шаров с m = 1.3 и y = 0.08 (внутренний слой имел m = 1.1 и диаметр в половину от внешнего). При этом модули элементов амплитудной матрицы рассеяния S1 и S2 имеют значительные ошибки в диапазоне рассеяния вбок и назад. Можно заключить, что ошибки формы проявляются в основном во внутренних полях вблизи поверхности и увеличиваются с m.

Все работы, обсуждающие точность МДД, рассматривают погрешности как функции параметров задачи светорассеяния и дискретизации, так как это наиболее простой способ. Единственное известное исключение это эмпирическое правило Дрейна, но оно слишком общо и приближённо для многих конкретных случаев. Более полезным подходом является выбрать требуемую точность для данной задачи и потом найти дискретизацию, которая обеспечит такую точность. Результаты подобного анализа были бы непосредственно полезны для практических вычислений, и на основе них можно вывести строгую оценку вычислительной сложности МДД. В разделе 2.6

представлены результаты, полученные для x вплоть до 100 и 20 при m = 1.02 и 2 соответственно, используя методологию фиксированной точности.

В нескольких работах обсуждались источники ошибок в МДД, чтобы попытаться разделить и сравнить ошибки дискретизации и формы [85,95-98], однако однозначные выводы не были получены. Неопределённость была связана с использование непрямых методов, которым присуща сложность интерпретации. В разделе 2.3 предлагается прямой метод для разделения ошибок формы и дискретизации, который может быть использован для изучения фундаментальных свойств этих ошибок, а также для изучения эффективности различных способов уменьшения ошибок формы, например, ВД. Более того, в разделе 2.2 сделан теоретический вывод, что ошибки дискретизации должны уменьшаться быстрее чем ошибки формы при уменьшении y. Но пока тяжело априори оценить важность ошибок формы для конкретного рассеивателя и y; для этого требуются систематические численные исследования.

2.1.3.3. МДД для кластеров шаров

Применение МДД к кластерам шаров связано с двумя основными особенностями: во-первых, такие частицы обычно менее компактны по сравнению с цельными рассеивателями, что приводит к меньшему взаимодействию между диполями, следовательно к меньшему числу обусловленности матрицы взаимодействия и к более быстрой сходимости итерационного метода (см. параграф 2.1.4.1). Во-вторых, если составляющие шары малы по сравнению с длинной волны, то каждый из них может рассматриваться как отдельный диполь, что приводит к теоретическим упрощениям.

40

Существует общая теория [99], основанная на теории Ми (обобщённая теория Ми для многих частиц – ОММЧ, generalized multiparticle Mie solution [100]), которая позволяет строго моделировать светорассеяние кластерами шаров. Но при рассмотрении многих малых шаров возникает необходимость уменьшить количество уравнений в линейной системе. Прямое сокращение ОММЧ до низшего порядка (используя только первый порядок в разложениях) приводит к МДД + KM [99]. Улучшение точности ОММЧ относительно нулевого уровня производится учётом мультипольных моментов более высоких порядков, а МДД вводит поправки более высокого порядка по ka в коэффициенты линейной системы. Не ясно, как сравниваются точности этих подходов, но первый должен приводить к методу, похожему на метод связанных мультиполей (coupled multipole method, см. параграф 2.1.3.4) с бóльшим количеством неизвестных, а второй (обычно на основе интегральных уравнений, описанных в подразделе 2.1.2) должен увеличивать точность вычислений, не изменяя количество неизвестных, что особенно актуально для больших кластеров из малых шаров. Более того, МДД позволяет использовать быстрые алгоритмы для решения линейной системы, в данном контексте наиболее перспективным кажется быстрый метод мультиполей (БММ, fast multipole method, см. параграф 2.1.4.5).

