Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike

r

5.11.17. а. На хвост кометы действует давление солнечных лучей. б. r ≈ 1 мкм.

Глава 6. ЭЛЕКТРОСТАТИКА

§ 6.1. Закон Кулона. Напряженность электрического поля

6.1.1.а. F = 1,8 · 104 Н. б. F = 2,3 · 10−8 Н. В 4,17 · 1042 раз.

6.1.2.q ≈ 1,05 · 10−5 Кл ≈ 3,16 · 104 СГС.

6.1.3.а. E = 1 В/м = 3,3 · 10−5 СГС. б. E = 3 · 105 В/м = 10 СГС.

На заряд 0,001 Кл F1 = 9 · 107 Н, F2 = 2,25 · 105 Н;

на заряд 1000 СГС F1 = 3 · 109 дин, F2 = 7,5 · 106 дин.

6.1.5.F = 2,56 · 109 Н.

6.1.6.q = 3,5 · 103 Кл.

6.1.8. На расстоянии x = l√q1/(√q1 + √q2 ) от заряда q1. Да. Нет.

√

6.1.9. q = l 8πε0mg.

12 q2

6.1.10.T = 4πε0l2 Q − 3√3 .

6.1.11.β = 2 arctg(q/Q)2/3, α = π − β.

6.1.12.r = 1,4 · 10−8 см.

6.1.20.б. Да. √

6.1.21.а. q = 10 Q. б. q = 9Q.

§ 6.2. Поток напряженности электрического поля. Теорема Гаусса

6.2.1.а. Φ = El2/2. б. Φ = −Eh2, Φ = Eh2.

6.2.2.Φ = E cos α · π(R2 − r2).

6.2.4.F = σΦ.

6.2.5.а. F1 = F2 = qσ/(2ε0), E = σ/(2ε0). б. F = σq/(4ε0).

пластины); E = ρh/(2ε0) при x > h/2.

322

В качестве замкнутой поверхности построим куб, немного б´ольший данного. Тогда все шесть заряженных граней дают поток напряженности электрического поля через все шесть сторон построенной поверхности Φ = q/ε0 = 6σl2/ε0, а через одну грань Φ0 = σl2/ε0. Но

Значит, сила F = σ2l2/(2ε0). Аналогично рассуждая, для тетраэдра получим

F= √3 σ2l2/(8ε0).

6.2.9.Между плоскостями E1 = σ/ε0, E2 = 0. Вне плоскостей E10 = 0, E20 = σ/ε0.

6.2.10.E1 = (σ/ε0) sin(α/2), E2 = (σ/ε0) cos(α/2).

6.2.11.Eмакс = ρh/ε0.

6.2.12.EA = ρh/(6ε0), EB = ρh/(3ε0), E(r) = ρr/(3ε0).

6.2.13 . В любой точке внутри полости напряженность поля направлена вдоль прямой,

323

§ 6.3. Потенциал электрического поля.

Проводники в постоянном электрическом поле

6.3.1. а. v = 107 м/с. б. v = 1,25 · 106 м/с.

√

6.3.2. а. ϕ = 850 В. v = 3 · 107 м/с. б. v = 8,8 · 106 м/с.

6.3.3. ϕ = 2,7 · 108 В.

√

6.3.4.ϕ = 2 q/(πε0l).

6.3.5.ϕ ≈ −11,9 В.

6.3.6.ϕ = 13,5 кВ = 45 СГС.

6.3.7.ϕ = Q/(4πε0R). Нет. Да.

6.3.10.б. Eмакс = nQ/(4πε0R2), Eмин = Q/(4πε0R2). в. E = ρ(2πb).

6.3.11.σ10 = (σ1 + σ2)/2, σ100 = (σ1 − σ2)/2, σ20 = −(σ1 − σ2)/2, σ200 = (σ1 + σ2)/2.

6.3.12.а. ϕ = 37,7 СГС = 11,3 кВ. б. ϕ = 18,8 СГС = 5,65 кВ.

6.3.13.ϕ3 − ϕ1 = [(σ3 − σ1)(h1 + h2) + σ2(h1 − h2)]/(2ε0).

6.3.14.E12 = ϕ/a; E23 = ϕ/b.

