Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike

ее вращения перпендикулярна направлению магнитного поля. Амплитуда электрического напряжения, снимаемого с рамки, равна V . Найдите индукцию маг-

нитного поля ).

♦ 11.1.8. Прямоугольная рамка, размеры которой a×b, помещена в магнитное поле индукции B, причем в начальный момент времени плоскость рамки перпендикулярна линиям поля. Рамка вращается с угловой скоростью ω.

а. Постройте график зависимости тока, текущего в рамке, от времени. Сопротивление рамки R.

б. Как зависит от времени момент сил, необходимый для поддержания постоянной скорости вращения рамки?

♦ 11.1.9. Квадратный замкнутый виток проволоки, длина стороны которого b, а сопротивление единицы длины ρ, проходит с постоянной скоростью v зазор электромагнита. Магнитное поле в зазоре однородное, его индукция равна B. Считая поле вне этого зазора равным нулю, определите энергию, превратившуюся в тепло, для случаев, когда протяженность зазора a в направлении движения витка меньше b и больше b, а в перпендикулярном направлении — больше b.

♦ 11.1.10 . Металлический стержень AB, сопротивление единицы длины которого ρ, движется с постоянной скоростью v, перпендикулярной AB, замыкая два идеальных проводника OC и OD, образующих друг с другом угол α. Длина OC равна l и AB OC. Вся система находится в однородном постоянном магнитном поле индукции B, перпендикулярном плоскости системы. Найдите полное количество теплоты, которое выделится в цепи за время движения прута от точки O до точки C.

11.1.11. В одном из фантастических романов предлагался проект электростанции, использующей энергию морских течений и магнитное поле Земли. В океан погружены две горизонтальные металлические пластины площади S = 1 км2, расположенные на расстоянии L = 100 м одна над другой. Морская вода, обладающая удельным сопротивлением ρ = 0,25 Ом ·м, течет с востока на запад со скоростью v = 1 м/с. Магнитное поле Земли в данном месте однородно, направ-

лено с юга на север, а индукция этого поля B = 10−4 Тл. В результате между пластинами появляется напряжение, а если их соединить проводами с внешней

) В § 11.1, 11.2 индукцией магнитного поля тока в проводах пренебречь.

221

нагрузкой, то в ней выделяется мощность. Определите максимальную мощность, которую можно получить таким образом.

♦ 11.1.12 . В магнитогидродинамическом генераторе между плоскими параллельными электродами, расположенными на расстоянии h = 10 см друг от друга движется раскаленный газ, проводимость которого пропорциональна плотности. Площадь каждого электрода S = 1 м2. Магнитное поле генератора параллельно пластинам и перпендикулярно газовому потоку, индукция этого поля B = 1 Тл. При входе в генератор скорость газа v = 2000 м/с, проводимость λ = 50 См/м. Определите максимальный ток и максимальное напряжение генератора.

♦11.1.13. По проводящей ленте ширины d течет ток I. Лента находится в магнитном поле индукции B. Направление поля перпендикулярно ее плоскости. Найдите разность потенциалов между точками 1 и 2 ленты, если ее толщина равна h, а объемная плотность заряда носителей тока на ней равна ρ.

♦11.1.14. а. Ускоритель плазмы (рельсотрон) состоит из двух параллельных массивных проводников (рельсов), лежащих в плоскости, перпендикулярной магнитному полю индукции B. Между точками A и C в водороде поджигают электрический разряд. Ток I в разряде поддерживается постоянным. Под действием магнитного поля область разряда (плазменный сгусток) перемещается, разгоняясь к концам рельсов и срываясь с них. Чему равна скорость плазменного сгустка, если его масса m? Расстояние между рельсами l. Длина участка, на котором происходит ускорение плазмы, равна L.

б. Решите задачу для случая B = 1 Тл, l = 0,1 м, L = 1 м, I = 10 А; в

плазменном сгустке содержится 1013 ионов водорода.

