Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike

.pdf

Скачиваний:

2973

Добавлен:

28.03.2016

Размер:

5.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 3737

♦ 14.1.18 Пусть происходит следующее. Несколько наблюдателей двигаются около Земли с разными скоростями. На Землю вернулся отраженный от одного наблюдателя радарный импульс. Пока этот импульс путешествовал, стрелки часов на месте старта сделали три полных оборота, во время второго путешествия импульса стрелки сделали еще два оборота. И наблюдатель, от которого отразился импульс, и все остальные наблюдатели зафиксируют события: три оборота стрелок земных часов во время первого путешествия импульса и два оборота стрелок во время второго путешествия. Каждый оборот для любого наблюдателя длится одинаковое время. Поэтому для всех наблюдателей отношение длительности первого и второго путешествия импульса равно отношению числа оборотов стрелки часов 3 : 2. Приведенный пример иллюстрирует независимость отношения времен, характеризующих события, от скорости наблюдателей.

♦14.1.20 Период колебаний световых ходиков независимо от их ориентации по наблюдениям

со станции увеличится в 1/ 1 − β2 раз, и поэтому ходики будут «идти» в 1/ 1 − β2 раз

расстояния между зеркалами

которое наблюдается со станции

медленнее. Для определения p

l0:

у продольных ходиков, определим период колебаний ходиков через

τ1 =

2l0

c(1 + β)

c(1 − β)

c(1 − β2)

Этот период в

1/p1 − β

раз больше периода колебаний ходиков 2l/c, измеренных в ракете.

Значит,

2l0

τ1 =

c(1 − β2)

c 1 − β2

Из последнего уравнения следует, что l

= l 1

−

Это означает, что ходики и ракета, и

β2.

люди в ней, по наблюдениям с Земли

«сплющатся» в

раз в направлении скорости

1/ 1 − β

Много изменений

βc. Точно также вс¨е «сплющится» и на станции по

наблюдениям с ракеты

в наблюдаемую картину движения вносит относительное движение станции. И прежняя одно-

временность событий нарушается, и часы на станции идут медленнее в 1/ 1 − β2 раз, и вс¨е

361

14.1.26 . sin α1 =

сокращается в 1/ 1 − β2 раз в направлении движения. Но «сплющенные» люди на станции своими «сплющенными» приборами, используя «замедленное» время и неправильно определяя одновременность событий, получают, измеряя относительную скорость улетающего от них света, не скорость c − βc, а скорость c. Свет же, который летит им навстречу, приближается к ним не со скоростью c + βc, а, по их искаженным измерениям, со скоростью c. Так могли бы объяснить разницу измерений относительной скорости света наблюдатели с ракеты. Но точно так же могли бы объяснить и наблюдатели со станции, считая, что у них все нормально, а искажения наблюдаются у «ракетчиков».

♦

14.1.24 . N = (1 + β)/2.

14.1.25 . δ ' p /c.

sin α + 2β + β2 sin α 1 + 2β sin α + β2 .

14.1.27. В системе отсчета, которая движется со скоростью u sin α в направлении, противоположном движению корабля, скорость ракеты vp перпендикулярна направлению движения

362

корабля vk; vp и vk определяются формулами
	cos α
vp = u sin αq1 − (u/c)2 cos α, vk = (v − u cos α). 1 −	cos α	.
	vu
	c2

В системе отсчета, в которой скорость корабля равна нулю, составляющие скорости ракеты v и vk, перпендикулярные и параллельные прежней скорости корабля vk, определяются формулами

			v = vp/q	1 − (vk/c)2	, vk = vk,
а полная скорость ракеты v1 формулой
							vu cos α
			= qu2 + v2 − 2vu cos α − (vu/c)2 sin2				vu cos α
v1	= v2	+ vk2	= qu2 + v2 − 2vu cos α − (vu/c)2 sin2			α 1 −	c2 .
	q					.

14.1.28 . tg ν = γ tg (α/2), γ = 1/ 1 − β2.

§14.2. Замедление времени, сокращение продольных размеров. Преобразование Лоренца

14.2.1. В 2,5 раза.

