Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike

Глава 12

Электромагнитные волны

§12.1. Свойства, излучение и отражение электромагнитных волн

♦12.1.1. На рисунке изображен «моментальный снимок» электромагнитной волны. Пользуясь правилом буравчика, определите, в каком направлении распространяется эта волна.

12.1.2.Как изменится направление распространения электромагнитной волны, если в волне изменится на противоположное направление: а) индукция магнитного поля; б) напряженность электрического поля?

♦12.1.3. На рисунке изображено электрическое поле плоской синусоидальной волны в нулевой момент времени. Направление распространения волны указано стрелкой. Как зависит напряженность электрического поля от координаты z и времени t?

12.1.4.Две синусоидальные волны с одной поляризацией

накладываются друг на друга. Чему равна амплитуда напряженности электрического поля результирующей волны? Чему равна фаза этой волны?

12.1.5. Две плоские синусоидальные волны, амплитуда которых E0, имеют частоту соответственно ω и ω + Δ, ω, и распространяются в одном направлении, накладываясь друг на друга. Чему равна максимальная амплитуда результирующей волны? Определите распределение средней плотности энергии результирующей волны вдоль направления распространения волн.

♦ 12.1.6. Электромагнитная волна занимает пространство между двумя параллельными бесконечными плоскостями AB и A0B0. Изображенный участок электромагнитного поля движется со скоростью света c в направлении, перпендикулярном плоскости AB. Напряженность электрического поля волны E. Применяя закон электромагнитной индукции к прямоугольному контуру baa0b0, определите индукцию магнитного поля волны в СИ и в СГС.

12.1.7 . Решите задачу 12.1.6 в случае, если волна распространяется в среде

√

с диэлектрической проницаемостью ε. Скорость волны в среде c/ ε.

12.1.8 . Используя закон электромагнитной индукции и связь переменного электрического поля с магнитным полем (см. задачу 11.6.1), докажите, что скорость распространения волны в среде с диэлектрической проницаемостью ε и магнитной проницаемостью µ равна c/√µε.

12.1.9 . Как связана напряженность электрического поля волны E с магнитной индукцией B в среде с диэлектрической проницаемостью ε и магнитной проницаемостью µ?

♦ 12.1.10. На рисунке изображены электрические поля бегущих навстречу друг другу плоских электромагнитных волн в нулевой момент времени. Нарисуйте графики распределения напряженности E и индукции B полей этих волн в момент времени a/2c, a/c, 3a/c. Чему равно отношение энергии электрического поля и энергии магнитного поля к общей энергии в эти моменты времени?

242

♦ 12.1.11. а. Однородное электрическое поле напряженности E занимает пространство между бесконечными плоскостями AB и A0B0, расстояние между которыми d. Это поле образовалось при наложении двух плоских электромагнитных волн. Определите эти волны, если напряженность электрического поля E параллельна плоскостям.

б. На какие электромагнитные волны можно разложить магнитное поле индукции B, сосредоточенное между плоскостями AB и A0B0? Индукция магнитного поля B параллельна плоскостям.

12.1.12. а. Вокруг движущегося заряженного тела возникает магнитное поле, а вокруг неподвижного — нет. Поэтому при мгновенной остановке двигавшегося тела магнитное поле станет «лишним». Оно превращается в электромагнитные волны. Таким образом, процесс излучения электромагнитных волн можно рассматривать как процесс появления «лишних» полей при изменении скорости заряженного тела. Особенно просто этот процесс описывается для случая плоского конденсатора. Если заряженный конденсатор движется со скоростью v параллельно своим пластинам, то индукция магнитного поля B в нем связана с напряженностью электрического поля E соотношением B = (v/c2)E. При мгновенной остановке конденсатора это магнитное поле можно считать суммой двух электромагнитных волн с индукцией B/2, движущихся в противоположных направлениях перпендикулярно пластинам.

а. Определите напряженность электрического поля в каждой волне.

б . Какова энергия волны, испущенной зарядом Q, равномерно распределенным по движущейся сфере радиуса r, при ее мгновенной остановке? Скорость сферы до остановки v.

