Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike

13.1.9.Три прямоугольных зеркала одинакового размера сложены в трехгранную призму с отражающей внутренней поверхностью. Постройте изображение предмета, расположенного внутри призмы.

♦13.1.10 . Полуцилиндрическое зеркало поместили в широкий пучок света, идущий параллельно плоскости симметрии зеркала. Найдите максимальный угол между лучами в отраженном от зеркала пучке (угол расхождения).

13.1.11.Если между точечным источником и экраном поместить трубу с гладкой внутренней поверхностью, то на экране возникнет система концентрических колец. Объясните причину их возникновения.

♦13.1.12. Со стороны основания пустотелого конуса высоты h с малым углом при вершине отрезали небольшое кольцо и поместили в параллельный пучок света, широкой частью в сторону пучка. На каком расстоянии от кольца сфокусируются отразившиеся от него лучи света?

13.1.13.Определите фокусное расстояние сферического зеркала радиуса

кривизны R.

13.1.14.Покажите, что если расстояния от предмета и изображения до фо-

куса вогнутого зеркала равны l1 и l2, то l1l2 = f2, где f — фокусное расстояние зеркала.

13.1.15.Предмет расположен на главной оптической оси вогнутого зеркала на расстоянии 60 см от полюса зеркала. Определите фокусное расстояние зеркала, если изображение предмета действительно и увеличено в полтора раза.

♦13.1.16. На вогнутое зеркало падает сходящийся конический пучок световых лучей. На каком расстоянии от фокуса пересекутся отраженные лучи, если радиус зеркала 80 см, а продолжение лучей пересекает главную оптическую ось на расстоянии 40 см от зеркала.

13.1.17.Действительное изображение предмета в вогнутом зеркале превышает по своим размерам предмет в три раза. После того как предмет отодвинули от зеркала на 80 см, его изображение стало в два раза меньше предмета. Найдите фокусное расстояние зеркала.

251

♦13.1.18. Постройте изображение прямоугольника с длинной стороной R/2, лежащей на оси сферического зеркала с радиусом кривизны R. Передняя сторона прямоугольника находится на расстоянии R/2 от полюса зеркала.

♦13.1.19. Постройте изображение пучка стрелок, выходящих из центра кри-

визны сферического зеркала. Концы стрелок лежат на полуокружности. 13.1.20 . Какой формы должна быть отражающая поверхность, чтобы она

собирала все параллельные лучи в одной точке независимо от ширины пучка?

§13.2. Преломление света. Формула линзы

13.2.1.Рыба видит Солнце под углом 60◦ к поверхности воды. Какова настоящая высота Солнца над горизонтом? Показатель преломления воды 1,33.

13.2.2.а. Кажущаяся глубина водоема, если смотреть вертикально вниз, 3 м. Какова его истинная глубина?

б. Самолет пролетает над погрузившейся на небольшую глубину подводной лодкой на высоте 3 км. Какой покажется высота самолета при наблюдении с лодки?

13.2.3.Улитка сидит на дальней стенке прямоугольного аквариума ширины l. Во сколько раз изменится видимый угловой размер улитки, если из аквариума слить воду? Наблюдатель расположился на расстоянии L от аквариума.

13.2.4.Относительный показатель преломления на границе воздух — стекло равен 1,5, а на границе воздух — вода 1,33. Чему он равен на границе вода — стекло?

13.2.5.а. Определите угол полного внутреннего отражения для алмаза (nа = 2,4), для воды (nв = 1,33) и для алмаза, погруженного в воду.

б. Почему небольшие пузырьки воздуха в воде серебристые?

♦13.2.6. Можно ли увидеть что-нибудь через две смежные грани стеклянного куба? Показатель преломления стекла 1,5.

♦13.2.7. Каким должен быть внешний радиус изгиба световода, сделанного из прозрачного вещества с показателем преломления n, чтобы при диаметре световода, равном l, свет, вошедший в световод перпендикулярно плоскости его поперечного сечения, распространялся, не выходя через боковую поверхность наружу?