Следует отметить, что малый размерный параметр всего кластера (т.е. релеевскый режим) вовсе не подразумевает, что все члены мультипольного разложения кроме первого пренебрежимо малы. Так как размер шаров также очень мал, электрические поля не постоянны внутри них, особенно когда шары расположены близко друг от друга и имеют большой коэффициент преломления [101]. Следовательно МДД имеет принципиальные затруднения при моделировании рассеяния кластерами шаров (когда каждый шар моделируется одним диполем). В частности, Маковски (Mackowski) [102] показал, что для некоторых систем, составленных из нескольких шаров в релеевском режиме, требуется учёт вплоть до 10 членов мультипольного разложения для получения точного результата. Изучая пересекающиеся шары, Нго (Ngo) и др. [103] доказали, что ОММЧ может быть хаотичной, и вычислили соответствующий ляпуновский показатель. Также они связали медленную сходимость для касающихся шаров с тем, что система находится в зоне аттрактора. В недавней работе Маркела и др. [104] представлен вариант ОММЧ для эффективного вычисления в статическом режиме, и показана неточность МДД при моделирования светорассеяния фрактальными агрегатами. С другой стороны, Ким (Kim) и др. [105] показали, что МДД позволяет удовлетворительно вычислять статическую поляризуемость диэлектрических нанокластеров, особенно с большим количеством компонентов.

41

Развитие методов на основе МДД для моделирования светорассеяния кластерами малых шаров началось с работ Джонса [106,107], предложившего метод похожий на КМ. Искандер и др. [71] использовали метод эквивалентный ЛАК в применении к аэрозольным кластерам цепочного типа, что далее продолжили Козаса (Kozasa) и др. [108,109]. Лоу (Lou) и Чаралампополус (Charalampopoulos) [110] (ЛЧ) улучшили вычисление члена взаимодействия и характеристик рассеяния. Исходя из интегрального уравнения для внутреннего поля, эквивалентного уравнению (2), они приняли условие (13), после чего интегралы в формулах (14) и (15) по объёмному элементу в виде шара вычисляются аналитически. В результате получается поляризуемость ЛАК и следующий член взаимодействия:

Маркел и др. [111] применили МДД для изучения оптических свойств фрактальных кластеров шаров, но рассматривали поляризуемость диполя как переменную, вычисляя зависимость от неё оптических характеристик. Пустовит и др. [112] утверждали, что МДД неточен для касающихся шаров, и предложили гибрид МДД и ОММЧ, который рассматривает только парные взаимодействия между шарами (как и МДД), но при вычислении этого взаимодействия учитывает мультипольные члены более высокого порядка. Этот подход есть не что иное, как более точное вычисление члена взаимодействия [формула (15)], а потому аналогичен ЛЧ.

ЛЧ было сравнено с ДФГ и ЛАК для вычисления Csca кластера 10 частиц при m = 1.7 + 0.7i и 0.05 ≤ ka ≤ 0.5 [110]. ДФГ и ЛАК различаются менее чем на 1% (как и следовало ожидать), а различия между ЛЧ и ЛАК увеличиваются квадратично с ka,

достигая 10% для ka = 0.5. Однако определить точность каждого из методов невозможно, поскольку не приведено эталонных результатов (например, ОММЧ).

42

Окамото (Okamoto) [78] тестировал метод a1-члена для кластеров двух и трёх касающихся шаров. В этом случае не требуется эффективной среды, что делает метод обоснованнее; было показано, что этот метод явно превосходит ДСР в вычислении интегральных сечений, когда каждый шар рассматривается как отдельный диполь.

Погрешности метода меньше 10% при y ≤ 1.2 и m = 1.33 + 0.01i, а для линейной цепочки из трёх касающихся шаров они составляют 30% и 40% при y ≤ 1.9 и 2.8 для m = 1.33 + 0.01i и 2 + i соответственно. Но погрешности не уменьшаются существенно при уменьшении y (в работе приведены результаты только до y = 0.2), следовательно этот метод подходит для быстрого получения приближённых значений интегральных сечений.