в. Напряжение, приложенное к двум проводам, разделенным воздушным промежутком, повышали до тех пор, пока между ними не проскочила искра, в результате чего в проводах возникли колебания тока, приведшие к появлению электромагнитных волн. Оцените, во сколько раз должна увеличиться мощность электромагнитных волн, если напряжение пробоя увеличить в два раза.

♦12.1.13. Заряженный плоский конденсатор раскачивают, перемещая его параллельно пластинам. С увеличением частоты колебаний ν средняя интенсивность I излучаемых конденсатором электромагнитных волн сначала увеличивается, потом уменьшается до нуля, затем опять увеличивается и т. д. Чем объясняется такое чередование интенсивности излучения? При каких частотах конденсатор не излучает энергию? Оцените частоту, при которой наблюдаются 1-й и k-й максимумы излучения.

♦12.1.14 . Заряженная пластина, напряженность электрического поля которой E, двигаясь параллельно самой себе со скоростью v, создает магнитное поле

индукции B = (v/c2)E. Поэтому при уменьшении скорости пластины на величину dv в окружающем ее пространстве возникает «лишнее» магнитное «микрополе» индукции dB = ±(dv/c2)E. Суммируясь, эти «микрополя» дают электромагнитную волну, напряженность электрического поля которой зависит лишь от скорости пластины:

Eизл(t, x) = cBизл(t, x) = (cvt−x/c/c2)E = (vt−x/c/c)E.

Индекс t − x/c означает, что при вычислении напряженности поля на расстоянии x от пластины значение ее скорости нужно брать в момент времени t − x/c. Например, напряженность электрического поля излучения пластины,

243

скорость которой равна v0 sin ωt, на расстоянии x от пластины в момент времени t равна (v0/c) sin [ω(t − x/c)]E, так как скорость пластины в момент времени t − x/c была равна v0 sin ω(t − x/c). Докажите справедливость формулы

Eизл(t, x) = (vt−x/c/c)E для случая, когда скорость v меняется так, как изображено на рисунках.

12.1.15 . Используя формулу Eизл = (vt−x/c/c)E, приведенную в задаче 12.1.14, решите следующие задачи.

а. Определите напряженность электрического поля в плоской волне, излучаемой плоским конденсатором при его движении с постоянным ускорением a, направленным параллельно его пластинам. Расстояние между пластинами d, напряженность электрического поля внутри конденсатора E.

б. Линейная плотность тока на пластине меняется синусоидально с амплитудой i0. Определите в СИ и в СГС амплитуду напряженности электрического поля в волне, излучаемой этой пластиной.

в. Определите коэффициент отражения электромагнитной волны, падающей на тонкую проводящую пленку перпендикулярно ее поверхности. Толщина пленки x, число электронов проводимости в единице объема ne, частота волны ν.

♦12.1.16. При раздвижении двух параллельных полупрозрачных зеркальных пластин интенсивность электромагнитного излучения, прошедшего сквозь эти пластины, периодически меняется в зависимости от расстояния между ними. Объясните это явление и определите, пользуясь рисунком, длину волны падающего излучения. Излучение распространяется перпендикулярно пластинам.

♦12.1.17. Амплитуда напряженности электрического поля электромагнитной волны, отраженной от проводящей пленки, тем больше, чем толще пленка. На рисунке приведена типичная зависимость амплитуды отраженной волны от тол-

щины пленки. В начальный момент (в области x < x1) амплитуда линейно зависит от толщины пленки x, затем линейная зависимость нарушается, и в области

x > x2 амплитуда отраженной волны мало отличается от амплитуды падающей волны E0. Объясните эту зависимость.

244

12.1.18 . Оцените глубину проникновения в проводник перпендикулярно падающей на его поверхность электромагнитной волны. Частота волны ν = 1015 Гц, число электронов проводимости в единице объема ne = 1022 см−3.