14.2.2.v > c/ 1 + (τc/l)2.

14.2.3.v = 6 · 104 км/с.

14.2.4.ν = 107 Гц.

14.2.5 . В точке, движущейся со скоростью стенки, частоты электромагнитных колебаний падающей и отраженной волны совпадают. Поэтому частота падающей волны ν связана с частотой отраженной волны ν0 равенством

ν/(1 + β) = ν0/(1	−	β), ν0	= ν(1	−	β)/(1 + β).
	−			−

14.2.6 . В точках, движущихся со скоростью стенки, частота электромагнитных колебаний волны в диэлектрике и вне диэлектрика одинакова. Поэтому частота волны вне диэлектрика ν связана с частотой волны внутри диэлектрика ν0 равенством

ν/(1 + β) = ν0/(1 + nβ), ν − ν0 = (n − 1)β/(1 + nβ).

14.2.7. τ = l(1 − vu/c2)/v 1 − u2/c2.

14.2.8. Через 5 · 104 лет.

♦14.2.10. Навстречу карандашу движется со скоростью βc пенал. Длина пенала l/γ (γ =

p			,	.
1	1 − β2) в γ2		раз меньше длины карандаша γl. В момент, когда дно пенала достигнет пе-

реднего конца карандаша дно остановится Однако открытый конец пенала будет двигаться со скоростью cβ до тех пор, пока волна «остановок» участков пенала, идущая от его дна со скоростью c/β, не дойдет до открытого конца. В этот момент длина пенала равна длине карандаша и пенал захлопывается.

14.2.12 . tg α =	2 12 q			2
		2−	1 2 2 2
	ββ /	1	β2.
14.2.14. v = cν0 (ν1 − ν2 )/(ν1 − ν0 )(ν2 − ν0 ).
				ν0 = (1 + β cos α)/p		.
14.2.16. cos θ = (cos α + β)/(1 + β cos α),					1 − β2

363

22al

−

vaτ1

14.2.17. а) τ = L/(v + u), τ

= τ

(1 + vu)/

(u/c)2;

б ) τ1 =

− 1!, τ2 = τ1 1 +

1 −

1 +

2c2

14.2.18. Центр колебаний движется со скоростью βc. Координаты тела относительно цен-

тра связаны со временем t0 соотношениями: а) z0

ωt0

1 +

βz0

; б) y0

ωt

0 ,

sin

= A sin

ωc

γ= 1 1 − β2.

§14.3. Преобразование электрического и магнитного полей

14.3.1. Расстояние между зарядами в пластинах уменьшится в γ = 1/ 1 − β2 раз, что приведет к увеличению поверхностной плотности заряда каждой пластины в γ раз. Поэтому электрическая напряженность увеличится в γ раз:

E0 = γE,

B = βE0

= γβE.

14.3.3. Er = 2γρ/r, Br = 2γβρ/r, где γ = 1/

β , r —

14.3.2 . E = γ · E cos α, Ek = E sin α, B = γβE cos α = βE , γ = 1

1 − β2.

14.3.4. а. ρe = ρ/γ, ρi = γρ, γ = 1/

β2p.

расстояние до нити

−

б. Увеличится в−γ раз.

−

в . Разное изменение плотности зарядов электронов и ионов при движении проводника

= γρ

−

ρ/γ = β2γρ.

приводит к появлению нескомпенсированной объемной плотности заряда ρ0

Электрическое поле этого заряда E = β γρs/r, а магнитная индукция движущегося проводника B = βγρs/r, где s — сечение проводника, а r — расстояние до его оси. Поэтому E = βB.

14.3.5 . а. ρi = γ1ρ, где γ1 = 1/ 1 − β12. Для определения плотности электронов перейдем в состояние движения со скоростью β1c через промежуточное состояние движения со скоростью

		e	−		ρ/γ, γ = 1			1	−	β2. Затем,
βc, в котором электроны неподвижны, а их плотность равна ρ0 =
сообщая промежуточному состоянию скорость β2c = c(β1 − β)/(1 − β1β),						перейдем в нужное
								p
ββ1)ρ.	,			ρe = ρe0 /q						= −γ1(1−
							1 − β2
состояние в котором плотность электронов определяется формулой									2

б. Увеличится в γ1 раз.		в. E1 = β1B1.

