Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike

♦4.2.17. Коническая пробка высоты 10 см с углом при вершине 90◦ перекрывает в сосуде отверстие радиуса 5 см. Чему должна быть равна масса этой пробки, чтобы она не всплывала при измене-

нии уровня воды в сосуде?

4.2.18 . Решите задачу 4.2.17 при условии, что отверстие радиуса r перекрывается шаром радиуса R, а плотность жидкости равна ρ.

♦4.2.19 . Наклон кубической коробки, наполовину погруженной в жидкость, равен α. Опреде-

лите массу каждого из двух противоположных ребер коробки. Массой остальных частей коробки пренебречь. Плотность жидкости ρ, длина ребер коробки a.

111

♦ 4.2.20 . Определите минимальную силу натяжения двух канатов, связывающих широкий плот, состоящий из двух слоев бревен. Масса каждого бревна m. Верхний слой бревен погружен в воду наполовину.

♦4.2.21. а. В водоеме с глубины 1 м всплывает деревянный цилиндр радиуса 1 м и высоты 0,2 м. Плотность древесины 0,8 · 103 кг/м3. Какое количество теплоты выделится к моменту окончания движения воды и цилиндра?

♦б . В цилиндр радиуса R, частично заполненный жидкостью, падает цилиндрическая пробка радиуса r и высоты h. Начальная высота нижней поверхности пробки над уровнем жидкости H, начальная скорость равна нулю. Какое количество теплоты выделится к моменту окончания движения жидкости и пробки?

♦ 4.2.22. Какое количество теплоты выделится в водоеме при всплывании в нем воздушного пузыря радиуса R = 0,1 м с глубины

H = 10 м?

4.2.23. Какую минимальную работу нужно произвести, чтобы поднять со дна моря на борт судна батисферу радиуса 2 м и массы 35 т? Глубина моря 100 м, высота борта судна 3 м, плотность морской воды 1,02 кг/м3.

4.2.24 . Цилиндрический космический корабль радиуса R вращается вокруг своей оси

с угловой скоростью ω. Бассейн в корабле имеет глубину H, а дном бассейна служит боковая стенка корабля.

112

а. Сможет ли космонавт плавать в этом бассейне? Опишите особенность космического бассейна. Определите плотность плавающей в бассейне палочки длины l < H, если из воды выступает ее верхняя часть длины .

б. В бассейне можно наблюдать следующее интересное явление: два шара разной плотности, связанные нитью, в зависимости от «глубины» движутся или к свободной поверхности, или к стенке космического корабля, если плотность одного шара больше, а другого меньше плотности воды. Объясните это явление.

4.2.25 . Цилиндрический сосуд радиуса R, заполненный жидкостью плотности ρ, вращается с угловой скоростью ω вокруг своей оси. В сосуде находится шарик радиуса r и плотности 2ρ. Найдите силу, с которой шарик давит на боковую стенку сосуда.

♦ 4.2.26. Вертикальный цилиндрический сосуд радиуса R, частично заполненный жидкостью, вращается вместе с жидкостью вокруг своей оси. К боковой стенке сосуда на нити длины l привязан воздушный шарик радиуса r; во время вращения нить образует со стенкой угол α. Определите угловую скорость вращения сосуда.

4.2.27. Молекула жидкости состоит из двух слабо связанных между собой групп атомов. Объем этих групп одинаков, их массы равны m1 и m2. При

вращении жидкости в центрифуге радиуса R с угловой скоростью, большей ω, молекулы начинают распадаться. Оцените силу связи групп атомов в молекуле.

§ 4.3. Движение идеальной жидкости

4.3.1.Насосная станция города поддерживает в водопроводе на уровне первого этажа давление 5 атм. Определите (пренебрегая трением при течении жидкости) скорость струи воды, вытекающей из крана на первом, втором и третьем этажах, если краны каждого последующего этажа расположены на 4 м выше кранов предыдущего. На какой этаж вода по водопроводу уже не поднимется?

4.3.2.Сосуд с водой подвешен к потолку. Высота воды в сосуде h. На сколько изменится сила натяжения подвеса, если в дне сосуда открыть маленькое отверстие, из которого будет вытекать струя сечения S? Плотность воды ρ.

4.3.3.Насос должен подавать ежесекундно объем воды V на высоту h по трубе постоянного сечения S. Какова должна быть мощность насоса? Плотность воды ρ.

♦4.3.4. а. Стационарный поток жидкости, протекающей по трубе переменного сечения, давит на участок трубы A между сечениями 1 и 2, который по третьему закону Ньютона давит на жидкость в противоположном направлении. Следовательно, сила, действующая на жидкость со стороны этого участка, направлена против движения жидкости. Почему же жидкость в области справа от сечения 2 имеет б´ольшую скорость, чем в области слева от сечения 1?