6.3.15.а. Напряженность поля вблизи верхней пластины Eв = σb/[ε0(a + b)], вблизи

нижней Eн = σa/[ε0(a + b)]. Соответственно поверхностная плотность σв = −σb/(a + b),

σн = −σa/(a + b).

б. qa = −qb/(a + b); qb = −qa/(a + b).

6.3.16. Q0 = −Q, σ = Q/(4πR2), E = (Q + q)/(4πε0L2). Нет. Нет.

6.3.17 . Поверхность полости имеет заряд −q, а поверхность проводника имеет заряд q, который (за исключением области вблизи концов проводника) равномерно распределяется по поверхности проводника. Поэтому E = 0 при 0 < x < r, E ≈ q/(2πε0xL) при r < x < R, E = 0 при x > R; x — расстояние от оси.

6.3.18. Поверхностная плотность заряда на соответствующих участках поверхности проводника останется прежней.

♦6.3.19. См. рис.

6.3.20.ϕ1 = q/(4πε0r), ϕ2 = q/(8πε0r), ϕ3 = 0.

6.3.21.qr = −8πε0rϕ, q2r = 16πε0rϕ.

6.3.22.ϕ1 = ϕ(R2 − R1)/R2, ϕ2 = ϕR1/R2.

6.3.28. F = Q2/(16πε0h2).

6.3.29. F = 3Q2/(32πε h2).

√0

6.3.30. Нет. F = q2(2 2 − 1)/(32πε0l2).

324

6.5.11.A = 2EσdS.

6.5.12.а. σ = ε0E, P = ε0E2/2. б. A = ε0E2hS/2.

6.5.13.A = σ2Sh/(2ε0).

6.5.14.A = ε0ShE0(E0 − E).

6.5.15.W = Q2/(8πε0R) (в СИ); W = Q2/(2R) (в СГС).

6.5.16.r = 1,4 · 10−15 м.

6.5.17.В 1400 раз.

6.5.18 . W = 3Q2/(20πε0R). 6.5.19. A = Q2/(8πε0R).

6.5.25.W = Q2/(4πε0l).

6.5.26 . A = (Q1 ϕ1 + Q2 ϕ2)/2.

6.5.27 . а) F = 2Q2dc(d − c)/[ε0a3(2d − c)2];

б) F = ε0acV 2/[2d(d − c)]. 6.5.28. A = Q2ab/[2Sε0(a + b)]. 6.5.29 . F = q2Sd/(8π2ε0r5).

♦ 6.5.30 . Напряженность поля зарядов, распределенных по сферической оболочке, отверстие в которой закрыто пробкой, в центре сферы равна нулю и может быть представлена в виде

E(0) = Eпробки + Eсферы без пробки = 0.

При r R поле пробки является полем диполя, напряженность поля которого в точке O равна Eпробки(0) = q0 /(2πε0R3). После удаления пробки перераспределение зарядов на оставшейся части сферической оболочки при r, будет незначительным, и для оценки можно считать, что

E(0) = Eсферы без пробки ≈ −Eпробки = −q0 /(2πε0R3).

По теореме Гаусса q0 = −qr2/(4R2). С учетом этого имеем

E(0) = q2r2 /(8π0εR5).

§ 6.6. Электрическое поле при наличии диэлектрика

6.6.2.p = 7,4 · 10−37 Кл · м.

6.6.3.pср = 1 · 10−34 Кл · м.

6.6.4.σпр = ±σ(ε − 1)/ε. Напряженность поля:

E= σ/(ε0ε) — в диэлектрике,

E= σ/ε0 — в зазоре.

Разность потенциалов между пластинами V = (σ/ε0)(d − h + h/ε).

p

6.6.5. E = E0 sin2 +(cos2 α)/ε2.

6.6.10.V = k(ε − 1)V/n.

6.6.11.C = ε0(ε1 + ε2)S/(2d).

6.6.13. C = ε0d2(ε − 1)(S2 − S1) + ε0εd1S1 . d1(d1 − d2) + d1d2

326

♦6.6.18. σвнутр = 4πεr2 , σвнеш = 4πεR2 . См. рис.

6.6.21.h = ε0(ε − 1)V 2/(2ρgd2).