~− ~ × ~

14.3.6.а. E = [β B].

~	~
б. В движущемся состоянии электрическое поле E определяется формулой E = −[β	× B],

где B~ 0 — индукция магнитного поля в движущемся состоянии. При малых β B~ 0		близко к B~ .
Поэтому E~ ' −[β~ × B~ 0].
в. Оба объяснения правомерны. Это означает, что определить абсолютное движение маг-
нита нельзя.
♦ 14.3.7 . а. В качестве пробного тела выберем
прямой проводник, который неподвижен в началь-
ном состоянии и в котором со скоростью βc дви-
жутся электроны проводимости. Плотность элек-
тронов на единицу длины проводника −ρ, а плот-
ность ионов кристаллической решетки проводни-
ка +ρ. Поэтому проводник не заряжен и электри-
ческое поле в начальном состоянии на него не дей-
ствует. В движущемся со скоростью −βc состоянии
электроны проводимости неподвижны, а ионы дви-
жутся со скоростью −βc. Плотность электронов в
проводнике уменьшится в γ раз, а ионов — увели-
чится в γ раз. Поэтому проводник окажется после
	2	проводника
преобразования заряженным с плотностью γρ − ρ/γ = β γρ, и на единицу длины		проводника
			2	γρE.
в поперечном направлении со стороны электрического поля E будет действовать сила β				γρE.
364

Но проводник движется без ускорения. Это означает, что сила со стороны электрического поля E компенсируется силой, действующей со стороны магнитного поля: IB/c + β2γρE = 0, I = −γρβc — ток в проводнике после преобразования, B — магнитное поле, перпендикулярное как проводнику, так и напряженности электрического поля. Из последней формулы следует, что в преобразованной системе появляется магнитное поле B, связанное с электрическим полем

соотношением B = [β

× E].

б. В преобразованной системе (см задачу а) магнитное поле определяется формулой B =

[β~ × E~ 0], где E~ 0 — электрическое поле в преобразованной системе. При малых скоростях сноса

E~ 0 близко к E~ . Поэтому B~ ' [β~ × E~ ].

14.3.9. а) Увеличится в 1/

1 − β2 раз;

б) уменьшится в 1/

1 − β2 раз.

Увеличится в

раз.

14.3.10.

β2

p−

14.3.11. E

= Q/(R2

β2),

max

= Q/(4πR2

1 β2

min

= Q/(4πR2).

max

p −

♦14.3.12 . На рисунке изображена сфера вокруг неподвижного заряда и эллипсоид, воз-

никший из этой сферы при сносе ее вместе с зарядом со скоростью βc. Малая ось эллипсоида в

γ = 1/ 1 − β2 раз меньше сферы. На поверхности этого эллипсоида находится электрическое поле, которое раньше находилось на поверхности сферы. Поперечная составляющая этого поля E увеличивается в γ раз, продольная же составляющая Ek не изменится. Поэтому тангенс угла между новой напряженностью поля и направлением сноса увеличится в γ раз. Во столько же раз увеличится и тангенс угла радиус-вектора. Поэтому электрическое поле по-прежнему будет направлено по радиус-вектору. Однако напряженность нового поля будет зависеть не только от расстояния до заряда r, но и от угла α между направлением скорости βc и радиус-вектором r. Например, если сравнивать эту напряженность с напряженностью неподвижного заряда, она увеличится в поперечном направлении в γ2 раз, а в продольном направлении уменьшится в γ3 раз. Для других направлений напряженность будет определяться формулой

E~ =	q	·	1 − β2	α)3/2 ·	~r.
			(1 − β2 sin2
r3

В начальном состоянии магнитного поля не было. Поэтому индукция магнитного поля опреде-

~	~	~
ляется формулой B = [β		× E].