б. Чему равна сила, действующая на жидкость со стороны участка трубы A? Площадь сечений 1 и 2 равна соответственно S1 и S2. Плотность жидкости ρ. В области справа от сечения 2 скорость жидкости равна v, а давление в ней равно нулю.

♦ 4.3.5. Из широкого сосуда через узкую цилиндрическую трубку в его дне вытекает жидкость плотности ρ. Как распределены по вертикали давление и скорость жидкости в сосуде и трубке? Давление воздуха P0.

4.3.6.По изогнутой под прямым углом трубе поперечного сечения S со скоростью v течет жидкость плотности ρ. С какой силой жидкость действует на трубу, если давление жидкости на выходе из трубы P ? Силой тяжести пренебречь.

4.3.7.Насос представляет собой расположенный горизонтально цилиндр с поршнем площади S и выходным отверстием площади s, расположенным на оси цилиндра. Определите скорость истечения струи жидкости из насоса, если поршень под действием силы F перемещается с постоянной скоростью. Плотность жидкости ρ.

4.3.8.По длинной наклонной плоскости стекает широкий поток воды. На протяжении l по течению глубина потока уменьшается вдвое. На протяжении какого пути глубина потока уменьшится в четыре раза?

4.3.9.Плита массы m удерживается на месте в горизонтальном положении N струями жидкости плотности ρ, бьющими вертикально вверх. Площадь каждого отверстия S. Скорость жидкости на выходе из отверстий v. На какой высоте над отверстиями удерживается плита, если, достигнув плиты, жидкость разлетается от нее в горизонтальной плоскости?

♦4.3.10 . С каким ускорением будет двигаться длинное цилиндрическое тело плотности ρ и радиуса r вдоль оси вертикального высокого цилиндрического

сосуда радиуса R, заполненного жидкостью плотности ρ0? Чему равна разность давлений на верхнее и нижнее основания тела, если его длина равна h?

♦4.3.11 . Во сколько раз увеличится сброс воды через широкую плотину, если высота уровня воды над кромкой возрастает в два раза?

114

♦4.3.12 . Вода вытекает из широкого сосуда через треугольный вырез в его стенке. Во сколько раз уменьшится скорость понижения уровня воды при изменении высоты ее уровня от H до h?

♦4.3.13. Широкая струя жидкости толщины h падает под углом α со скоростью v

♦ 4.3.14 . Две широкие металлические пластины, расположенные под углом 2α друг к другу, движутся со скоростью v по нормали к своей поверхности. Найдите скорость струй, возникающих при столкновении пластин, рассматривая движение металла как движение идеальной жидкости.

4.3.15 . Определите форму стационарной струи, сформировавшейся после столкновения двух струй радиуса R и r, которые двигались навстречу друг другу с одинаковой скоростью.

♦ 4.3.16 . «. . . В 1941 г. немцы придумали кумулятивный противотанковый снаряд. На конусе снаряда — запал. При ударе он вызывает детонацию и воспламеняет весь заряд. Снаряд пробивает всю броню. В 1944 г. такие немецкие снаряды попали в наши руки и в руки союзников. Начался широкий эксперимент. При этом обнаружили много дополнительных эффектов и парадоксов. Стали выяснять, что же летит, что пробивает? Сначала думали, что это бронепрожигающий снаряд, что броню пронзает струя горячего газа. Нет, оказалось, что летит металл, причем самым необъяснимым образом: перед плитой со скоростью 8 км/с, внутри плиты 4 км/с, за плитой снова 8 км/с» (из вступительного слова председателя Президиума СО АН СССР академика М. А. Лаврентьева перед учащимися Летней физико-математической школы в 1971 г.). Объясните это явление. Опре-

полости,

115

♦ 4.3.17 . Жидкость в начальный момент заполняет вертикальную часть длины l в тонкой L-образной трубке. Плотность жидкости равна ρ. Найдите, как зависит от времени высота ее уровня. Найдите распределение давления в момент, когда высота столба жидкости уменьшится наполовину.

4.3.18 . Из отверстия в дне высокого сосуда вытекает вода. Сечение сосуда S, сечение струи s. Уровень воды в сосуде перемещается с постоянным ускорением. Найдите это ускорение.

4.3.19. В цилиндре с поршнем находится вода, внутри которой в начальный момент имеется полость объема V . Поршень оказывает на воду постоянное давление P . Какую энергию приобретает вода в момент, когда полость исчезнет?