6.6.22.h = (ε − 1)Q2/(2ε0ερgS2).

−

6.6.26. Дипольные моменты в диэлектрике ориентируются в электрическом поле с запаз-

6.6.28. r = 0,12 нм. 6.6.29. p = 4πε0r3E. 6.6.30. ε = 1 + 4πr3n.

Глава 7. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

ВЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

§7.1. Движение в постоянном электрическом поле

7.1.1.Когда начальная скорость частицы направлена вдоль прямой силовой линии.

7.1.2.t = 0,56 мкс; x = 2,8 м.

7.1.3.E = 2(d − vt)m/(qt2).

327

7.1.7.N = neUbl2/(2mevd).

7.1.8.q = 10−17 Кл.

7.1.12 . V = (V0/2)/ ln(R2/R1).

7.1.13. Скорость не изменится, а время пролета позитрона будет больше. Позитрон может

вообще не долететь до точки B, если его начальная кинетическая энергия K0 будет меньше eϕ0.

√

7.1.14 . t0 = t 3.

√

7.1.15.n.

ности будет приход электрона в среднюю точку отрезка, соединяющего центры сфер, с нулевой скоростью.

7.1.24 . t = πε0R(mev2)2/(2e2C).

7.1.25 . α = π/4; δ ≈ 4K(Δα)2/(eE).

7.1.26.k = l/(2d).

7.1.27.б. p1 = q1q2/(2πε0vr). в. l = 3,4 · 10−13 м.

7.1.28 . k = 1/(2ε0).

7.2.3. а. В k раз увеличится. б. В k раз уменьшится.

7.2.5.y = y0f/(x0 − f).

♦7.2.6. а. Не зависит. б . Если электрон движется по траектории, близкой к прямой AA0,

то поперечный импульс, который получит электрон в области отверстия, близок к p = eΦ/(2πrv), где Φ = πr2E — поток напряженности электрического поля через поверхность ци-

линдра радиуса r в области отверстия, v — скорость электрона в этой области. Фокусное расстояние f = −r · mev/p = − 2mev2/(eE) = −4d. (Знак минус у f означает, что происходит рассеяние электронов.)

328

8dV0/V от первой обкладки при V > 8V0.

7.2.8 . f = d(4V0/V )2.

♦ 7.2.9. Частица массы m, имеющая заряд q и пролетающая со скоростью v через заря-

7.2.10. На расстоянии f = 2R(V0/V )2 от центра сфер.

7.2.12.E = (a − b)2/(16d2).

(2E E )/(E E )2.

§ 7.3. Движение в переменном электрическом токе

7.3.1. t = 2mel/(eEτ).

ss

ss

7.3.3.νмакс ≈ 109 Гц.

7.3.4.а. S = Ll/(2V d). б. S = 0,09 мм/В.

7.3.5.Окружность радиуса 5 см.

p

7.3.6.ν > l 2eV/me.

7.3.7.V = πδντ/(2S).

329

el2f2

7.3.8.me = 2V (n + 1/2)2 , где n — целое число.

s

( )

r

7.3.13 . Из-за ухода из плазмы электронов, ускоренных высокочастотным электрическим полем, потенциал ее будет увеличиваться до тех пор, пока не перестанут выходить из нее даже

q

7.3.14 . A = eE0/[me (ω2 − ω02)2 + 4γ2ω2 ].

q

7.3.15 . ε = 1 + 4πnee2/[me (ω2 − ω02)2 + 4γ2ω2 ].

§ 7.4. Взаимодействие заряженных частиц

p

7.4.6.v = q1q2(m1 + m2)/[2πε0m1m2(R1 + R2)].

7.4.7.rмин = de2/(e2 + 4πε0mev2d cos α).

го угла в точку A поместить заряд +q, то в области вне проводника электрическое поле, а следовательно, и силы не изменяются. Это позволяет рассмотреть движение системы из четырех зарядов, изображенной на рисунке.

q

7.4.11.v = 4e2r2/[πε0me(4r2 + R2)3/2].

7.4.12.Kмин = Ze2/(8πε√0r).

. Kмин = e2(2 − 2 )/(4πε0r).

√√

. nмин = ( 2 − 1)m/M + 2.7.4.137.4.14

330