♦13.2.8. Из плексигласа изготовлен конус с углом при вершине 2α. На основание конуса падает параллельный пучок света. Опишите поведение света. Показатель преломления плексигласа 1,5.

♦13.2.9. На горизонтальной плоскости зачернен круг радиуса R. В центре круга

вертикально стоит, опираясь вершиной на его центр, стеклянный конус. Показатель преломления стекла n > 1,5. Угол раствора конуса 2α = 60◦, радиус

252

основания R. На круг смотрят с большого расстояния вдоль оси конуса. Каков его видимый радиус?

13.2.10 . Если смотреть на капиллярную трубку сбоку, то видимый внутренний радиус будет равен r. Каков истинный внутренний радиус? Показатель преломления стекла n.

♦ 13.2.11. При каком минимальном угле падения луча света на стопку плоских прозрачных пластин, показатель преломления каждой из которых в k раз меньше, чем у вышележащей, луч не пройдет сквозь стопку? Показатель преломления верхней пластины n, число пластин N.

13.2.12.Показатель преломления атмосферы планеты уменьшается с высо-

той h над ее поверхностью по закону n = n0 −αh при h n/α. Радиус планеты R. Найдите, на какой высоте над поверхностью планеты луч, испущенный горизонтально, будет обходить планету, оставаясь все время на этой высоте.

13.2.13.Как выглядит окружающий мир с точки зрения рыбы в водоеме?

♦13.2.14. а. Через клин с малым углом α при вершине проходит луч света, который перпендикулярен передней грани клина. Докажите, что угол отклонения луча от первоначального направления приблизительно равен (n−1)α. Показатель преломления клина n.

♦б. Через клин с малым углом α при вершине проходит луч света, который падает под малым углом γ к нормали к передней поверхности клина. Докажите, что угол отклонения луча света от первоначального направления приблизительно равен (n − 1)α. Показатель преломления клина n.

в. Выведите формулу для фокусного расстояния тонкой линзы. Радиусы кривизны поверхности линзы R1 и R2, показатель преломления материала линзы n.

13.2.15. а. Найдите фокусное расстояние двояковыпуклой линзы с радиусом кривизны 30 см, изготовленной из стекла с показателем преломления 1,6. Чему равна оптическая сила линзы?

253

б. Одна поверхность линзы, изготовленной из стекла с показателем преломления 1,6, плоская, другая — сферическая. Оптическая сила линзы 1 дптр. Определите радиус кривизны сферической поверхности линзы.

13.2.16. Из стекла с показателем преломления 1,61 изготовили двояковыпуклую линзу с одинаковым радиусом кривизны обеих поверхностей. Оптическая сила линзы в воде 1,6 дптр. Найдите радиус кривизны поверхностей линзы.

13.2.17 . Линзу с фокусным расстоянием f и радиусами кривизны r встроили в стенку аквариума. Показатель преломления воды n. Определите, на каком расстоянии от линзы сфокусируется параллельный пучок света: а) входящий в аквариум; б) выходящий из аквариума.

13.2.18.Определите фокусное расстояние участка стеклянной тонкостенной сферы радиуса R и толщины δ. Показатель преломления стекла n.

13.2.19.Плоскопараллельная пластинка составлена из двух стеклянных кли-

ньев с малым углом α. Показатель преломления клиньев n1 и n2. На пластинку нормально к поверхности падает параллельный пучок света. За пластинкой расположена собирающая линза с фокусным расстоянием f. В фокальной плоскости линзы находится экран. На сколько сместится светлая точка на экране, если убрать пластинку?

13.2.20 . На плоскую поверхность стеклянного полуцилиндра падают под углом 45◦ световые лучи, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра. Из какой части боковой поверхности полуцилиндра будут выходить лучи света? Показатель преломления стекла n.

13.2.21 . Тонкий пучок света, проходящий через центр стеклянного шара радиуса R, фокусируется на расстоянии 2R от его центра. Определите показатель преломления стекла.