♦ 12.1.19. При достаточно большом числе электронов проводимости в единице объема металла составляющая напряженность электрического поля волны, параллельная поверхности металла, ослабляется практически до нуля. Поэтому решение задачи о взаимодействии электромагнитной волны с металлом сводится к отысканию вблизи его поверхности двух таких бегущих волн, наложение которых дает нулевую составляющую напряженности электрического поля вдоль поверхности. Такими электромагнитными волнами являются при перпендикулярном падении на металлическую поверхность две волны: одна реально движется в пространстве вне металла, а другая, фиктивная, «перевернутая» волна движется навстречу первой внутри металла (на рисунке эта область вместе с фиктивной волной находится справа от плоскости AB). Фиктивная волна становится реальной, как только она выходит за границу AB, где она накладывается на первую волну. Наложение этих волн слева от плоскости AB дает нулевую напряженность электрического поля вдоль AB и, следовательно, решает поставленную задачу.

Используя описанный прием, найдите напряженность электрического и индукцию магнитного поля вблизи металлической плоскости в момент, когда вершина падающей волны достигает плоскости AB.

♦ 12.1.20. Слой фотоэмульсии нанесен на зеркальную металлическую подложку. При нормальном падении света на расстоянии 10−5 мм от металлической поверхности происходит почернение эмульсии. Объясните этот эффект. Определите длину волны света, падающего на металлическую поверхность. На каком расстоянии от поверхности подложки будет находиться второй слой почерневшей эмульсии?

12.1.21.На металлическую стенку падает перпендикулярно ее поверхности плоская электромагнитная волна. Напряженность электрического поля волны E. Определите в СИ и в СГС линейную плотность тока в стенке и давление волны на нее.

12.1.22.Амплитуда напряженности электрического поля плоской синусои-

дальной волны равна E0. Какое среднее давление оказывает эта волна на плоскую металлическую стенку при нормальном падении на нее?

12.1.23.Чему равно давление солнечного излучения на зеркальную поверх-

ность вблизи Земли при нормальном падении на зеркало? при падении излучения на зеркало под углом 30◦? Плотность потока энергии солнечного излучения рав-

на 600 Вт/м2.

12.1.24 . Оцените максимальный размер алюминиевых пылинок, которые в космическом пространстве под давлением солнечного излучения удалялись бы от Солнца.

♦12.1.25. Пользуясь методом, изложенным в задаче 12.1.19, докажите, что угол падения электромагнитной волны равен углу отражения. Рассмотрите случаи: а) вектор E электромагнитной волны, падающей на металл, параллелен металлической поверхности; б) вектор B электромагнитной волны параллелен металлической поверхности.

12.1.26.Среднее давление плоской синусоидальной волны, падающей под углом α на металлическую поверхность, равно P . Определите амплитуду напряженности электрического поля этой волны.

♦12.1.27 . Метод фиктивных волн (см. задачу 12.1.19) можно использовать и для решения задачи об отражении электромагнитной волны от движущейся со скоростью v металлической поверхности. Для решения этой задачи нужно подобрать фиктивную волну таким образом, чтобы она, войдя в область вне металла и став реальной, при наложении на падающую волну давала бы в СГС напряженность электрического поля, в v/c раз меньшую индукции магнитного. Объясните это условие.

12.1.28 . На движущуюся со скоростью v металлическую стенку падает перпендикулярно ее поверхности плоская электромагнитная волна. Напряженность электрического поля волны E. Какое давление в СИ и в СГС оказывает волна на стенку?

12.1.29. Частота синусоидальной волны, падающей на движущуюся металлическую стенку перпендикулярно ее поверхности, при отражении меняется на . Первоначальная частота волны ν0. Определите скорость стенки.

12.1.30.Амплитуда волны при отражении ее от движущейся навстречу металлической стенки увеличилась в k раз. Определите скорость стенки.

12.1.31.Почему при переходе электромагнитной волны через плоскую границу вакуум — непроводящая среда: а) перпендикулярная границе составляющая напряженности электрического поля уменьшается в ε раз, а параллельная не меняется; б) перпендикулярная границе составляющая индукции магнитного поля не меняется, а параллельная увеличивается в µ раз? ε — диэлектрическая, µ — магнитная проницаемость среды.