14.3.13 . При движении системы со скоростью −βc диэлектрическая пластина остановится, а обкладки конденсатора будут двигаться со скоростью −βc. Плотности поверхностных

зарядов на обкладках увеличатся в γ = 1/ 1 − β2 раз и будут равны ±γσ, где ±σ — плотности поверхностного заряда обкладок неподвижного конденсатора. Кроме того, появится ток с линейной плотностью ±γσβc. Эти поверхностные заряды и токи создадут внутри неподвижного диэлектрика электрическую напряженность E0 = 4πγσ/ε и магнитную индукцию B0 = +4πγβσ. Движение новой системы со скоростью βc возвращает ее в первоначальное состояние. Электрическое и магнитное поля внутри диэлектрика определяются по формулам преобразования полей, приведенным в условии задачи 14.3.8.а:

E = 4πσγ2(1/ε − β2), B = 4πσγ2β(1 − 1/ε).

365


14.3.14 . Движение состояния со скоростью	−	βc приводит к состоянию,					2
							в котором непо-
движный диэлектрик находится в магнитном поле индукции γB, γ = 1/					1 − β			и в электриче-
ском поле напряженности γβB. Магнитное поле на диэлектрик не			действует			,	а электрическое
				p

поле, которое перпендикулярно пластине, ослабляется в ε раз: E0 = γβB/ε. Движение нового состояния со скоростью βc возвращает старое состояние, электрическое поле в котором находится по формуле преобразования электрического поля, приведенной в условии задачи 14.3.8.а: E = γ2β(1 − 1/ε)B. Потенциал, вызываемый этим полем, равен U = Eh = γ2βhB(1 − 1/ε).

14.3.16 .

−

14.3.15.

Увеличится в

(1 + β)/(1 − β) раз.

Увеличится в (1 + β/n)/

β2)

раз.

14.3.17.

(1 + β)/(1

−

Увеличится в

β) раз.

14.3.18 . Увеличится в (1 + β sin α)/(1 − β sin α) раз.

14.3.19.

Увеличится в

(1 + ββ1)

−

β2) раз.

14.3.20. Увеличится в

раз; ρ = βγj/c.

1/ 1

−

14.3.21 . Нет.

14.3.22. E = 4πγ[σ − j(t0 − x0β/c)] = 4π[γσ − jt0 + l0βγ2/c].

14.3.23 . Продольное поле при движении не меняется. Меняется лишь место и время его появления. Электрическое поле в неподвижном конденсаторе E = 4π(σ − jt). Электрическое поле в конденсаторе, движущемся со скоростью βc,

E0 = 4π σ − j t0 − xc0β = 4π

σ − γ t0

l βγ

где

— расстояние от передней пластины, γ = 1/

−

β2.

14.3.24. P = vM.

14.3.25 . P = vM.

14.3.26. F± = 2µev/R±3 , R± = e2/(2γmev2).

♦ 14.3.28 . Нет. В движущемся конденсаторе составляющие силы F , действующей на первую пластину вдоль и поперек скорости, равны

Fk = QE cos α, F = QE sin α(1 − β2),

а составляющие ускорения равны

ak = k cos α, a = k sin α, k = QE 1 − β/M,

где Q, M, E — соответственно заряд, масса покоя и электрическое поле внутри конденсатора. Это ускорение перпендикулярно пластине, равно по величине ускорению второй пластины и противоположно ему направлено. Поэтому конденсатор не будет поворачиваться.

§ 14.4. Движение релятивистских частиц в электрическом

имагнитном полях

14.4.1.а) В движущейся со скоростью βc системе промежуток времени между двумя

событиями — пересечением электроном границы поля — будет в γ = 1/ 1 − β2 длиннее:

T = γτ.

366

б) В первом случае за время τ импульс электрона изменился на величину 2γmecβ, поэтому τ = 2γmecβ/(eE), где E — электрическая напряженность. Во втором случае за время движения T импульс электрона изменился на величину γ1mecβ/(eE), где β1c = 2βc(1 + β2) — скорость электрона после действия на него поля. Поэтому T = γτ.