♦ 11.1.15. В трубе прямоугольного сечения a × b находится газ плотности ρ. Вертикальные стенки трубы — изоляторы, горизонтальные — электроды. В одном из концов трубы зажигают разряд, после чего ток I поддерживается постоянным. Возникшая область горения разряда магнитными силами вталкивается внутрь трубы, «сгребая» перед собой газ. Определите установившуюся скорость плазменной «пробки», считая, что она все время больше скорости звука в газе. Магнитное поле индукции B перпендикулярно вертикальным стенкам трубы.

11.1.16. Тонкое проводящее кольцо помещено в магнитное поле B, перпендикулярное плоскости кольца. Радиус кольца увеличивается с постоянной скоростью v. Определите зависимость тока в кольце от времени, если в начальный момент сопротивление кольца R0, а радиус кольца r0. Плотность и проводимость материала кольца при растяжении не меняются.

222

♦ 11.1.17. Виток площади S расположен перпендикулярно магнитному полю индукции B. Он замкнут через гальванометр с сопротивлением R. Какой заряд протечет через этот гальванометр, если виток повернуть параллельно полю?

♦ 11.1.18 . Катушка датчика магнитного поля изготовлена из медного провода диаметра 0,2 мм. Радиус катушки 1 см. Удельное сопротивление 1,7 · 10−8 Ом ·м. Датчик определяет индукцию магнитного поля по заряду, который протекает через катушку, замкнутую на гальванометр, когда ее вносят в магнитное поле так, что ось катушки совпадает с направлением поля. Определите индукцию магнитного поля, если через гальванометр, когда катушку внесли в поле, протек заряд 10−4 Кл.

♦ 11.1.19. В однородном магнитном поле индукции B находятся две вертикальные рейки, расположенные в плоскости, перпендикулярной линиям поля. По рейкам, расстояние между которыми равно l, может скользить проводник массы m. Определите установившуюся скорость этого проводника, если верхние концы реек замкнуты на сопротивление R. В какие виды энергии переходит работа силы тяжести?

11.1.20 . Определите в задаче 11.1.19 зависимость скорости проводника от времени при нулевой начальной скорости в случае, когда верхние концы реек замкнуты: а) на сопротивление R; б) на емкость C.

♦ 11.1.21. В осесимметричном магнитном поле тело можно ускорять, поддерживая в витке, связанном с телом и ориентированном перпендикулярно оси симметрии поля, постоянный ток I. Докажите, что приращение кинетической энер-

223

гии тела вместе с витком пропорционально приращению магнитного потока через виток, и найдите коэффициент пропорциональности.

11.1.22 . В магнитном поле с большой высоты падает кольцо радиуса a и массы m. Сопротивление кольца R. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найдите установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой по закону B = B0(1+αh).

♦11.1.23 . В поле тяжести помещено вертикально металлическое кольцо. Металлический стержень длины L и массы m шарнирно закреплен в центре кольца и касается его другим концом. Однородное магнитное поле индукции B перпендикулярно плоскости кольца. По какому закону надо менять ток в стержне, чтобы стержень вращался равномерно с угловой скоростью ω, если в начальный момент стержень находился в верхнем положении? Трением пренебречь.

♦11.1.24. На рисунке изображена модель двигателя постоянного тока. ЭДС батареи E, индукция магнитного поля B, сопротивление цепи R, длина перемычки L.

а. Определите установившуюся угловую скорость перемычки и ток в цепи, если сила трения в подвижном контакте F .

б . Найдите зависимость угловой скорости перемычки от времени, если ее

начальная скорость равна нулю, а трением можно пренебречь.

♦11.1.25 . Проводящий диск вращается с угловой скоростью ω в однородном магнитном поле индукции B, перпендикулярном плоскости диска. Что покажет амперметр, включенный через сопротивление R? Найдите ток, если R = 1 Ом, радиус диска r = 0,05 м, ω = 2π · 50 рад/с, B = 1 Тл.

♦11.1.26 . На оси O шарнирно закреплена одной

стороной квадратная проволочная рамка, размеры которой a × a. Вокруг этой же оси вращается с угловой скоростью ω0 магнит, создающий в области, где расположена рамка, радиальное магнитное поле. Определите угловую скорость рамки, если сопротивление единицы ее длины ρ, момент силы трения M, а индукция магнитного поля у свободного края рамки B.

11.1.27.Почему электродвигатель может сгореть, если остановить его ро-

тор?