12.1.32.Как меняется фаза волны, отраженной от плоской границы раздела двух диэлектриков с диэлектрической проницаемостью ε1 и ε2 в случае ε1 < ε2?

вслучае ε1 > ε2? Волна падает перпендикулярно плоскости раздела.

12.1.33.Покажите с помощью закона сохранения энергии, что в сферической волне, излучаемой точечным источником, амплитуда напряженности электрического поля и индукции магнитного поля волны убывает обратно пропорционально расстоянию от источника, если энергия волны не поглощается средой.

246

♦12.1.34. На рисунке изображено распределение электрического поля двух бегущих сферических волн в нулевой момент времени. Изобразите распределение

электрического поля в момент времени r0/c. Каким будет распределение электрического поля при t → ∞? Определите энергию этих полей.

§12.2. Распространение электромагнитных волн

♦12.2.1. Согласно принципу Гюйгенса — Френеля каждый участок фронта волны является источником вторичной сферической волны. Огибающая этих волн дает новый фронт волны. Покажите, используя этот принцип, что: а) плоский фронт электромагнитной волны перемещается со скоростью света c в направлении, перпендикулярном плоскости фронта; б) радиус сферического фронта за время τ возрастает на τc.

12.2.2. Как изменяются длина и скорость волны при переходе ее в среду с показателем преломления n? Меняется ли частота волны?

♦12.2.3. С помощью принципа Гюйгенса — Френеля докажите, что при падении плоской волны на границу раздела двух сред: а) угол падения равен углу

отражения (α1 = α3); б) отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению скорости волны в первой среде к скорости волны во второй среде (sin α1/ sin α2 = v1/v2).

♦ 12.2.4. Найдите углы, определяющие направления минимумов излучения, если плоская волна падает перпендикулярно на щель ширины b. Длина волны

λ< b.

12.2.5.Ширина штрихов дифракционной решетки много меньше длины волны. Во сколько раз увеличится интенсивность излучения в направлении максимума излучения, если число штрихов дифракционной решетки увеличить в k раз?

12.2.6.На стеклянную дифракционную решетку, имеющую 200 линий на 1 мм и покрытую тонким слоем золота, падает очень узкий пучок Kα-излучения

меди (λ = 1,541 · 10−10 м) под углом 200 к ее поверхности. Определите разность углов отражения между пучками первого и нулевого порядка.

247

♦ 12.2.7. На отверстие радиуса r падает перпендикулярно его плоскости плоская синусоидальная волна. Длина волны λ r. Интенсивность волны по оси отверстия периодически меняется. На каком расстоянии от его центра находится последний максимум? Определите расстояние между максимумами интенсивности на расстоянии z0 от центра отверстия, если r2/λ z0 r.

♦ 12.2.8. Если круглое отверстие (например, ирисовая диафрагма) увеличивается таким образом, что радиус его, равнявшийся радиусу одной зоны Френеля, достигает радиуса двух зон, то в точке A интенсивность излучения значительно уменьшится, падая до нуля, хотя поток излучения через отверстие возрастает почти в два раза. Каким образом согласуются эти два факта?

12.2.9 . На экран, имеющий круглое отверстие, падает параллельный пучок света. Радиус отверстия совпадает с радиусом центральной зоны Френеля для точки A (см. рисунок к предыдущей задаче). Используя графический метод, определите, во сколько раз интенсивность света от центральной зоны больше интенсивности света, приходившего бы в эту же точку, если бы не было экрана.

♦12.2.10. Изобразите на графике зависимость интенсивности света в точке A от радиуса отверстия, перекрывающего параллельный поток излучения с длиной волны λ. Расстояние от точки A до центра отверстия b. Интенсивность излучения в потоке I.

♦12.2.11 . а. На рисунке изображена плоская стеклянная пластинка с зачерненными кольцевыми участками. Этой пластинкой перекрыли параллельный пучок монохроматиче-

248

ского света с длиной волны λ. Оказалось, что зачерненные кольца пластинки совпали с четными зонами Френеля для осевой точки A. Как изменилась интенсивность света в этой точке?

