~ с

коэффициентами , , ...е, , то каждая координата вектора ~u является ли-

нейной комбинациейсоответствующих координат векторов ~a, b, ..., m~ с теми

же коэффициентами и обратно, то есть

~u = ~a + b + ::: + m~

тому, что

равносильнои

u1 = a1 + b1 + ::: + m1;

u2 = a2 + b2 + ::: + m2;

u3 = a3 + b3 + ::: + m3;

В частности, если ~u = ~a b, то

u1 = a1 b1; u2 = a2 b2; u3 = a3 b3

и обратно; если ~u = ~a, то

u1 = a1; u2 = a2; u3 = a3

и обратно.

Признак коллинеарности векторов в координатах. Два ненулевых

ог

вектора на плоскости и в пространстве коллинеарны тогда и только тогда,

когда их соответственные координаты пропорциональны:

на плоскости:

, b1

b2 ; 2

ыш

в пространстве: ~a k b , b1

= b2

= b3 .

Два ненулевых вектора на плоскости коллинеарны тогда и только тогда,

когда определитель, составленный из их координат, равен нулю:

~a k ~b ,

b1 b2

= 0:

ниН

Два вектора в пространстве коллинеарны

итогда и только тогда, когда

ранг матрицы, составленный из их координат, меньше или равен 1.

в координатах. Три вектора ~a,

Признак компланарности векторови

b и ~c компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный

из координат этих векторов, равенинулю:

b3 = 0:

ны b1

йa1

ве

условию удовлетворяют численные значения проекций

Пример 1. Какомуд

векторов

параллельно направляющей

AB BC CA

!, !, ! на вектор

BC CA

Решение. !+ !+! =

! = 0. Следовательно, пр~a(!+ !+!) =

BC CA

пр~a0 = 0. Но пр~a(!+ !+!) = пр~a!+пр~a !+пр~a!. Таким образом,

пр

! + пр

! = 0.

! + пр

~aо

Пример 2. Дан параллелограмм ABCD. Разложить векторы ! и

по двум векторам !

и !.

Решение. Складывая и вычитая одно из другого очевидные равенства

! =

! +

= !

!, получаем соответственно

2 !

! = 2! + 2

= 2

BD;

BD:

Пример 3. Даны три вектора ~a(4; 2), b(8; 22) и ~c(6; 10). Доказать, что

~c =

(~a + b).

21(a2 + b2) = 21( 2 + 22) = 10 = c2.

Решение. 21(a1 + b1) = 21(4 + 8) = 6 = c1,

Таким образом, c

), c

), откуда следует ~c =

= 2

+ b

= 2(a

+ b

(~a + b).

З А Д А Ч И

ог

46. Дан треугольник ABC. Чему равна проекция вектора ! на сторонув

AC параллельно стороне AB?

равно

47. Пусть в трапеции ABCD AB и CD боковые стороны.рЧемун

численное значение проекции вектора ! на вектор

параллельно осно-

ванию трапеции?

48. При каком взаимном расположении вектора ~a и прямых l и h на

прямой h равна: 1)

плоскости проекция вектора ~a на прямую l параллельнои

нулевому вектору, 2) вектору ~a?

49. Доказать, что два вектора будут равны, если проекции их на прямую

) совпадают.

l параллельно любой направляющей h (плоскостит

концами представителей с общим

50. Определить фигуру, образованнуюс

имеющих одинаковые чис-

началом всех векторов плоскости (пространства),в

b параллельно прямой h (плоскости

ленные значения проекции на векторн

~c равна 6, а численное значение его орто-

51. Зная, что длина векторан

3, найти угол между

гональной проекции на единичный вектор i равна

векторами ~a и i.

52. Численные значения ортогональных проекций векторов ~a, b, ~c, d на

вектор ~e со

ответственно равны 6, 1, 10, 5. Найти угол между векторами

~e и ~u = ~aй+ b + ~c + d, если ~u 6=0.

53.кДана правильная треугольная пирамида SABC. Найти ортогональ-

на прямую

и ортогональную проекцию век-

ную проекцию вектора !

тораа

! на прямую

54. Дана равнобочная трапеция ABCD. Угол между нижним основанием

AD и стороной AB равен

3 . Разложить по векторам ! и

! векторы,

определяемые сторонами и диагоналями трапеции.

55. На представителях трех некомпланарных векторов ! = ,

0 0

. Разложить по p~, ~q, ~r

и AA

= ~r построен параллелепипед ABCDA B

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.06.2015292.35 Кб12Салическая Правда_полный.doc
#
10.09.2019158.72 Кб0самост. изучен е.doc
#
23.11.2019479.74 Кб20Сапонины.doc
#
17.11.201837.42 Кб6Саратовский государственный университет и1.docx
#
28.04.20191.02 Mб53САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.docx
#
29.03.2016822.4 Кб116Сборник задач по векторной алгебре.pdf
#
09.06.2015193.07 Кб112Сборник задач по микроэкономике.docx
#
09.06.2015738.14 Кб472Сборник задач по экономике .pdf
#
09.06.2015714.75 Кб712Сборник задач по экономике_Челнокова О.Ю.doc
#
12.11.2019294.91 Кб4СБТ Показатель качества в нашей стране в те дал...doc
#
26.08.201928.34 Кб2своя игра.docx