11.1.28.Частота ротора электродвигателя постоянного тока, включенного в

цепь батареи с ЭДС 24 В, при полном сопротивлении цепи 20 Ом равна 600 мин−1 при токе в цепи 0,2 А. Какую ЭДС разовьет тот же двигатель, работая в качестве динамо-машины с частотой 1200 мин−1?

11.1.29.Какую частоту разовьет электродвигатель постоянного тока с постоянным магнитом, включенный в цепь с ЭДС E при полном сопротивлении

цепи R, если, работая в качестве динамо-машины, он развивает ЭДС E0 при частоте f0? Момент силы трения на оси двигателя равен M.

11.1.30.Какую ЭДС развивает динамо-машина постоянного тока, если при сопротивлении цепи 300 Ом на вращение ротора затрачивается мощность 50 Вт,

224

а потери на трение составляют 4 % по мощности? Какую мощность для поддержания той же частоты необходимо затрачивать при сопротивлении цепи 60 Ом?

11.1.31 . Якоря двух одинаковых электродвигателей постоянного тока соосны и жестко соединены друг с другом. К обмоткам якорей подключены одинаковые источники тока с ЭДС E. При этом угловая скорость вращения якорей без нагрузки равна ω0. Если двигатели затормозить, то ток в якорях будет равен I0. Один из источников переключили так, что вращающие моменты двигателей стали противоположны. Какой момент нужно приложить к соединенным якорям для того, чтобы они вращались с заданной угловой скоростью ω? Трение в двигателях пренебрежимо мало, магнитное поле статора создается постоянным магнитом.

11.1.32 . Один конец провода трамвайной линии находится под постоянным напряжением V относительно земли. На каком расстоянии от этого конца линии находится трамвай, снабженный двумя одинаковыми двигателями, и с какой скоростью он движется, если при последовательном включении его двигателей ток в линии равен I1, при параллельном — I2, а скорость трамвая при таком переключении не изменяется? Сила трения F , сопротивление единицы длины провода ρ, сопротивление обмотки каждого двигателя R.

§ 11.2. Вихревое электрическое поле

11.2.1.Чему был равен магнитный поток через площадь, ограниченную замкнутым контуром, если при равномерном убывании этого потока в течение 1 с до нуля в контуре возникает ЭДС индукции 1 В? 100 В? 1 СГС?

11.2.2.Индукция однородного магнитного поля внутри цилиндра радиуса r = 0, 1 м линейно возрастает со временем: B = αt (коэффициент α = 10−3 Тл/с). Магнитное поле направлено вдоль оси цилиндра. Чему равна напряженность вихревого электрического поля на расстоянии l = 0,2 м от оси цилиндра?

♦11.2.3. Проводящее кольцо, имеющее по диаметру перемычку с электрической лампочкой, перемещают в магнитном поле соленоида с током так, что плоскость кольца перпендикулярна оси соленоида, а перемычка с лампочкой перпендикулярна направлению скорости движения кольца. В положениях кольца A и B лампочка светится, а в положении C гаснет. Объясните наблюдаемый эффект.

11.2.4. Индукция магнитного поля внутри цилиндра радиуса 8 см возрастает со временем по закону B = αt2 (коэффициент α = 10−4 Тл/с2). Магнитное поле направлено вдоль оси цилиндра. Чему равна напряженность вихревого электрического поля на расстоянии l = 0,1 м от оси цилиндра в момент времени t1 = 1 с? t2 = 4 с?

♦ 11.2.5. По двум бесконечным параллельным плоскостям текут одинаковые по модулю и противоположные по направлению токи. Линейная плотность этих

токов изменяется по закону j = αt. Найдите распределение напряженности вихревого электрического поля между этими плоскостями.

11.2.6.Через соленоид длины l0 = 20 см и радиуса r = 2 см течет синусоидальный ток I = I0 sin(2πνt), где I0 = 10 А, ν = 50 Гц. Число витков в соленоиде n0 = 200. Найдите распределение напряженности вихревого электрического поля внутри соленоида. Какой амплитуды напряжение создает это поле в катушке длины l = 5 см и радиуса r = 1 см, помещенной внутрь соленоида вдоль его оси? Число витков в этой катушке n = 100.