14.4.2 . В системе отсчета, в которой поле неподвижно,

2mev1

τ1

= τq1

− u2/c2,

eE 1

v12/c2

−

а скорость электрона v1 = (v + u)/(1 + vu/c2). Поэтому

E = 2me(v + u)/[eτ(1 − u2/c2)q

1 − v2/c2

14.4.3. E = mev/(eτ

1 − v2/c2 ).

14.4.4. а)

Увеличится в

раз

−

v0 = v2 + u2 − v2u2/c2.

б) Увеличится в

− q1

− v2/c2) раз.

1 +

−

u2/c2

= (v + u)/(1 + vu/c2).

14.4.5. τ =

4v2/c2

−

/c2

14.4.6. x =

mec2

−

mec2R

14.4.7. p0 = p. В 1/

− β2 раз.

14.4.8. v = c/s

1 +

e2z

14.4.9 . В 1/(1 − β2) раз. В s

раз.

sin2 α + (1cosβ2)2

2 α

14.4.10 . v =

−

1 + (mcω/2qE)2

раз. l0 = l 1 − β2.

−

14.4.11. а) В

βc

системе расстояния сокращаются в

1/ 1 β

б) Вp

движущейся со скоростью

первом случае

β2 − me! c2 = eEl,

β2 − 1! .

m =

l = eE

−

Во втором случае первоначально неподвижный электрон, набирая скорость βc, проходит рас-

стояние

l1 =

1 − β2 − 1! ,

mec2

двигаясь в направлении поля. За это время

поле перемещается на расстояние

l = cβτ,

где

βc.

τ = mecβ/(eEp1 − β

— время набора me

Поэтому

электроном скорости

l0 = l1 + l = (1 − p1 − β2 ) = lp1 − β2. eE

367

14.4.12 . E =

ev2

/c2

11 v2/c2

− 1 − u2/c2

m c2

+ uv/c2

14.4.13. τ =

−

p e

−

lEl/m c2)m l/eE.

E1 q

14.4.14. l =

= 1 км. τ =

mπ0 E(2 + E/mπ0 c2) = 0,34 мс.

14.4.15. В 2N2 = 1 = 2 · 106 раз больше mec2. В k = 2N − (1/N) ' 2000 раз больше

энергии электронов при встречных столкновениях.

14.4.16. tg α

mec2 + E

2mpc2 + E

tg α

при α

1, α

mec2 + E

2mpc2 + E

2mec2 + E ·

e ' 2mec2 + E

0,075 рад.

mpc2 + E

v2 cos2 α

mec2

14.4.17. v1 =

+ s

−

sin2 α

sin4 α

14.4.18. E =

− mpc2 = 4,3 МэВ. Ee = 80,5 МэВ.

(mpc2)2 + (eBR)2

sin α

) = 0,04 Тл, N ' 4 %.

14.4.19. B =

E(E − mec

qE2 − (mpc2)2

14.4.20. Rp =

км; Re =

км.

14.4.21. ω =

mec(1 + eU/mec2)

14.4.22. B = mec2/(eR√

= 0,28 Тл.

N2 − 1

14.4.23. T = πmec2/(eB

1 − β2

+ ββ

)

14.4.24. T =

πmec (1 p

eB(1 + β12) 1 − β2

c2 = 8,5 МэВ.

)

+ (eBh)2

14.4.25. = (mec

14.4.26. lE=

mevc

−

eB 1 − v2/c2

c2.

14.4.27.

c2)2

+ (eBR)2

[1 + (h/2πR)2]

(p e

−

p E

14.4.28. vдр

= c

B = √

14.4.29 . Если

постоянное

однородное магнитное

поле

с индукцией

1 − k2

k = E/B, в котором вращается электрон, будет двигаться со скоростью дрейфа kc, то получим скрещенное поле с магнитной индукцией B и электрической напряженностью E, в котором электрон совершает дрейфовое движение. Максимальная и минимальная скорости электрона определяются формулами

vmax = c	β1 + k	,	vmin = βc = c	β1 − k	,

	1 + β1k		1 − β1k

где β1c — скорость электрона в первоначальном состоянии. Из приведенных уравнений находим vmax = c[2k + (1 + k2)β]/(1 + k2 + 2kβ).

