Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike

7.4.27.W = 3q2/(32πε0l).

7.4.28.k = [q2/(2πε0l1l2](l1 + l2 + 2l0).

34πε0R

q √

7.4.35 . T = 2π 4πε0ml3/( 2 q2).

7.4.36 . а) Электроны и ионы разделяются полностью. Электрическое поле ионов Ei = neh/(2ε0) остановит электроны через время

t ≈ 2ε0mev/(e2hn); ν ≈ e2hn/(8ε0mev).

♦б) Часть ионов и электронов образует на границах слоя заряженные области (см. рис.),

электрическое поле которых вызывает гармоническое движение основной массы электронов

p

с периодом T = 2π e2n/(ε0me). Поэтому электроны остановятся через время t = T/4 =

p

(π/2) e2n/(ε0me), ν = 1/4t. 7.4.37 . n = 8 sin2(α/2).

q

7.4.38 . x = l2 + l02 − l + l0, где l0 = q2/(8πε0µMg).

331

Глава 8. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

§ 8.1. Ток. Плотность тока. Ток в вакууме

p

8.1.1. а. I ≈ nec/l = 0,02 А. б. I = e4/[16ε0me(πr)3] = 0,0012 А.

8.1.2.v = Il/q.

8.1.3.I = 2ε0Eav = 1,3 · 10−4 А.

8.1.5.v = 0,4 см/с.

8.1.6.j = eν.

8.1.7.j = −eneu.

8.1.8.I = sj sin α = 10 А.

8.1.9.t = 8 · 10−6 с.

8.1.10.ρ = j/v.

8.1.11.E ≈ I/(2πε0vr) = 6 · 105 В/м; L ≈ [8merv2/(3eE)]1/2 ≈ 0,1 м.

v02 − 2eEx/me

при x < x0 = mev02/(2eE); ρ = 0 при x > x0. По зависимости ρ2 от x находится наибольшая напряженность поля заряда между сетками:

т. е. ρ0mev0/(ε0eE) ≈ E, необходимо его учитывать. Отсюда оценка ρ ≈ eε0E /(mev0).

8.1.14.Кривая T1 соответствует низкотемпературному катоду, а кривая T3 — высокотемпературному.

8.1.15.Если бы поле было не близко к нулю, то все электроны с этой границы уходили бы или в сторону анода, или в сторону катода в зависимости от знака поля.

При x → 0 плотность заряда ρ → ∞, тем не менее заряд, приходящийся на единицу d

напряженности поля пространственного заряда: E0 = σ/(2ε0). В данном случае E0 V/d и действием пространственного заряда можно пренебречь.

точки, в которой определяется j; r — расстояние от A или B до этой точки. В первом случае ток перпендикулярен плоскости симметрии, во втором — лежит в ней. Полные токи через плоскость равны соответственно I и 0.

8.1.21 . j = qvl/(2πr3).

332

§ 8.2. Проводимость. Сопротивление. Источники ЭДС

8.2.1 . а. λ = e2neτ/me. б. τ = 2,4 · 10−15 с.

8.2.2 . N/N = 1,5 · 10−10.

8.2.3.f = −ne2v/λ.

8.2.4.I = meωrλs/(eτ) = 1,7 мА.

8.2.5.Изменение поля происходит со скоростью света.

8.2.6 . Отношение κ/λ почти одинаково для этих металлов. Теоретическая оценка: κ/λ = π2k2T/(3e2), где k — постоянная Больцмана, T — температура, e — заряд носителей тока.

8.2.10.ρ = ε0j/(λa).

8.2.11.а. I = Q0/(ε0ρ). б . Q = Q0 exp[−t/(ε0ρ)].

8.2.18 . R = 0,14 Ом.

8.2.21 . C = εε0/(λR); нет.

♦8.2.22 . Электроды должны касаться центра пластины с разных сторон.

8.2.24 . I = F l/(qR); v = F l2/(q2R).

8.2.25.а. ϕ = qvR/l. б. ϕ = F l/q.

8.2.26.V = W/e; Iмакс = eν. При R < W/e2ν ток не меняется с изменением нагрузки.

8.2.27 . I = I0(1 − pV/V0).

