Сборник задач по векторной алгебре

о

ог

к

с

в

~

е

Кососкалярным произведением ~a b ненулевого вектора ~a на ненулевойш

~

р

ы

век-

вектор b называется число, равное произведению длин перемножаемыхн

~

Ч

е

торов и синуса направленного угла от ~a к b:

.

&

~

~

Г

~

.

~a b = j~ajjbj sin ~a b;

Н

~

е

и

то кососкалярное

если по крайней мере один из векторов ~a или b нулевой,н

~

им

произведение ~a b полагается равным нулю.

т

т

произведения

Геометрические свойства кососкалярногое

р

и

в нуль тогда и только тогда,

1. Кососкалярное произведение об ащаетсяс

когда перемножаемые векторы коллинеарны,ве

~

~

то есть если ~a b = 0, то ~a

k b,

и обратно.

у

и

й

н

2. Абсолютная величина кососкалярного произведения двух векторов рав-

н

ы

построенного на представителях сомножите-

на площади параллелограмма,н

в

лей с общим началом какена сторонах:

т

с

~

ар

j~a bj = Sпарал-ма:

с

д

построенного на представителях векторов ~a и

Площадь треугольника,у

~

о

b с общим

гначалом как на сторонах, равна половине абсолютной величине

й

произведения данных векторов:

к

кососкалярногои

с

1

в

о

~

т

S =

2

j~a bj:

а

р

а

3. Синус направленного угла между двумя ненулевыми векторами на

С

плоскости равняется отношению кососкалярного произведения данных век-

торов к произведению их длин:

&

~a

~

sin ~a ~b=

b

:

~

j~ajjbj

&

&

~

~

sin ~a b= sin b ~a.

4. Связь кососкалярного и скалярного произведений выражается форму-

лой:

~

;

~

~a b = (~a ; b);

&

о

;

;

;

ог

определяется условиями: 1) ~a

=

и называетсяк

где вектор ~a

= j~aj, 2) ~a a

2

"

повернутым вектором ~a\.

е

с

ш

в

ы

н

Формальные свойства кососкалярного произведе ия

1. Кососкалярное произведение антикоммутативно

е

Ч

р

~

~

.

~a:

.Г

~a b =

b

~

~

~

Н

ни

2. (~a b) = ~a b = ~a

b:

м

3. Кососкалярное произведение дистрибутивноеотносительно суммы век-

торов

и

т

е~

~

т

(~a + b)

~c = ~a

и

~c;

с

~c + b

~

~

~a (b + ~c) =е~aр b + ~a ~c:

в

у

и

произведения в координатах

Выражение кососкалярногон

~

ы

заданы своими координатами относи-

Если два вектора ~a и b плоскостий

н

базиса (~e1; ~e2), то

тельно положительного (правого)н

е

в

~a ~b = pg b1

т

b2

;

арс

1

2

д

a

a

су

к

о

g

g

г

11

12

где g = ~eй1 ~e2

=

g21

g22

и называется дискриминантом метрических па-

с

и

&

в

раметрово

базиса. Положительный

базис характеризуется условием ~e1 ~e2< .

т

положительного ортонормированного базиса

р

а

Дляа

~a ~b = bx

by :

С

ax

ay

Пример 1. Упростить

31~a 4~b

21~a + 3~b .

3~a 4~b

2~a + 3~b = 6(~a ~a) + (~a ~b) 2(~b ~a) 12(~b ~b) = 3(~a ~b):

1

1

1

~

~

~

~

~a.

о

Пример 2. Показать, что из ~a + b + ~c = 0 следует ~a b = b ~c = ~c

Выяснить геометрический смысл этого утверждения.

к

ог

~

~

е

с

Решение. Умножим обе части равенства ~a + b + ~c

= 0 кососкалярновна

~

~

~

~

~

~

~

вектор b. Учитывая, что b

b = 0, ~c

b = b

~c, получаем ~a b =шb ~c.

ы

~

Умножая данное равенство кососкалярно на ~c, аналогично получаемрн

b

~c = ~c ~a.

~

~

~

Г

Че

.

Равенство ~a+b+~c = 0 означает, что векторы ~a, b и ~c образуют треугольник

.

(рис. 14). Учитывая ориентацию плоскости, получаем

Н

и

~

~

м

н

2S = ~a b = b ~c = ~c е~a:

и

т