14.4.30 . ev = p(mec2)2 + (hH)2 − mec2.

14.4.31 . Скорость электрона βc в момент включения поля перпендикулярна E и является суммой вращательной скорости β1c и скорости дрейфа kc. k = E/B (см. решение задачи 14.4.12).

Поэтому β1 = β2(1 − k2) + k2, а vmax = c(β1 + k)/(1 + β1k).

§ 14.5. Закон сохранения массы и импульса

14.5.1. m = M/2. 14.5.2.m = W/c2 = 4,4 т/с.

14.5.3. m1 = m/2, m0 = m 1 − β2/2, E = mc2(1 − 1 − β2 )/2.

368

14.5.4. m = (k + 1)mp, v = c 1 − 1/k2.

14.5.5.E1 = c2(mp − me) = 938 МэВ, E2 = c2(mπ0 − me)/2 = 67 МэВ.

14.5.6.M1 = M + m, p = mc.

14.5.7 . v = cm/(M − m).

14.5.8. v = cmt/˙ (M − mt˙ ), m0 = mt˙ (M − 2mt˙ ), t < M/(2m).

14.5.9.M = m1 + m2, v = (m1v1)2 + (m2v2)2 + 2m1m2v1v2 cos α /(m1 + m2).

14.5.10.me = 0,51 МэВ, mp = 939 МэВ, mπ0 = 135 МэВ, mψ = 2820 МэВ.

14.5.11.EK = (E − mπ0 c2/2)/E = 152 МэВ.

14.5.12 . EK < 2mec2 mπ0 − 1 2. 4me

14.5.13. EK = Mc2 − (Mc2)2 − Ee(Ee + 2mec2) − Eν2.

14.5.15.v = c · cos α2 .

14.5.16.E1 = c2mπ0 (mπ0 + 4mp)/(2mp), E2 = c2mψ(mψ + 4mp)/(2mpE3) = 6mpc2.

14.5.17.E = 2c2(m2p − m2e)/me, N = 2(mp/me − 1) = 3,7 · 103.

14.5.18. E = mpc2r

1 + (1 − me2/mp2) ctg 2

2 .

14.5.19. а. v =

c, m = m.

б. u >

(mµ + me)2

14.5.20.

max =

−

)

mπ2 0

1 +

(mπ0 c2/

2m2

14.5.21. Диапазон энергий нейтрино от нуля до

mµ −

mµ

энергий электрона от нуля до (mµ − me)2c2/(2mµ).

2 +

(mec )

14.5.22.

max =

+ Ee2 + (mec2)2

mE − pE

,− me0

14.5.23. mγ =

= me + m − mγ.

1 + me (1 − cos α)

= 4,4 ГэВ; Emin = 0.

c2, диапазон кинетических

369

учебное издание

ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ

Воробьев Иван Игнатьевич Зубков Павел Иванович Кутузова Галина Александровна Савченко Оливер Яковлевич Трубач¨ев Анатолий Михайлович Харитонов Владимир Григорьевич

Подписано в печать 25.11.2007 г.	Формат 70 × 100/16
Заказ №	Усл. печ. л. 30,4
	Уч.-изд. л. 32,4
	Тираж 100 экз.

Редакционно-издательский центр НГУ 630090 Новосибирск, ул. Пирогова, 2

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 3737

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.06.2015104.45 Кб161reshenie_zadach_popgen.doc
#
28.03.20161.21 Mб213RT_Maket.doc
#
30.07.2019585.73 Кб9run_technique.doc
#
25.09.2019273.83 Кб16Rynok_monopolisticheskoy_konkurentsii.docx
#
28.03.201618.42 Mб15Samokhotskaya_davayte_izuchat_fr.pdf
#
28.03.20165.26 Mб2973Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike.pdf
#
06.06.20151.23 Mб37seminar2.pdf
#
06.11.201896.77 Кб12Seminary_MEO_301-302.doc
#
28.03.201636.62 Кб59Seminar_Yazykoz (1).docx
#
16.04.2019524.8 Кб19sexy selickaya.doc
#
28.03.20164.19 Mб195SFML Game Development.pdf