Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike

жидкости, считая, что свободная поверхность ее в каждой части сосуда остается

3.2.35. Определите частоту вертикальных колебаний длинного цилиндрического ареометра, погруженного в жидкость, налитую в цилиндрический стакан, если радиус стакана много меньше глубины H, на которой ареометр находится в состоянии равновесия.

♦ 3.2.36 . В цилиндрическом сосуде радиуса R находится поршень длины l, соединенный пружиной жесткости k со стенкой сосуда. По оси поршня имеется сквозной канал радиуса r. Все свободное пространство в сосуде заполнено жидкостью плотности ρ.

Найдите частоту колебаний поршня, если l R и масса поршня равна m. 3.2.37 . После загрузки корабля период колебаний его по вертикали уве-

личится с 7 до 7,5 с. Какова масса груза? Сечение по ватерлинии S = 500 м2. Характер вовлечения воды в движение считать не изменившимся при загрузке.

§ 3.3. Гармоническое движение

3.3.1.Тело массы m, прикрепленное к пружине, свободно колеблется. Смещение тела зависит от времени по закону x = A cos ωt. Как меняются со временем скорость и ускорение? Как зависит сила, действующая на тело, от его смещения

иот времени? Чему равна жесткость пружины?

3.3.2.Амплитуда колебаний математического маятника 5 мм, длина его нити 1 м. Как зависит смещение шарика от времени? За начало отсчета времени принять: а) момент прохождения положения равновесия слева направо; б) момент прохождения крайнего правого положения.

3.3.3.Груз, свободно колеблющийся на пружине, за время 0,01 с сместился с расстояния 0,5 см от положения равновесия до наибольшего, равного 1 см. Каков период его колебаний?

3.3.4.Частота свободных колебаний тела равна ω. Через какое наименьшее время его кинетическая энергия уменьшается вдвое по сравнению со своим наибольшим значением?

3.3.5.Найдите период колебаний математического маятника длины l, если на пути нити на расстоянии l/2 вниз по вертикали от точки подвеса вбит гвоздь.

3.3.6.Найдите период колебаний тела в задаче 3.1.7.

♦3.3.7 . Гладкую однородную веревку длины l удерживают в вертикальном колене изогнутой трубы так, что нижний конец ее касается горизонтальной части трубы. Веревку отпускают. Через какое время она полностью окажется в горизонтальном колене? Трением пренебречь. Как изменится это время, если вначале часть веревки уже находилась в горизонтальном колене?

♦3.3.8 . Воздушный шарик при слабом ударе о стенку деформируется, как показано на рисунке. При этом максимальная деформация шарика x много мень-

ше его радиуса R. Пренебрегая изменением избыточного давления p воздуха в шарике и упругостью оболочки, оцените время соударения со стенкой. Масса шарика m.

♦3.3.9. Докажите, что пучок частиц будет собираться (фокусироваться) в

некоторых определенных точках оси OO0, если скорость каждой частицы пучка

в сечении OO00 равна v0, а сила, действующая на частицу, F = −kr, где r — расстояние от частицы до оси пучка. На каком расстоянии от сечения OO00 фокусируются частицы, если масса каждой из них равна m?

♦3.3.10. Из нижней точки гладкого горизонтального цилиндрического желоба радиуса R под небольшим углом к его образующей выскальзывает со скоро-

стью v0 маленький шарик. Сколько раз на длине l он пересечет нижнюю образующую желоба?

♦3.3.11. К наклонной стене подвешен маятник длины l. Маятник отклонили от вертикали на малый угол, в два раза превышающий угол наклона стены к вертикали, и отпустили. Найдите период колебаний маятника, если удары о стену абсолютно упругие.

♦3.3.12. Один конец пружины прикреплен к стене, на втором — шарик, ко-

леблющийся с амплитудой A и периодом T0. На каком расстоянии от положения равновесия шарика нужно поставить плиту, чтобы период его колебаний стал равным T ? Удары шарика о плиту абсолютно упругие.