11.2.7.Скорость изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную замкнутым контуром, равна ϕ.

а. Определите заряд на конденсаторе емкости C, который включен в этот контур.

б. В контур включены два конденсатора емкости C1 и C2. Определите заряд на обкладках конденсаторов.

♦ 11.2.8. а. В контур, имеющий вид окружности и находящийся в однородном магнитном поле, включены два конденсатора емкости C1 и C2. Контур соединяют по диаметру перемычкой — проводником ab. Определите заряд на обкладках конденсаторов, если скорость изменения магнитного потока через контур равна ϕ.

б . Чему был бы равен заряд на обкладках дополнительного конденсатора емкости C3, включенного так, как изображено на рисунке?

♦ 11.2.9. На рисунке изображены плоские фигуры, сделанные из проволоки, сопротивление единицы длины которой равно 1 Ом/м. Определите токи в них, если фигуры помещены в однородное магнитное поле, которое меняется во времени. Скорость изменения магнитного потока через единицу площади

0,1 Вб/(м2 ·с).

♦ 11.2.10. В цепь электрического контура входит сопротивление R и незаряженный конденсатор емкости C.

а. Докажите, что заряд на конденсаторе в процессе появления, а затем исчезновения магнитного потока через контур не превышает величины ΦT/(CR2), где T — время существования этого магнитного потока, Φ — его максимальное значение.

226

б . Для определения постоянного тока I, текущего в контуре в течение времени T , при наличии в этом же промежутке времени переменного тока, вызванного электромагнитной индукцией, измеряют потенциал емкости V после того, как все токи исчезнут, а затем оценивают постоянный ток по формуле I = CV/T . Определите максимальную погрешность такой оценки в случае, когда амплитуда переменного тока в k раз больше I.

♦11.2.11. В электрический контур входят конденсатор емкости C = 0,01 мкФ и диод D с сопротивлением в прямом направлении R = 100 Ом, в обратном — равном бесконечности. После кратковременного появления внутри контура магнитного поля конденсатор оказался заряженным до потенциала V = 0,5 В. Определите максимальный поток магнитной индукции, который проходил через контур.

♦11.2.12. Электромагнитная пушка состоит из двух длинных пластин, которые замыкаются металлической поперечной планкой массы m, имеющей скользящие контакты с пластинами. Расстояние между пластинами h. Ширина пластин d меньше длины планки, но существенно больше h.

а. Как должно меняться во времени напряжение, подаваемое на пластины с левой стороны, чтобы планка двигалась вправо с постоянным ускорением a? с

ускорением bt2?

б. Как должно меняться напряжение, подаваемое на пластины ширины 10 см, расположенные на расстоянии 1 см, чтобы на длине 1 м ускорить планку массы 10 г до первой космической скорости при ее равномерном ускорении? при ускорении, которое пропорционально квадрату времени?

♦11.2.13 . Плоская спираль с очень большим числом витков n и наружным радиусом r находится в однородном магнитном поле, индукция которого перпен-

дикулярна плоскости спирали и изменяется по закону B = B0 cos ωt. Найдите ЭДС индукции в спирали. Расстояние между витками спирали одно и то же.

11.2.14 . На непроводящем кольце массы m и радиуса r равномерно распределен заряд q. Кольцо может свободно вращаться вокруг своей оси. В начальный момент кольцо покоится. В центральной области кольца радиуса l < r имеется перпендикулярное плоскости кольца магнитное поле, индукция которого равномерно уменьшается до нуля. Какую угловую скорость приобретет кольцо к моменту исчезновения поля? Изменится ли результат, если индукция B будет уменьшаться до нуля неравномерно? Индукцией магнитного поля, создаваемой вращающимся кольцом, пренебречь.

♦11.2.15 . Вне цилиндра радиуса r0 индукция однородного магнитного поля нарастает линейно во времени: B = αt. Как должна меняться во времени индукция однородного магнитного поля внутри цилиндра, чтобы электрон двигался по

окружности радиуса r > r0? При t = 0 электрон покоится.