13.2.22. На тонкостенную сферическую колбу, помещенную в жидкость, падает параллельный тонкий пучок света так, что ось пучка проходит через центр колбы. На противоположной стороне колбы пучок имеет диаметр, вдвое больший диаметра пучка света, падающего на колбу. Каков показатель преломления жидкости, в которую погружена колба?

♦13.2.23. Тонкий пучок света, пройдя через полушарие из стекла с показателем преломления n, собира-

ется на расстоянии x от выпуклой поверхности. На каком расстоянии от плоской поверхности полушария соберутся лучи, если пучок пустить с обратной стороны?

§ 13.3. Оптические системы

♦13.3.1. На рисунках показаны в определенном масштабе предметы и фокусы линз. Постройте изображения этих предметов. Чему равно увеличение в каждом случае?

♦13.3.2. Постройте изображения стрелок.

13.3.3.Источник света находится на расстоянии 90 см от экрана. Тонкая собирающая линза, расположенная между экраном и источником, дает четкое изображение источника на экране в двух положениях. Определите фокусное расстояние линзы, если расстояние между положениями линзы, дающими четкое изображение, 30 см.

13.3.4.На каком расстоянии от линзы расположен предмет, если расстояние между предметом и его действительным изображением минимально? Фокусное расстояние линзы f.

♦13.3.5. На оптической оси AB собирающей линзы расположено плоское зеркальце, вращающееся с угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через точ-

254

ку A и перпендикулярной плоскости рисунка. На зеркальце падает параллельный пучок лучей, который после отражения фокусируется на экране. Фокусное расстояние линpы f. Найдите скорость светового пятна на экране в момент, когда оно пересекает оптическую ось. Плоскость экрана перпендикулярна оптической оси.

♦ 13.3.6. Предмет в виде отрезка длины l расположен вдоль оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием f, дающей действительное изображение всех его точек. Середина отрезка расположена на расстоянии a от линзы. Определите продольное увеличение предмета.

13.3.7.Изображение предмета на матовом стекле фотоаппарата при фотографировании с расстояния 15 м получилось высоты 30 мм, а с расстояния 9 м — высоты 51 мм. Найдите фокусное расстояние объектива.

13.3.8.В течение какого времени может быть открыт затвор фотоаппарата при съемке прыжка в воду с вышки? Фотографируется момент погружения в воду. Высота вышки 5 м, фотограф находится на расстоянии 10 м от прыгуна. Объектив аппарата имеет фокусное расстояние 10 см, на негативе допустимо размытие изображения 0,5 мм.

255

13.3.9.Объект съемки движется на кинокамеру со скоростью v. С какой скоростью нужно менять фокусное расстояние объектива и глубину кинокамеры, чтобы размер изображения оставался неизменным, если увеличение, даваемое кинокамерой, равно k?

13.3.10.При фотографировании Луны получено размытое изображение в

виде диска радиуса r1. Резкое изображение Луны имело бы радиус r2. Определите, на какое расстояние нужно сместить фотопластинку, чтобы изображение на ней получилось резким. Фокусное расстояние линзы f, диаметр D, при этом

r2 > D/2 > r1. Областью изображения считать область попадания света на фотопластинку.

13.3.11 . Изображение предметов, удаленных от фотоаппарата на расстояние от 2 до 4 м, получилось достаточно четким при диафрагме 4. Определите границу резкости (глубину резкости) при диафрагме 2 и 8.

13.3.12.Какие очки вы пропишите близорукому человеку, который может читать текст, расположенный от глаз не далее 20 см, а какие дальнозоркому, который может читать текст, расположенный от глаз не ближе 50 см?

13.3.13.Близоруким или дальнозорким является человек, нормально видя-

щий в воде?

13.3.14.Известно, что если в листочке темной бумаги аккуратно проколоть маленькое отверстие, то через это отверстие можно рассматривать мелкие объекты с увеличением в несколько раз. Объясните это явление.