♦8.2.28. См. рис. W = Eсl.

8.2.29.E = 1,13 В.

8.2.30.E = 1,07 В. Есть приток тепла от окружающей среды.

8.2.31.ν = 1,4 · 10−2 моль.

8.2.32 . Конденсатор не разрядится полностью из-за появления химической противо-ЭДС, возрастающей при увеличении числа ванн.

8.2.34 . k = V/(2E).

333

§ 8.3. Электрические цепи

8.3.1.r = 1,5 и 50 кОм.

8.3.2.r = 20 Ом.

8.3.3.V = 1 кВ.

8.3.4.В схемах а и д приборы покажут уменьшение тока, в схеме г — возрастание тока, в схеме b и е ток не изменяется. В схеме в верхний амперметр покажет возрастание тока, нижний покажет уменьшение тока.

8.3.5.а. V/V = R/(R + r). б. I/I = r/(R + r).

8.3.6.IV /I6 = 10/64, V ≈ 40 В.

8.3.7.100 Ом.

8.3.8.Большее.

8.3.9.V = 48 В; I = 15 А.

8.3.10.rx = rR2/R1; сохраняется.

8.3.11.Rв = V1/I1; R = V2V1/(I2V1 − I1V2);

RA = (V1V3I2 − V3V2I1 − V2V1I3)/I3(V1I2 − V2I1).

♦ 8.3.12 . Приведем часть схемы, включающую искомое сопротивление. К узлам A и O подключим батарею, а к узлам C и O — вольтметр, к узлам C и A, C и B — амперметры, а узлы A и B соединены проводом. Ток через сопротивление R равен ICA + ICB. Тогда R = V/(ICA + ICB), где V — показание вольтметра.

8.3.15 . R1 = 9r; R2 = 10r/9.

8.3.16. На участке а: V = E−I(r+R); б: V = −E−I(r+R); в: V +E1 +E2 −I(r1 +r2 +R);

г: V = E1 − E2 − I(r1 + r2 + R).

8.3.17.E = 34,3 В; r = 1,43 Ом.

8.3.18.Батарея с ЭДС E = 10 В и внутренним сопротивлением r = 14 Ом.

♦8.3.19. См. рис.

8.3.20.I = 10 А, r = 20 Ом; E = 200 В, r = 20 Ом.

8.3.21.I = 80 А.

8.3.23. I2 = I3R3/R2; I1 = I3(R2 + R3)/R2; V = I3(R1R2 + R1R3 + R2R3)/R2.

♦8.3.24. См. рис.

♦8.3.25. а. V = 5ir; R = 5r/6; I = 6i. ♦ б. См. рис. I = 7i/2; R = 12r/7;

в. RAB = 13r/7; RCD = 5r/7.

8.3.26. I = 8 А.

8.3.27 . а. I = i/2; R = r/2. б. R = r/3. в. RAB = 2r/3; RAC = r.

334

8.3.28. E = (E1r2 + E2r1)/(r1 + r2) = 21 В, r = r1r2/(r1 + r2) = 3,75 Ом.

♦ 8.3.29. См. рис.

8.3.30. Уменьшится в три раза.

8.3.31. V = 0; I = 0,75 А.

8.3.32. V = 0,75 В.

8.3.33. Через 12, 54 и 27 мин.

8.3.34. N = I2R.

8.3.35. N0 = N0(N − N0)/N.

8.3.36. R = 9(n − 1)r.

√

8.3.37.r = R1R2.

8.3.38.2 и 100 В; 20 и 0,1 Вт. Ток почти не

изменится, мощность же возрастает почти вдвое.

8.3.39.S = 42 мм2; примерно в 10 раз.

8.3.40.N = (E − Ir)I; R = r.

8.3.41.N1 = 125 Вт; N2 = 80 Вт; N3 = 45 Вт.

8.3.42 . При r = R.

8.3.43. Nп = (V − E)E/r; Nт = (V − E)2/r.

Если E > V/2, то полезная мощность больше тепловой.

8.3.44.N = 4 Вт.

8.3.45.N = λCV 2/ε0.

8.3.46.N = I(mev2/2e − IR).