♦3.3.13. Груз массы m падает с высоты H на пружину жесткости k и длины h, нижний конец которой прикреплен к полу. Определите время контакта груза с пружиной, если mg < 2k(H − h).

♦3.3.14. По гладкой горизонтальной плоскости со скоростью v скользит тонкий однородный брусок длины l. Брусок наезжает на обширный шероховатый

82

участок плоскости. Через какое время брусок остановится, если коэффициент трения равен µ?

♦ 3.3.15 . Стрелок пытается попасть в диск радиуса R, который колеблется гармонически так быстро, что стрелок не может за ним уследить. Тогда он целится в центр области движения диска. С какой вероятностью стрелок попадет в диск, если амплитуда колебаний диска a R? Если A = 2R? Увеличится ли вероятность попадания, если стрелок будет целиться в точку на расстоянии R от края области?

♦3.3.16. К одному концу первоначально недеформированной и неподвижной пружины жесткости k прикреплен груз массы m. Свободный конец пружины стали тянуть с постоянной скоростью, как показано на рисунке, пока он не переместился на расстояние d. Затем

его резко остановили. При какой скорости этого конца пружины груз после остановки не будет колебаться? Сформулируйте аналогичную задачу для математического маятника.

3.3.17.Два одинаковых маятника имеют общую точку подвеса. Одному маятнику толчком сообщили некоторую скорость, затем через время τ другому маятнику тоже толчком сообщили такую же скорость. Через какое время после начала движения первого маятника оба маятника встретятся, если период их колебаний равен T , а τ < T/2?

♦3.3.18. Тело массы m, подвешенное на пружине жесткости k, лежит на подставке. Подставку мгновенно убирают. Опишите движение тела, если первоначально пружина: а) не деформирована; б) сжата и ее деформация равна l.

♦3.3.19. Пуля массы m, летящая со скоростью v, попадает в тело массы M, связанное со стенкой пружиной жесткости k, и застревает в нем. Выбрав момент попадания пули за начало отсчета времени, найдите зависимость скорости и координаты тела от времени.

♦3.3.20. По горизонтальной плоскости со скоростью v скользят два шарика одинаковой массы m, связанные недеформированной пружиной жесткости k. Шарики налетают на вертикальную упругую стенку. Опишите последующее движение шариков. Произойдет ли повторный удар их о стенку?

83

3.3.21 . Тела массы m1 и m2 связаны первоначально недеформированной пружиной. Телу массы m1 сообщают ударом скорость v, направленную вдоль пружины. Как с течением времени станут меняться скорости этих тел, если частота свободных колебаний тел равна ω?

3.3.22. На тело, связанное со стенкой пружиной и находящееся в равновесии, начала действовать вдоль пружины постоянная сила F . Чему равно наибольшее значение силы натяжения пружины и через какое время после включения начала действия на тело силы F оно достигается? Период свободных колебаний тела T .

3.3.23 . В момент времени t0 координата тела, совершающего колебания с частотой ω, равна x0, а скорость равна v0. Докажите, что зависимость координаты тела от времени можно представить в виде

x = x0 cos ω(t − t0) + (v0/ω) sin ω(t − t0).

3.3.24 . Тело массы m, подвешенное на пружине, колеблется по закону x = A0 cos ωt. С момента времени t0 на тело начинает действовать вдоль пружины постоянная сила F . Определите амплитуду колебаний относительно нового положения равновесия. При каком t0 эта амплитуда наибольшая? наименьшая?

♦3.3.25 . На горизонтальной ленте транспортера, движущейся со скоростью u, находится груз массы m, связанный пружиной жесткости k с неподвижной стенкой. Пусть в начальный момент пружина не деформирована и груз из-за трения движется вместе с лентой. Определите амплиту-

ду возникших колебаний.