В завершение этого параграфа упоминаются несколько практических применений МДД для моделирования светорассеяния кластерами шаров. Метод a1-члена использовался для пылевых агрегатов в астрофизике [113,114], Хал (Hull) и др. [115] применяли KM МДД к частицам дизельной сажи, а ЛЧ использовался [116] для моделирования светорассеяния случайно составленными цепными агрегатами. Лумме (Lumme) и Рахола (Rahola) [77] исследовали кластеры больших шаров (каждый моделировался набором диполей) в контексте астрофизических приложений, используя метод a1-члена. Хейдж и Гринберг [72] моделировали светорассеяние пористыми частицами, рассматривая их как кластеры кубических ячеек, тем самым их подход эквивалентен ЛАК. Недавно ДСР было применено [117] к пористым пылинкам, и результаты сравнивались с приближёнными теориями, например, ТЭС. Оно также использовалось для исследования светорассеяния фрактальными агрегатами [118], особенно его зависимости от внутренней структуры [119].

2.1.3.4. Модификации и расширения МДД

Борели (Bourrely) и др. [120] предложили использовать малый d для уменьшения шероховатости поверхности, но бóльшие диполи внутри частицы. Начиная с малых диполей с поляризуемостью KM, выбирается один диполь и объединяется с шестью смежными (если они все имеют одинаковую поляризуемость), в результате образуется диполь с семикратной поляризуемостью, расположенный там же, где и исходный. Эта операция повторяется с другими диполями, пока возможно, а взаимодействие рассматривается простейшим образом [формула (16)]. Этот подход позволяет уменьшить ошибки формы за счёт лишь небольшого увеличения количества диполей. Авторы показали, что в некоторых случаях их подход более чем в два раза точнее КМ.

43

Руло (Rouleau) и Мартин [121] предложили обобщённый частично аналитический метод (generalized semi-analytical method), в котором для вычисления интеграла в уравнении (2) используется динамическая решётка. Берётся обычная статическая решётка внутри частицы, затем вокруг каждой узла этой решётки строится сферическая система координат, и вся частица заменяется набором объёмных элементов в этих координатах. Поляризация внутри каждого элемента, как обычно, предполагается постоянной, а выражение (15) вычисляется аналитически в сферических координатах. Поляризация внутри каждого элемента динамической решётки получается интерполяцией значений в узлах статической решётки. Дополнительно проводится адаптивное построение решётки, когда вблизи поверхности частицы используются меньшие элементы.

Мулхоланд (Mulholland) и др. [122] предложили метод связанных электрических и магнитных диполей (СЭМД, coupled electric and magnetic dipole method),

заключающийся в рассмотрении не только электрического, но и магнитного дипольного момента каждого элемента объёма. При этом поляризуемости определяются двумя первыми коэффициентами в теории Ми. В рамках СЭМД необходимо одновременно находить и электрическое, и магнитное внутреннее поле, что удваивает количество уравнений в линейной системе. Лемар (Lemaire) [123] пошёл дальше и разработал метод связанных мультиполей, включая в рассмотрение электрический квадруполь, что можно рассматривать как более точное вычисление взаимодействия по формуле (15) по сравнению с формулой (16). В итоге получается бóльшая чем у СЭМД точность, но за счёт дополнительных вычислений. Главным недостатком четырёх вышеописанных методов является то, что матрица системы линейных уравнений не имеет специальной формы, подходящей для быстрых алгоритмов (см. подраздел 2.1.4). Поэтому время вычислений для них значительно превосходит стандартные методы, что ограничивает их практическую применимость. В дальнейшем упомянуты без обсуждения ещё несколько расширений МДД.

Теоретические основы применения МДД к оптически анизотропным частицам были сформулированы Лахтакиа [124]. Лойко и Молочко [125] применили МДД для изучения светорассеяния жидкокристаллическими шарообразными каплями. Смит (Smith) и Стокс (Stokes) [126] моделировали с помощью МДД эффект Фарадея для наночастиц. Исследователи из электротехнического сообщества также применяли ММ (в формулировке эквивалентной МДД) к анизотропным рассеивателям [127,128].

МДД позволяет использовать объёмные элементы в виде прямоугольных параллелепипедов [53,63,79], что позволяет использовать меньше диполей для точного

44