8.3.47.q = 4π2ε0a3eneRv, v a2e2neR/me.

8.3.48 . T = T0 + R0I2/(κ − I2R0α), κ > I2R0α. При κ < I2R0α температура T неограниченно возрастает.

§ 8.4. Конденсаторы и нелинейные элементы в электрических цепях

8.4.1.а. q = 8 · 10−4 Кл. б. V = 60 в. в. 30, 30, 60 В.

8.4.2.V = V0x/(2x − l); поменять местами источники.

s

8.4.3. ϕA = ϕB + 2 l − x kx .

2ε0S

метром, q1 = C1R1E/(R1 + R2); q2 = C2R2E/(R1 + R2). В этом случае уменьшается влияние этих вольтметров на электрическую цепь.

8.4.10. Сначала конденсатор нужно заряжать от одного элемента, потом от двух последовательно соединенных и т. д. Тогда потери энергии составят 1/n долю запасенной энергии.

8.4.11 . Nг = Iq/C > Nк = Iq/(2C). Эти величины отличаются друг от друга из-за работы, совершаемой при изменении емкости конденсатора.

8.4.12. Через τ ≈ 10−3RC.

E1R2 + E2R1 ; q = C E1R2 + kE2R1 .

R1 + R2 kR1 + R2

335

RRC

8.4.16.R < 40 кОм.

♦ 8.4.21. На вольт-амперной характеристике проводим прямую I = (E − V )/R; точка их пересечения дает ток 2 мА. Проводя соответствующие прямые через концы прямолинейного участка характеристики, находим, что при R > 0,3 кОм и R > 3 кОм диод перестает работать на прямолинейном участке вольт-амперной характеристики.

Глава 9. ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

§ 9.1. Индукция магнитного поля. Действие магнитного поля на ток

9.1.9. tg α = IB/(4ρg).

♦9.1.10. Рамку с током разобьем на трапецеидальные микроконтуры с током I так, как

изображено на рисунке. Момент сил, действующий на все микроконтуры, при h → 0 совпадает с моментом сил, действующих на рамку с током:

!

336

9.1.12. N = πR2IB(sin α + cos α)/2.

9.1.13 . B = P/(πRIn).

9.1.14. a = 2πRIB sin α/m.

9.1.15 . B = F/(RI).

§9.2. Магнитное поле движущегося заряда. Индукция магнитного поля линейного тока

9.2.2.B = µ0ρv/(2πr), где r — расстояние до нити.

9.2.3.B = µ0I/(2πr), где r — расстояние до провода.

9.2.4.µ = 1,25.

9.2.5.B = 1,88 · 10−5 Тл.

9.2.8. а. B = 4πr2 sin α. б. B = 4πr2 sin α.

9.2.10.B = µ0I/(2R); Bh = µ0IR2/[2(R2 + h2)3/2].

9.2.11.n = sin (α/2).

разобьем на квадратные микроконтуры с током так, как изображено на рисунке. Индукция магнитного поля, создаваемого этими микроконтурами, при h → 0 совпадает с индукцией контуров, внутри которых находятся микроконтуры. Магнитное поле рассматриваемых контуров на большом расстоянии близко к полю отдельного микроконтура, умноженному на число микроконтуров внутри каждого контура. Но это произведение при h → 0 у каждого контура стремится к одной и той же величине, так как число микроконтуров зависит лишь от площади контура.

♦ 9.2.19 . а. На рисунке каждый микроконтур с моментом M0 окружен контуром с током I = M0/a2. На расстояниях, много б´ольших расстояния между соседними микроконтурами, поле микроконтуров стремится к полю окружающих их токов I, которое совпадает с полем тока I, текущего по большому контуру. Магнитный момент такого контура M = Ib2 = M0b2/a2 = nM0.

б. Магнитное поле тонкой пластины близко к магнитному полю контурного тока I = hM,

где M — магнитный момент единицы объема вещества пластины. Но индукция магнитного

√ √

поля B связана с I соотношением B = µ0I 8/(πa). Поэтому M = Bπa/(µ0h 8 ).

9.2.20.B = µ0MR2h/[2(R2 + l2)3/2].