3.3.26 . Пусть в условии задачи 3.3.25 начальная скорость груза нулевая, а коэффициент трения равен µ. При какой скорости ленты движение груза будет гармоническим колебанием? Как зависит амплитуда установившихся колебаний

от скорости ленты u?

3.3.27 . На горизонтальной плоскости лежит тело массы M, связанное пружиной жесткости k с неподвижной стенкой. Тело оттянули на расстояние l от положения равновесия и отпустили. Совершив n колебаний, тело остановилось. Чему равен коэффициент трения между телом и плоскостью, если после остановки тела пружина оказалась недеформированной?

♦3.3.28. К маятнику AB с шариком массы M подвешен маятник BC с шариком массы m. Точка A совершает гармонические колебания по горизонтали с частотой ω. Найдите длину нити BC, если известно, что нить AB все время остается вертикальной.

3.3.29.Тело массы m колеблется по закону x = A cos (ωt + ϕ). Найдите зависимость силы, действующей на тело, от времени. Чему равно ее наибольшее значение? В какие моменты сила принимает наибольшее по модулю значение?

3.3.30.Горизонтальная мембрана совершает гармонические колебания по вертикали с частотой ω и амплитудой A. На мембране лежит маленький груз.

84

При каком условии он будет колебаться вместе с мембраной, а при каком — начнет отскакивать? Ниже или выше среднего положения мембраны происходит отрыв груза от ее поверхности?

♦ 3.3.31. Для измерения малых амплитуд колебаний мембраны, совершающей гармонические колебания высокой частоты ω, применяется «молоточек», включенный в электрическую цепь с мембраной и телефоном. Молоточек массы m прижимается к мембране с силой, которая регулируется микрометрическим винтом. Когда контакт молоточка с мембраной прерывается, прерывается ток в цепи и в телефоне слышно дребезжание. Определите амплитуду колебаний, если дребезжание началось с момента, когда сила, с которой молоточек прижимается к мембране, достигла значения F .

3.3.32. На горизонтальной плите лежит груз. Плита начинает двигаться вверх, совершая по вертикали гармонические колебания с частотой ω и амплитудой A. На какую высоту от начального положения плиты подскочит груз после своего отрыва от ее поверхности?

3.3.33 . С какой амплитудой должна колебаться плита (см. задачу 3.3.32), чтобы наступил своеобразный резонанс: груз, подбрасываемый плитой, после каждого удара увеличивал бы высоту своего подъема? Удары считать абсолютно упругими.

♦ 3.3.34 . Пьезокварцевая пластинка колеблется с частотой ω = 107 с−1. На торец пластинки положили тело массы, сравнимой с массой пластинки. Коэффициент трения между телом и пластинкой µ = 1. Оцените, при какой амплитуде колебаний наличие этого тела существенно влияет на частоту колебаний пластинки. Оцените наибольшую скорость тела в установившемся колебательном режиме в случае, когда амплитуда колебаний пластинки A = 10−6 см.

3.3.35. Поверхность тел, колеблющихся с ультразвуковой частотой, кажется скользкой на ощупь, а предметы, помещенные на эту поверхность, «плывут» по ней от малейшего приложенного к ним усилия. Объясните это.

♦3.3.36 . Наклонная плоскость совершает гармонические колебания с большой частотой вдоль своей поверхности. Каково установившееся движение тела, находящегося на ней? Какова средняя скорость этого тела за большое время, ес-

ли tg α µ, где α — угол наклона плоскости, µ — коэффициент трения, v0 — амплитуда скорости наклонной плоскости?

§3.4. Наложение колебаний

♦3.4.1. Концы пружин могут скользить без трения по неподвижной вертикальной рамке, другими концами они прикреплены к телу массы m. Какой

характер носит движение тела в общем случае, когда k1 6= k2? В каких направлениях возможно прямолинейное движение и как его возбудить?