11.2.16 . В однородном магнитном поле электрон движется по окружности определенного радиуса. Уменьшается или увеличивается радиус кривизны траектории электрона при медленном возрастании индукции магнитного поля?

227

♦ 11.2.17 . Индукция магнитного поля направлена вдоль оси z и зависит от расстояния до этой оси так, как изображено на рисунке. На каком расстоянии от оси z вращается электрон, который при возрастании поля остается на своей орбите? Во сколько раз увеличивается энергия этого электрона при десятикратном увеличении индукции поля? Как будут двигаться при возрастании поля электроны, которые двигались по другим круговым орбитам?

11.2.18 . На поверхности длинного сплошного непроводящего цилиндра радиуса r равномерно распределен заряд, поверхностная плотность которого σ. Внешнее однородное магнитное поле индукции B направлено вдоль оси цилиндра. Определите угловую скорость вращения цилиндра после «выключения» внешнего поля. Плотность вещества цилиндра ρ.

11.2.19 . При ускорении зарядов возникают вихревые электрические поля, напряженность которых, если пренебречь излучением, пропорциональна ускорению. Поэтому на движущийся с ускорением a заряд со стороны этих электрических полей действует сила F = mэмa. Коэффициент пропорциональности mэм можно назвать электромагнитной массой заряда.

а. Во сколько раз электромагнитная масса электрона проводимости в длинном соленоиде радиуса 0,1 м с числом витков на единицу длины соленоида 103 м−1 больше массы свободного электрона? Сечение провода соленоида 1 мм2, число электронов проводимости в единице объема материала соленоида 1023 см−3.

б. Какими параметрами должен обладать соленоид, чтобы электромагнитная масса электрона в нем была равна массе свободного электрона? Число электронов проводимости в единице объема материала соленоида 1023 см−3.

11.2.20 . Определите электромагнитную массу плоского конденсатора емкости C, заряженного до потенциала V , при равномерно ускоренном движении его вдоль пластин.

11.2.21 . Эксперименты на встречных электрон-электронных пучках показали, что заряд электрона распределен в области, размеры которой меньше 10−18 м. Оцените верхний предел электромагнитной массы электрона.

§ 11.3. Взаимная индуктивность.

Индуктивность проводников. Трансформаторы

11.3.1. Внутри длинного соленоида с током I находится плоский замкнутый контур сечения S, плоскость которого расположена под углом α к оси соленоида. Число витков на единицу длины соленоида n. Определите магнитный поток через этот контур и взаимную индуктивность контура и соленоида.

♦ 11.3.2. Виток радиуса r согнули по диаметру под прямым углом и поместили внутрь длинного соленоида так, что одна из плоскостей оказалась расположенной к оси соленоида под углом α, а другая — под углом π/2 − α. Число витков на единицу длины соленоида n. Чему равна взаимная индуктивность согнутого витка и соленоида?

228

11.3.3. Внутри длинного соленоида соосно ему расположен соленоид радиуса r. Число витков внутреннего соленоида N. Число витков на единицу длины внешнего соленоида n. Чему равна взаимная индуктивность этих соленоидов?

♦ 11.3.4 . Короткий соленоид радиуса R расположен вокруг длинного соленоида радиуса r. Оси соленоидов совпадают. Число витков на единицу длины длинного соленоида n, число витков короткого соленоида N. Через короткий соленоид течет ток I = I sin ωt. Определите напряжение на концах длинного соленоида.

11.3.5. а. Чему равна индуктивность соленоида радиуса r и длины l r? Число витков на единицу длины соленоида n.

б . Получите формулу для индуктивности соленоида, не пренебрегая влиянием на индуктивность массы электрона me. Сечение провода соленоида S, число электронов проводимости в единице объема проводника ne. Можно ли пренебречь этим влиянием на индуктивность катушек, используемых в радиотехнике?

11.3.6 . Внутренний радиус обмотки длинного соленоида r1 = 0,05 м, внешний радиус r2 = 0,1 м, число витков на единицу длины соленоида n = 10 000. Определите индуктивность единицы длины соленоида.

11.3.7.Объем длинного тонкостенного соленоида v = 10 л, индуктивность L = 0,01 Гн. На соленоид подали напряжение V = 10 В. Через какое время после подачи напряжения индукция магнитного поля в соленоиде станет равной

B = 0,1 Тл?