13.3.15.На ободке лупы имеется надпись «×10», т. е. лупа увеличивает угловой размер рассматриваемого объекта в десять раз. Определите ее фокусное

расстояние.

13.3.16 . Острие конуса с углом 2α рассматривается через линзу с фокусным расстоянием f, расположенную на расстоянии a от вершины конуса (a < f). Каким виден угол конуса через линзу? Ось линзы проходит через ось симметрии конуса.

13.3.17. Определите максимальное увеличение, с которым видна рыбка, плавающая в сферическом аквариуме.

♦ 13.3.18. а. На фокусном расстоянии f от линзы расположено плоское зеркало. Найдите, на каком расстоянии от линзы будет находиться изображение предмета, расположенного на расстоянии a от линзы.

б. Плоскую сторону плоско-выпуклой линзы,

фокусное расстояние которой f, посеребрили. Найдите фокусное расстояние получившегося зеркала.

13.3.19.Фокусное расстояние двух тонких линз равно f1 и f2. Чему равно фокусное расстояние системы из этих двух линз, собранных вместе? Чему равна оптическая сила этой системы?

13.3.20.Система состоит из двух одинаковых линз с общей оптической осью. Расстояние между линзами l, фокусное расстояние линз f. Найдите фокусное расстояние системы, если l f.

13.3.21.Две линзы с фокусным расстоянием 30 см находятся друг от друга на расстоянии 15 см. Найдите, при каких положениях предмета система дает действительное изображение.

13.3.22.Рассеивающая линза с фокусным расстоянием 0,6 м расположена так, что один из ее фокусов совпадает с полюсом вогнутого зеркала. Определите фокусное расстояние зеркала, если известно, что система дает мнимое изображение предмета, помещенного на любом расстоянии перед линзой. Изображение создается лучами, вторично прошедшими через линзу после отражения их от зеркала.

256

♦13.3.23. Оптическая система состоит из собирающей линзы с фокусным расстоянием f и зеркального шарика радиуса R, центр которого находится на оптической оси линзы на расстоянии d от нее. Определите расстояние от линзы до точечного источника S, расположенного на оптической оси системы, при котором изображение источника совпадает с самим источником.

♦13.3.24 . Вогнутое сферическое зеркало радиуса R дает изображение источника, которое совпадает с самим источником. Когда в зеркало налили немного жидкости, между источником и зеркалом появилось второе изображение, расположенное на расстоянии l от источника, l < R. Найдите показатель преломления жидкости.

13.3.25 . Две тонкие плоско-выпуклые линзы, фокусное расстояние каждой из которых в воздухе равно f, помещены в оправу так, что их выпуклые поверхности соприкасаются. Определите фокусное расстояние такой системы в жидкости с показателем преломления n. Считать, что внутрь оправы жидкость не попадает. Как изменится ответ, если жидкость попадет между линзами? Показатель преломления стекла, из которого сделаны линзы, n0.

13.3.26.Изображение Луны, полученное с помощью телескопа, в первом случае фиксируется непосредственно на фотопленку, а в другом фотографируется с помощью камеры глубины l, объектив которой имеет фокусное расстояние f. Во сколько раз отличаются размеры изображения?

13.3.27.Фокусное расстояние объектива телескопа f. Во сколько раз изменится его угловое увеличение при наблюдении объектов, удаленных от телескопа на конечное расстояние a?

13.3.28.Микроскоп имеет объектив и окуляр с фокусным расстоянием f1

иf2 соответственно. На сколько изменится увеличение микроскопа, если расстояние между объективом и окуляром увеличить на l? Во сколько раз изменится увеличение микроскопа, если все его размеры, включая и размеры линз, изменить в k раз?

§ 13.4. Фотометрия

13.4.1.Согласно нормам освещенность рабочего места для тонких работ должна быть не менее 100 лк. На какой максимальной высоте от рабочего места должна быть помещена лампа, сила света которой 100 кд?

13.4.2.Освещенность плоской поверхности в точке, ближайшей к точечному источнику света, 200 лк. Какова освещенность в точках, где угол падения луча

кнормали поверхности 30◦, 45◦, 60◦?