3.4.2.Пусть в условиях задачи 3.4.1 k1 = k2 = k/2. Убедитесь, что в плоскости рамки возможны прямолинейные колебания в любом направлении. Каким способом нужно возбуждать колебания, чтобы движение тела происходило по окружности? Докажите, что при любом способе возбуждения траектория движения тела замкнутая. Найдите период движения тела.

3.4.3.а. Математический маятник совершает малые колебания в одной плоскости. Амплитуда его колебаний A, частота ω. В момент максимального отклонения шарику маятника сообщили небольшую скорость v, направленную перпендикулярно плоскости колебаний. По какой траектории будет двигаться шарик маятника после этого? В каких пределах будет изменяться расстояние от шарика до положения равновесия?

б . Ответьте на первый вопрос для случая, когда скорость v сообщена шарику в момент, когда он находится на расстоянии x от положения равновесия. ♦ 3.4.4. Движение электронного луча по экрану осциллографа описывается уравнениями

x = A cos (ωt − ϕ), y = A cos (ωt + ϕ).

Для удобства измерений перед экраном помещена квадратная сетка. Определите по рисунку сдвиг фаз обоих колебаний.

3.4.5 . В условиях задачи 3.4.4 определите, при каком сдвиге фаз на экране виден отрезок; окружность. За время 2π/ω след луча на экране не успевает погаснуть. Докажите, что в случае произвольного постоянного ϕ

след луча на экране представляет собой эллипс с полуосями, лежащими на диагоналях квадрата. Найдите эти полуоси.

3.4.6.При изучении гармонических колебаний осциллятора электрическое напряжение, пропорциональное смещению осциллятора, подается на x-пластины осциллографа, а напряжение, пропорциональное скорости, — на y-пластины. Какую картину мы увидим на экране?

3.4.7.Отклонение луча осциллографа описывается уравнениями

x = A cos [(ω − Ω/2)t], y = A cos[(ω + Ω/2)t],

86

где Ω ω, причем след луча на экране гаснет за время, много меньшее 2π/Ω. Какую картину мы увидим на экране осциллографа?

♦ 3.4.8. На x- и y-пластины осциллографа подают гармонические сигналы, и на экране появляются картины, изображенные на рисунке. Как относятся периоды колебаний по x и y в случаях а–г?

3.4.9.Точка, совершающая гармонические колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях x, y, движется по траектории, которая называется фигурой Лиссажу. Докажите, что если частоты колебаний относятся как целые числа, то эта фигура — замкнутая кривая. Какой вид имеет фигура Лиссажу при равных частотах?

3.4.10.Докажите, что если амплитуда гармонических колебаний точки по оси x равна A, а по оси y равна B, то фигура Лиссажу вписывается в прямоугольник со сторонами 2A по оси x и 2B по оси y. Пусть фигура касается горизонтальных сторон этого прямоугольника в p = 3 точках, а вертикальных —

вq = 4 точках. Как относятся частоты этих колебаний?

♦ 3.4.11 . Два шарика массы m1 и m2, прикрепленные к одинаковым пружинам, могут колебаться, скользя по бруску массы M без трения. Брусок лежит на горизонтальной плоскости. Шарики связаны нитью, сила натяжения которой F . Нить пережигают. При каком наименьшем коэффициенте трения между плоскостью и бруском тот не сдвинется с места?

3.4.12 . Концы пружины жесткости k перемещают в продольном направлении по гармоническому закону:

x1 = A1 cos (ωt + ϕ1), x2 = A2 cos (ωt + ϕ2);

при этом средняя за период сила натяжения пружины равна нулю. Как меняется эта сила со временем? Определите наибольшую и среднюю за большое время энергию пружины. При какой разности фаз ϕ2 − ϕ1 средняя энергия пружины наибольшая? наименьшая?

3.4.13 . Пусть концы пружины (см. задачу 3.4.12) перемещаются с разной частотой:

x1 = A cos ω1t, x2 = A cos ω2t.