9.2.21.B = 4,9 · 10−2 Тл.

9.2.22.Вектор B0 должен быть параллелен поверхности диска. N = 2πBB0R3/µ0.

p

9.2.23. M = πHF/(2µ0ah2).

§9.3. Магнитное поле тока, распределенного по поверхности или пространству

9.3.1.B = µ0σv/2.

9.3.2.B = 10−10 Тл.

9.3.3.µ0i/2.

9.3.4.Между плоскостями B = µ0(i1 − i2)/2, вне плоскостей B = ±µ0(i1 + i2)/2.

9.3.5.F = µ0I2/(2b).

9.3.6.а. = µ0aI2/(8Eb2). б. B1 ≈ 10 Тл. B2 ≈ 35 Тл.

9.3.7.Bk = µ0e0E v = µ0iΩ/(4π), где E = σΩ/(4πε0) — составляющая напряженности электрического поля носителей тока, перпендикулярная поверхности, σ — их поверхностная

плотность, v — скорость. √

9.3.8. а. B = µ0i/4. б. B = µ0i; не зависит. в . B = µ0aj/(4 3 ).

9.3.9. T = µ0nRI2/2.

9.3.10 . а. Bk = µ0iΩ/(4π), где Ω — телесный угол, под которым видна поверхность цилиндра (см. задачу 9.3.7). В сечении AA0 телесный угол Ω = 2π, поэтому Bk = µ0i/2.

338

♦ 9.3.11 . а. Магнитное поле цилиндра складывается из магнитных полей тонких дисков толщины Δ, на которые можно разбить этот цилиндр. Магнитное же поле каждого диска совпадает с магнитным полем тока, текущего с линейной плотностью M (M — магнитный момент единицы объема железа); по внешней поверхности диска (см. решение задачи 9.2.19 ).

б. Направление индукции магнитного поля в центре кубика совпадает с направлением намагничивания. Модуль этого вектора будет во столько раз меньше модуля индукции магнитного поля внутри стержня, во сколько раз 8π/3 (телесный угол, под которым видны боковые грани кубика 1–4) меньше 4π, т. е. n = 1,5 раза.

9.3.12. Индукция магнитного поля внутри прямоугольного столба будут во столько раз

больше B, во сколько раз 4π больше телесного угла, под которым видны боковые грани пла-

√

стины из ее центра. B = πaB0/(2 2h ).

9.3.13.Bk = 6,28 · 10−4 Тл, B = 0,377 Тл.

9.3.14.B = B0κh/(2R).

9.3.15. а. B = µ0Ix/(2πr2), 0 < x < r; B = µ0I/(2πx), x > r.

б. B = µ0xj, x = a/2; B = µ0aj/2, x < a/2.

9.3.16.Bмакс = µ0NI/(2πr), Bмин = µ0NI/(2πR).

9.3.17.а. Над плоскостью B = µ0I/(2πx), линии индукции магнитного поля совпадают с линиями индукции поля бесконечного прямого провода; под плоскостью B = 0.

б. Над плоскостью B = µ0I/(2πx), под плоскостью B = µ0(I − I0)/(2πx).

в. Внутри кабеля B = µ0I/(2πx), вне кабеля B = 0.

точки O.

9.3.21 . B = µ0jd/2.

♦9.3.22 . а. B = µ0ja/2. б. i = 2B0 sin ϕ/µ0, iмакс = 2B0/µ0. См. рис.

9.3.23 . Составляющая индукция магнитного поля вдоль оси соленоида Bk = µ0nI, а составляющая индукция магнитного поля перпендикулярна оси соленоида, B = µ0nI tg α.

339

♦ 9.3.24 . Для определения эквивалентных поверхностных токов (см. решение задачи 9.3.11 а) цилиндр нужно разбить на тонкие слои, один из которых изображен на рисунке.

Плоскости слоев должны быть перпендикулярны направлению намагничивания. B = µ0M/2

при x < r; B = (µ0M/2)(r/x)2 при x > r.

9.4.9. Так как магнитный поток радиальной составляющей индукции поля вне цилиндра сохраняется, индукция магнитного поля будет убывать как αR/r, где r — расстояние до оси

340