4.3.20 . В жидкости плотности ρ образовалась сферическая полость радиуса R. Давление в жидкости P . Определите скорость границы полости в момент, когда ее радиус уменьшится до значения r?

4.3.21 . Оцените, при какой скорости кромки винта катера в воде возникает полость.

§ 4.4. Течение вязкой жидкости

4.4.1.Пространство между двумя параллельными плоскостями заполнено

жидкостью вязкости η. Одна из плоскостей движется со скоростью v0, другая покоится. Найдите распределение скорости жидкости между плоскостями и силу вязкого трения, действующую на единицу площади каждой из плоскостей. Расстояние между плоскостями h.

4.4.2.Найдите распределение скорости жидкости при установившемся ее течении между двумя плоскостями. Расстояние между плоскостями h, вязкость жидкости η. Найдите расход жидкости на единицу ширины потока, если перепад давления на единицу длины потока (в направлении движения жидкости) равен P .

4.4.3 . а. Определите расход жидкости на единицу ширины потока, стекающего по наклонной плоскости под углом α к горизонту. Вязкость и плотность жидкости равны соответственно η и ρ. Толщина потока h.

б. Оцените наклон ложа канала глубины 2 м, средняя скорость движения воды в котором равна 1 м/с. Вязкость воды 10−3 Н ·с/м2.

4.4.4 . Определите установившуюся скорость движения шайбы массы m и радиуса R по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом, в случае, когда между шайбой и плоскостью имеется слой смазки толщиной и вязкости η.

4.4.5.Жидкость перекачивается из одного сосуда в другой через длинную трубку радиуса R и длины l. Разность давлений на концах трубки P , вязкость

жидкости η. Определите зависимость от расстояния до стенки трубки: а) градиента скорости жидкости; б ) скорости жидкости. Определите объем жидкости, перетекающей через эту трубку в единицу времени.

4.4.6.Из вертикально расположенной тонкой трубки, заполненной вязкой жидкостью, через время T вытекала половина жидкости. Через какое время вытечет оставшаяся часть жидкости?

4.4.7 . Тонкая цилиндрическая трубка длины l и диаметра d целиком заполнена жидкостью плотности ρ и вязкости η. Определите время вытекания жидкости из трубки, если ее ось наклонена к горизонту под углом α.

♦ 4.4.8. Пространство между валом радиуса r, вращающегося вокруг своей оси, и неподвижной соосной с валом трубой радиуса R заполнено жидкостью вязкости η. Момент сил, действующих на единицу длины вала, равен M. Определите зависимость от расстояния до оси вала: а) градиента угловой скорости жидкости: б ) угловой скорости жидкости, а также угловую скорость вала.

116

б . Оцените, во сколько раз работа по растяжению 1 г ртути в пленку, толщина которой близка к диаметру атома ртути, меньше удельной теплоты парообразования ртути, равной 290 Дж/г. Поверхностное натяжение и плотность

ртути 0,465 Н/м и 13,6 г/см3.

4.5.7.Железный кубик, смазанный парафином, плавает в воде так, что его верхняя грань находится на уровне воды. Вода не смачивает парафин. Найдите длину ребра кубика.

4.5.8.На поверхности жидкости плавает погруженная на глубину h шайба радиуса r и высоты 2h, не смачиваемая жидкостью. Плотность жидкости и шайбы равна ρ. Поверхность жидкости соприкасается с боковой поверхностью шайбы. Определите поверхностное натяжение жидкости.

4.5.9.Оцените, каким должно быть ускорение свободного падения на планете, чтобы человек мог ходить на ней по воде в обуви с несмачиваемыми водой подошвами.

♦4.5.10 . Длинная пластина ширины l приведена в соприкосновение с поверхностью жидкости. Затем пластину стали поднимать. Как зависит сила, действующая на единицу длины пластины, от высоты ее подъема x? Плотность жидкости ρ, поверхностное натяжение σ. Масса единицы длины пластины m.

4.5.11. Большая и тонкая пластина не тонет, если ее осторожно положить на поверхность воды. Определите максимальную массу единицы ее площади. Пластина водой не смачивается.

♦4.5.12. а. Сумма сил, действующих на выделенный на рисунке объем жидкости, равна нулю. Пользуясь этим, определите высоту, на которую жидкость поднимается по вертикальной стенке. Краевой угол θ. Поверхностное натяжение и плотность жидкости σ и ρ.

б. На какую высоту поднимется вода по вертикальной стенке, которую она полностью смачивает?

♦4.5.13. а. Определите толщину слоя жидкости, разлитой на горизонтальной плоскости. Краевой угол θ, плотность жидкости ρ, поверхностное натяжение σ.