11.3.8.Определите индуктивность единицы длины двухпроводной линии, состоящей из двух тонких плоских шин ширины d = 0,1 м, расположенных на расстоянии h = 5 мм друг от друга. По шинам текут равные по модулю, но противоположно направленные токи.

11.3.9 . Двухпроводная линия состоит из двух коаксиальных тонких цилиндрических оболочек радиуса r1 и r2 (r1 < r2). Пространство между ними заполнено веществом с магнитной проницаемостью µ. Найдите индуктивность линии на единицу длины. По оболочкам текут равные по модулю, но противоположно направленные токи.

♦ 11.3.10 . На оси тонкой проводящей цилиндрической оболочки радиуса r1 расположен провод радиуса r2, магнитная проницаемость которого µ1. Пространство между ними заполнено веществом с магнитной проницаемостью µ2. Найдите индуктивность линии на единицу длины. Ток в проводе равномерно распределен по сечению, равен по модулю и противоположен по направлению току цилиндрической оболочки.

11.3.11 . Найдите индуктивность на единицу длины двухпроводной линии. Линия состоит из двух параллельных прямых проводов радиуса r, расстояние между

осевыми линиями которых h r. По проводам текут равные по модулю, но противоположно направленные токи. Магнитного поля внутри проводов нет.

11.3.12. Все размеры проводника увеличили в k раз. Во сколько раз изменится индуктивность проводника?

♦11.3.13. Чему равна индуктивность двух

длинных соленоидов радиуса r1 и r2, соединенных так, как показано на рисунке? Внутренний соле-

ноид имеет длину l1, внешний l2. Число витков на единицу длины внутреннего соленоида n1, внеш-

него n2. Рассмотрите случаи, когда направления токов в витках обоих соленоидов одинаковы и противоположны.

11.3.14.Цепь состоит из двух последовательно соединенных катушек ин-

дуктивности L1 и L2. Взаимная индуктивность катушек L12. Найдите полную индуктивность цепи.

11.3.15 . На один сердечник намотаны две катушки. Индуктивность каждой

из катушек в отдельности L1 и L2. Чему равна их взаимная индуктивность? Рассеянием магнитного поля пренебречь.

♦11.3.16 . В первичной обмотке трансфор-

матора течет ток I = I0 sin ωt. Магнитный поток, создаваемый этим током, практически полностью проходит через железный сердечник трансформатора. Магнитная проницаемость сердечника µ. Определите ЭДС индукции во вторичной разомкнутой обмотке, если число витков в первичной обмотке N1, а во вторич-

ной N2. Какое напряжение подается на первичную обмотку? Сечение сердечника трансформатора S. Эффективная длина сердечника l.

11.3.17.Ток в первичной обмотке трансформатора равномерно увеличивают. По какому закону меняется напряжение во вторичной обмотке?

11.3.18.Покажите, что в идеальном трансформаторе с замкнутой накоротко вторичной обмоткой имеет место соотношение I1/I2 = N2/N1, где I1 и I2 — токи,

аN1 и N2 — число витков в обмотках.

. а. Почему опасно замыкание хотя бы одного витка вторичной об-

мотки трансформатора?

б. Замыкание витка вторичной обмотки приводит иногда к выходу из строя первичной обмотки трансформатора. Почему это

♦11.3.20. Объясните устройство лабораторного регулировочного трансформатора, изображенного на рисунке. Как меняется напряжение на выходе трансформатора при перемещении контакта K влево?

11.3.21.Почему нагруженный трансформатор гудит? Какова основная частота звука, если трансформатор включен в промышленную сеть?

11.3.22.Зачем сердечник трансформатора собирают из отдельных пластин?

11.3.23.Для питания электрического звонка пользуются понижающим трансформатором. Почему обычно кнопка звонка включена во вторичную цепь, а первичная остается постоянно подключенной к сети?

♦11.3.24. На железный сердечник намотаны

две катушки. Магнитный поток, создаваемый каждой катушкой, не выходит из сердечника и делится поровну в его разветвлениях. При включении катушки 1 в цепь переменного тока с напря-

230