Как в этом случае меняется сила натяжения пружины со временем? Постройте график зависимости силы натяжения от времени в случае близких частот. Почему здесь можно говорить о биениях? Определите в случае неравных амплитуд и частот среднюю энергию пружины за большое время.

3.4.14.Частица при действии на нее силы F = F0 cos ωt колеблется по закону x = A cos (ωt − ϕ). Какова средняя мощность этой силы?

87

♦ 3.4.15. а. Двум шарикам массы m, которые связаны друг с другом и стенками тремя пружинами жесткости k, одновременно сообщили одинаковую по модулю скорость, направленную вдоль пружин. Найдите частоту колебаний шариков, если их скорости противоположно направлены. Одинаково направлены.

б. Свободные колебания сложных систем являются суммой (наложением) нескольких гармонических колебаний с разными частотами. Если первому шарику в задаче 3.4.15а сообщить вдоль пружины скорость v, то последующее движение шариков будет суммой двух движений: движения шариков, которым сообщили скорость v/2 и −v/2, и движения шариков, которым сообщили скорость v/2 и v/2. Определите, пользуясь этим, скорость шариков в последующие за началом колебаний моменты времени. Чему равно максимальное смещение первого шарика? второго? максимальное удлинение средней пружины?

в. Решите задачу 3.4.15б в случае, если первому шарику сообщили скорость 3v, а второму скорость v.

3.4.16 . Атому кислорода в молекуле углекислого газа сообщили небольшую скорость v в направлении к атому углерода. Определите, на сколько приблизится атом кислорода к атому углерода. Масса атома кислорода равна M, атома углерода m, а жесткость связи между атомами равна k.

♦3.4.17 . Собственные частоты двойного маятника равны ω1 и ω2. Длина нити, связывающей шарики маятника, равна l. В состоянии равновесия нижнему шарику сообщили небольшую скорость v. Определите максимальное отклонение нижнего шарика от положения равновесия и длину нити, связывающей верхний шарик с потолком.

♦3.4.18. Малые колебания маятников, связанных пружиной, происходят по закону

x1 = B cos (ω0t + ϕ) + A cos ωt,

x2 = B cos (ω0t + ϕ) − A cos ωt.

Определите жесткость пружины, связывающей маятники. В положении равновесия маятники вертикальны, масса каждого шарика m.

♦ 3.4.19. На рисунке изображен график зависимости координаты от времени для движения, являющегося суммой двух гармонических колебаний. Определите по нему амплитуды и частоты этих колебаний.

88

§ 3.5. Вынужденные и затухающие колебания

3.5.1.Маятник массы m подвергается кратковременным ударам, за каждый

из которых ему передается импульс p0. Постройте график движения маятника, если известно, что вначале он покоился, что затухания колебаний нет, а уда-

ры следуют друг за другом через промежутки времени T0 и T0/2 (T0 — период свободных колебаний маятника).

3.5.2.Гармоническому колебанию тела массы m можно сопоставить движение точки по окружности, радиус которой совпадает с амплитудой колебаний A тела, а угловая скорость — с частотой ω. Координата x этой точки совпадает с координатой тела, а координата y, умноженная на mω, — с импульсом тела p. Кривые, описывающие движение тела в переменных p, x, называются фазовым

портретом. Постройте фазовый портрет для маятника задачи 3.5.1.

3.5.3 . В условиях задачи 3.5.1 маятник имел в нулевой момент скорость v0

икоординату x0. Какой будет амплитуда колебаний после n ударов, если первый из них произошел в нулевой момент? Постройте фазовый портрет.

3.5.4.Ваша приятельница сидит на качелях. Вы раскачиваете их кратковременными толчками. Как это нужно делать, чтобы раскачивание проходило наиболее успешно?

3.5.5.Через ручей переброшена длинная упругая доска. Когда мальчик стоит на ней неподвижно, она прогибается на 0,1 м. Когда же он идет со скоростью 3,6 км/ч, то доска начинает так раскачиваться, что он падает в воду. Какова длина шага мальчика?