13.4.3.Над поверхностью на высоте 2 м расположен точечный источник, сила света которого 120 кд. На расстоянии 1 м от источника перпендикулярно поверхности находится плоское абсолютно отражающее зеркало. Определите освещенность поверхности непосредственно под источником.

♦13.4.4. Точечный источник силы света I расположен на высоте h над горизонтальной поверхностью. Над источником находится плоское зеркало, параллельное поверхности. Как зависит освещенность поверхности непосредственно под источником от расстояния x между зеркалом и источником?

♦13.4.5. Экран освещается параллельным пучком света. Как изменится освещенность экрана, если на пути лучей поставить призму с углом α и стороной AB, параллельной экрану? Нарисуйте график изменения освещенности вдоль экрана.

13.4.6.Оцените, во сколько раз освещенность одной и той же поверхности

влунную ночь в полнолуние меньше, чем в солнечный день? Высота Луны и Солнца над горизонтом одинакова. Считать, что участки Луны рассеивают весь падающий на них свет во все стороны равномерно. Принять расстояние от Луны до Земли равным 400 000 км, радиус Луны — равным 2000 км.

13.4.7.Пучок света интенсивности I падает на плоско-параллельную пластину по нормали к ее поверхности. Пренебрегая поглощением и считая, чо коэффициент отражения света на каждой из поверхностей пластины в любую сторону

равен k, определите интенсивность пучка, прошедшего сквозь нее.

13.4.8 . Искусственный спутник Земли радиуса 1 м, освещенный Солнцем, виден с расстояния 300 км как рядовая звезда. Оцените расстояние до такой звезды.

13.4.9.Для локации поверхности Венеры с Земли и для приема сигнала с искусственного спутника Венеры используется один и тот же приемник, причем уровень принимаемого сигнала в том и другом случае одинаков. Оцените, во сколько раз мощность передатчика на спутнике меньше мощности излучателя локатора.

13.4.10.Сотрудник автоинспекции для определения скорости автомобиля использует излучатель электромагнитных волн и приемник. R — предельное расстояние до автомобиля, при котором приемник фиксирует отраженный сигнал. Любитель быстрой езды имеет точно такой же приемник. Оцените, с какого расстояния он обнаружит работу излучателя.

♦ 13.4.11. Что произойдет с изображением, даваемым линзой, если верхнюю половину линзы закрасить черной краской?

13.4.12.Как изменится освещенность изображения Солнца, даваемого плоско-выпуклой линзой, если линзу разрезать по диаметру и сложить плоскими сторонами?

♦ 13.4.13. Перед сферическим зеркалом радиуса кривизны R, в фокусе которого находится точечный источник света S, на высоте h над осью зеркала SO помещена небольшая пластинка, плоскость которой перпендикулярна оси. Най-

дите отношение освещенностей левой и правой сторон пластинки, если h R, l. ♦ 13.4.14 . Точечный источник света S расположен на расстоянии a < 4f от плоского экрана. Как изменится освещенность экрана в точке A, если между ис-

258

точником и экраном поставить линзу с фокусным расстоянием f, на расстоянии x от источника? При каком x освещенность в точке A будет максимальной?

13.4.15. Точечный источник света с помощью телескопа, имеющего объектив диаметра D0, может быть замечен с расстояния L0. С какого расстояния можно рассмотреть этот источник в телескоп с объективом диаметра D?

13.4.16 . Можно ли с помощью линзы или зеркала получить такое изображение Солнца, яркость которого превышает яркость Солнца? Какую максимальную освещенность изображения Солнца можно получить с помощью вогнутого зеркала диаметра D и радиуса кривизны R? Яркость поверхности Солнца B.

13.4.17. В фокусе сферического зеркала помещен сосуд, содержащий 100 г воды. Каков должен быть диаметр зеркала, чтобы вода выкипела через 1 мин, если зеркало направить прямо на Солнце? Плотность потока энергии от Солнца 0,14 Вт/см2. Потерями пренебречь.