б. Определите толщину слоя воды, разлитой на горизонтальной плоскости, покрытой парафином.

118

4.5.14 . а. Большой участок жидкости покрыт слоем масла. Поверхностное натяжение и плотность жидкости σж и ρж, поверхностное натяжение и плотность масла σм и ρм, поверхностное натяжение границы жидкость–масло σж.м.. Определите толщину слоя масла.

б. В 1977 г. «Арго-Мерчент», танкер водоизмещением 28 691 т, напоролся на риф; корпус танкера развалился надвое, выплеснув в море полный груз нефти. Черные пятна нефти расползлись на тысячи квадратных миль. Определите общую площадь этих пятен. Поверхностное натяжение нефти 0,03 Н/м, плотность

нефти 0, 8 · 103 кг/м3, нефть не смачивается водой. Массу нефти принять равной 0,8 водоизмещения танкера.

♦4.5.15 . Докажите, что объем жидкости, который поднимется над ее общим уровнем (на рисунке этот объем отделен штриховой линией), зависит только от периметра поперечного сечения погруженной в жидкость палочки и не зависит от формы этого сечения.

♦4.5.16. а. Докажите, что давление жидкости под ее цилиндрической поверхностью радиуса R равно σ/R (σ — поверхностное натяжение жидкости). Для доказательства воспользуйтесь условием равновесия объема жидкости, лежащего над плоскостью A.

б. Докажите, что давление жидкости под ее сферической поверхностью радиуса R равно 2σ/R.

♦ 4.5.17. Определите максимальное и минимальное давление внутри сферической капли жидкости, которая плавает в другой жидкости. Расстояние от центра капли до поверхности жидкости h, радиус капли R, плотность жидкостей ρ, поверхностное натяжение на границе раздела жидкостей σ.

4.5.18.Жидкость смачивает вертикальную стенку (см. рисунок к задаче 4.5.12). Как зависит радиус кривизны поверхности жидкости от высоты x, на которую поднимается жидкость над своим уровнем? Плотность жидкости ρ, поверхностное натяжение σ.

4.5.19.Внешний радиус мыльного пузыря равен R, толщина его стенки равна h. Найдите давление воздуха внутри пузыря. Давление воздуха вне пузыря равно P0, поверхностное натяжение воды σ.

4.5.20.Оцените, сколько воды можно унести в решете? Площадь решета и

его ячейки равны соответственно 0,1 м2 и 1 мм2. Решето водой не смачивается. 4.5.21 . Два легких тела, оба смачиваемые или оба не смачиваемые водой, плавая на поверхности воды, притягиваются друг к другу. Если же одно тело смачивается водой, а другое не смачивается, то тела будут отталкиваться. Объ-

ясните это явление.

♦ 4.5.22 . Маленькая капля жира плавает на поверхности жидкости, поверхностное натяжение которой σ. Поверхностное натяжение жира на границе

119

воздух–жир σ1, на границе жир–жидкость σ2. Определите толщину капли, если ее радиус равен r.

♦ 4.5.23. На мыльном пузыре радиуса R0 «сидит» еще один мыльный пузырь радиуса r. Какой радиус кривизны имеет пленка, их разделяющая? Какой угол образуют пленки в местах соприкосновения?

♦4.5.24 . Радиус кривизны капли в верхней ее точке R. Чему равна масса капли, если ее высота h, радиус соприкосновения капли с горизонтальной плоскостью, на которой она находится, равен r? Плотность жидкости ρ, поверхностное натяжение σ, плоскость не смачивается жидкостью.

♦4.5.25. На четыре ртутных шарика, лежащих на горизонтальной плоскости, осторожно кладут квадратную пластинку так, как изображено на рисунке (вид сверху). Радиус каждого шарика 1 мм, масса пластины 80 г, поверхностное натяжение ртути 0,465 Н/м. Смачивания нет. На каком расстоянии от горизонтальной плоскости будет находиться нижняя поверхность пластины?

4.5.26. Какую работу против сил поверхностного натяжения нужно совершить, чтобы разделить сферическую каплю ртути радиуса 3 мм на две одинаковые капли?

4.5.27 . Оцените, на каком расстоянии от крана радиус струи воды уменьшится в полтора раза. Скорость выходящей из крана воды 0,3 м/с, начальный радиус струи 2 мм.

§ 4.6. Капиллярные явления

4.6.1. а. При удалении с поверхности ткани жирового пятна рекомендуется смачивать пропитанной бензином ваткой края пятна, а не само пятно. Почему?

б. Для того чтобы мазь лучше впитывалась в лыжные ботинки, как их нужно нагревать: снаружи или изнутри?

120