3.5.6.Грузовики въезжают по грунтовой дороге на зерновой склад с одной стороны, разгружаются и выезжают со склада с той же скоростью, но с другой стороны. С одной стороны склада выбоины на дороге идут чаще, чем с другой. Как по состоянию дороги определить, с какой стороны склада въезд, а с какой выезд.

3.5.7.Катер, плывущий по морю, начинает сильно раскачиваться, хотя волны сравнительно невысокие. Капитан изменяет курс катера и его скорость. Удары волн о катер становятся при этом в два раза чаще, но тем не менее размах колебаний катера значительно уменьшается. Объясните это.

3.5.8.Казалось бы, стреляя из рогатки в мост в такт его собственным колебаниям и сделав очень много выстрелов, его можно сильно раскачать, однако это вряд ли удастся. Почему?

3.5.9.Сила сопротивления в жидкой или газообразной среде при небольших скоростях движения пропорциональна скорости тела и направлена против нее: f = −bv. Как зависит рассеиваемая при движении тела мощность от его скоро-

сти?

3.5.10 . Пусть кинетическая энергия осциллятора K = mv2/2, а потен-

циальная U = kx2/2. Покажите, что наличие «потерь» мощности Nп = bv2

89

осциллятора эквивалентно наличию добавочной силы f = −bv, действующей на него.

3.5.11. Качественно опишите движение вначале покоившегося осциллятора под влиянием одиночного толчка и серии одинаковых толчков, следующих друг за другом через период, и постройте фазовый портрет этого осциллятора, если сила сопротивления движению пропорциональна его скорости.

3.5.12 . Колебательную систему при наличии сопротивления называют осциллятором с затуханием, а его колебания в отсутствие силы, их поддерживающей, — затухающими. Покажите, что уравнения движения двух осцилляторов, сила сопротивления движению которых f1 = −b1v1, f2 = −b2v2, при k1/m1 = k2/m2 = ω02 и b1/m1 = b2/m2 = 2γ имеют одинаковое решение при одинаковых начальных координатах и скоростях (ω0 — частота свободных колебаний в отсутствие трения, γ — коэффициет затухания, k1, k2 — жесткость и m1, m2 — масса осцилляторов).

3.5.13. Покажите, что если затухающие колебания осциллятора происходят по закону x1 = x1(t) и v1 = v1(t), то колебания такого же осциллятора с начальными условиями x2(0) = nx1(0), v2(0) = nv1(0) происходят по закону x2 = nx1(t), v2 = nv1(t).

3.5.14.Затухание осциллятора может быть столь велико, что движение его перестанет носить колебательный характер. Оцените по порядку величины, при каком соотношении величин γ и ω0 это произойдет (см. задачу 3.5.12).

3.5.15.Пусть затухание достаточно слабое, так что осциллятор, выйдя из начального равновесного положения со скоростью v, через время T снова проходит положение равновесия со скоростью v/n, n > 1. Что можно сказать про скорость осциллятора через время 2T , 3T ?

3.5.16.Амплитуда затухающих колебаний осциллятора за время τ уменьшилась вдвое. Как за это время изменилась механическая энергия осциллятора? За какое время его энергия уменьшилась вдвое?

3.5.17.На горизонтальные пластины осциллографа подается сигнал, пропорциональный смещению осциллятора, совершающего слабозатухающие колебания, а на вертикальные — сигнал, пропорциональный его скорости. Изобразите след луча на экране осциллографа.

3.5.18.Если в момент t = 0 осциллятор, колеблющийся с за-

утверждению.

♦ 3.5.19. По виду зависимости x от t для затухающих колебаний, полученному на экране осциллографа, определите величину γ и ω. Почему при γ ω0 можно считать, что ω ≈ ω0?

3.5.20. а. Два следующих друг за другом наибольших отклонения в одну сторону секундного маятника отличаются друг от друга на 1%. Каков коэффициент затухания этого маятника?

90