13.4.18 . По известной легенде жители Сиракуз под руководством Архимеда сожгли корабли римского флота, фокусируя на них свет Солнца с помощью плоских зеркальных щитов. Принимая, что диаметр щита d = 1 м, расстояние до кораблей x = 500 м и температура, при которой загорается дерево, T ≈ 1000 К, оцените необходимое число щитов.

13.4.19.В крышке закрытого ящика, высота которого 1 м, имеется круглое отверстие. Изменится ли освещенность дна под отверстием, если в отверстие вставить линзу, оптическая сила которой равна 1 дптр? Ящик стоит под открытым небом, равномерно затянутым пеленой облаков.

13.4.20.Почему при наблюдении в телескоп яркие звезды видны даже днем? 13.4.21 . Жука фотографируют в двух масштабах, поднося аппарат на рас-

стояние, равное сначала тройному, а затем пятикратному фокусному расстоянию объектива. Как нужно изменить диаметр диафрагмы объектива, чтобы освещенность изображения на пленке в обоих случаях была одинаковой? Диаметр диафрагмы в обоих случаях много меньше расстояния до жука.

13.4.22 . Какая выдержка нужна при фотографировании чертежа с линейным увеличением k1, если при фотографировании с увеличением k2 устанавливается выдержка t2?

13.4.23 . Интенсивность света маяка на расстоянии L уменьшилась из-за тумана на 10 %. Радиус капель тумана r. Оцените количество капель тумана в единице объема воздуха.

13.4.24 . В дымовой завесе из непрозрачных частиц радиуса 5 мкм при содержании 0,004 г вещества в 1 м3 воздуха видимость составляет 50 м. Сколько вещества в 1 м3 воздуха распыляется источником завесы, создающим частицы радиуса 10 мкм, если видимость при этом сокращается до 20 м?

13.4.25 . В системе оптической связи луч лазера, передающий информацию, имеет вид конуса с углом при вершине 10−4 рад (угол расходимости). В приемном устройстве световая энергия фокусируется на фотоэлемент с помощью линзы 1 м. Оказалось, что при изменении расстояния между передатчиком и приемником

259

с 5 до 10 км сигнал, принимаемый с фотоэлемента, уменьшился в два раза (из-за поглощения света в атмосфере). Во сколько раз изменится сигнал при увеличении расстояния с 10 до 20 км?

§13.5. Квантовая природа света

♦13.5.1. Чувствительность фотопленки настолько велика, что каждый фотон вызывает на ней появление черного пятна. Три фотографии квадрата получены

на длине волны 5 · 10−5 см. Размеры изображения 10 × 10 см. Оцените, пользуясь формулой Планка ε = hν (h = 6,62 · 10−27 эрг ·с — постоянная Планка), освещенность фотопластинки в каждом случае. Время срабатывания затвора фотоаппарата 10−9 с.

♦ 13.5.2. Две параллельные металлические пластины находятся в вакууме. На заземленную пластину падает поток ультрафиолетового излучения частоты ν, которое выбивает с ее поверхности электроны. Ток этих электронов зависит от напряжения, подаваемого на вторую пластину так, как изображено на графике. Определите из графика работу выхода электронов из первой пластины.

13.5.3.При столкновении позитрона с электроном часто происходит аннигиляция этих частиц: они превращаются в два γ- кванта электромагнитного излучения. В каком случае энергия этих γ-квантов будет одинакова, а сами они будут двигаться в противоположных направлениях? Чему будет равна максимальная частота таких γ-квантов?

13.5.4.а. При распаде π-мезона образовалось два фотона с энергией ε1 и ε2, которые летят в противоположных направлениях. Определите скорость распавшегося мезона. Связь между энергией и импульсом для фотона имеет вид ε = pc, где c — скорость света.

б. При распаде нейтральной частицы обнаружено два фотона, летящих под углами θ1 и θ2 к направлению движения частицы. Определите скорость распавшейся частицы.

260