б. Параллельный пучок монохроматического света перекрыли пластинкой, в которой зачерненные кольцевые участки заменены слоями диэлектрика, изменяющего фазу проходящей волны на π. Как изменилась интенсивность света в точке A в этом случае?

♦ 12.2.12 . Рассчитайте амплитуду a элементарной вторичной волны Гюйгенса — Френеля. (Амплитуда a пропорциональна амплитуде A первичной волны, дошедшей от элемента S, площади этого элемента и обратно пропорциональна r, т. е. a = cA S/r. Для определения c сравните амплитуду плоской волны в какой-либо точке и амплитуду, рассчитанную по методу Френеля, в этой же точке, когда в качестве вспомогательной поверхности взят фронт плоской волны.)

♦ 12.2.13. а. Оцените размер светового пятна на Луне от лазерного луча. Лазер находится на Земле, радиус его луча 10 см, длина волны 10−5 см. (Граница пятна оценивается из условия, что в области пятна лучи, идущие от отдельных участков волны, не гасят друг друга.)

б. Оцените размеры антенны радара, излучающего трехсантиметровые электромагнитные волны внутри угла 0,01 рад.

12.2.14.Оцените минимальный размер предмета на поверхности Земли, который можно сфотографировать со спутника, летящего на высоте 200 км, а также минимальный размер предметов на Луне и на Марсе, которые можно сфотографировать с околоземной орбиты. Разрешающая способность фотопленки не ограничивает четкости изображения.

12.2.15.а. Раскаленная нить накала электрической лампы имеет красный оттенок, если смотреть на нее через матовую поверхность плафона. Объясните это явление.

б. Почему красный свет меньше рассеивается туманом? в. Почему дневное небо голубое?

249

Глава 13

Геометрическая оптика. Фотометрия. Квантовая природа света

§ 13.1. Прямолинейное распространение и отражение света

13.1.1.Определите область полной тени от круглого карандаша, если источником света служит цилиндрическая газосветная лампа. Карандаш и лампа расположены параллельно друг другу.

13.1.2.Матовая электрическая лампочка в виде шара диаметром 6 см освещает глобус диаметра 26 см. Определите диаметр полной тени и полутени глобуса на стене. Расстояние от глобуса до лампочки 1 м, до стены 2 м.

13.1.3.«Комната, в которую вступил Иван Иванович, была совершенно темна, потому что ставни были закрыты, и солнечный луч, проходя в дыру, сделанную в ставне . . . ударяясь в противоположную стену, рисовал на ней пестрый ландшафт из . . . крыш, дерев и развешенного платья, все только в обращенном виде» (Н. В. Гоголь. Повесть о том, как поссорился Иван Иванович с Иваном Никифоровичем). Объясните это явление.

13.1.4.В шторах, затемняющих комнату, образовалось маленькое отверстие.

Вотверстие заглянуло солнце, и по стене пополз круглый «зайчик». Почему форма зайчика не зависит от формы отверстия (треугольное, квадратное)? В каком случае появится зависимость от формы отверстия? (Тот же эффект можно наблюдать при помощи маленького осколка зеркала.)

13.1.5.Постройте изображение предмета в плоском зеркале. Изображение оказывается перевернутым справа налево по отношению к предмету. Почему же зеркало не «переворачивает» изображение сверху вниз?

13.1.6.Высота человека h. Какой минимальной высоты нужно взять ему зеркало, чтобы увидеть свое изображение в полный рост?

13.1.7.Забывшая геометрическую оптику девушка рассматривает свое изображение в маленькое зеркальце. Чтобы разглядеть одновременно б´ольшую часть изображения, она то подносит зеркальце к самому лицу, то удаляет его. Объясните девушке, как меняется размер видимой части лица в зависимости от расстояния до зеркальца.

13.1.8.Постройте изображение предмета в двугранном зеркале с углом при вершине 90◦. Чем отличается это изображение от изображения в плоском зеркале? Зеркало расположено в углу комнаты. Из каких точек комнаты можно видеть свое изображение?

250