Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike

3.5.5.Около 63 см.

3.5.6.Выбоины на дороге со стороны въезда расположены реже, чем со стороны выезда.

3.5.7.До изменения курса и скорости катера происходила резонансная раскачка.

3.5.8.С ростом амплитуды увеличиваются потери за период. Когда они сравняются с приростом энергии из-за удара, дальнейшая раскачка прекратится.

3.5.9.N = bv2.

♦ 3.5.11. См. рис. а: после одиночного толчка происходит постепенное затухание колебаний; рис. б: при периодических толчках первоначально происходит раскачка колебаний, а затем, когда прирост энергии порядка pv сравнивается с потерями за период, имеющими порядок bv2T , колебания устанавливаются.

3.5.14.При γω0 ≈ 1.

3.5.15.Скорость осциллятора меньше в n2, n3 раз его начальной скорости.

3.5.16.За τ2 энергия уменьшится вчетверо. За время τ2/2 энергия уменьшится вдвое.

♦3.5.17. См. рис.

3.5.19.γ = 102 с−1, ω = π·103 с−1. Погрешность при замене ω на ω0 квадратично зависит от малой величины γ/ω0.

3.5.20.а. γ ≈ 10−2 с−1. б. γ0 = γ/4.

3.5.21 . а. Q = ω0/(2γ), n = Q/(2π). б. Примерно в 50 раз при Q = 108 и только в

1,5 раза при Q = 109.

t = 0 выполнялись начальные условия x(0) = x0, v(0) = v0.

3.5.28 . x0 = F0/[m(ω02 − ω)], v0 = 0, тогда B = 0.

3.5.29 . Дополнительное ускорение, связанное со свободными колебаниями, умноженное на массу осциллятора, равно дополнительной внутренней силе.

3.5.30. Проведем рассуждения на примере колебаний тела, прикрепленного к пружине. Вынужденные колебания этого тела с частотой, меньшей собственной частоты, можно представить себе как свободные колебания на той же пружине тела с добавочной массой. Силу со

301

стороны этой массы можно рассматривать как вынуждающую. Она направлена против упругой силы, а значит, в направлении смещения. Вынужденные колебания с частотой, большей собственной частоты, можно представить себе как свободные колебания того же тела с прикрепленной к нему добавочной пружиной. Силу упругости со стороны этой пружины можно рассматривать как вынуждающую. Она направлена против смещения.

♦ 3.5.35 . При |ω − ω0| γ первоначально возникшие биения постепенно переходят в вы-

нужденные колебания из-за уменьшения по закону e−γt слагаемого, изменяющегося с частотой ω0. При ω = ω0 первоначальная раскачка колебаний с линейно возрастающей амплитудой плавно уменьшается и устанавливаются вынужденные колебания. Характерное время установления равно времени затухания свободных колебаний τ = 1/γ, когда их амплитуда уменьшится в e раз.

3.5.36.а. F = −2Aγmω0 sin (ω0t − ϕ). б. A = −F0(2γmω0); в ω0/(2γ) раз.

3.5.37.γ = F0/(2x0ωm).

3.5.38.ω0 = 550 с−1, γ = 50 с−1, Q = 5,5.

3.5.39.Около 105 с.

3.5.40.v = ω0λ/(2π).

3.5.41 . Скорость частиц спустя времяt после вылета v = F0 (1 − cos ωt); их средняя mω

скорость vср = F0/(mω); наибольшая скорость Vмакс = 2F0/(mω) достигается этими частицами

F

на расстоянии mω2 π(2n + 1) от источника, где n — целое число.

302

Скорость частиц, испущенных в момент времени t = π/ω, v = F0 (cos ωt − 1); их средняя mω

скорость vср = F0/(mω); наибольшая скорость vмакс = 2F0/(mω) достигается этими частицами по другую сторону от источника на том же расстоянии.

Скорость частиц, испущенных в момент t = π/(2ω), v = F0 sin ωt; их средняя скоmω

рость vср = 0; наибольшая скорость этих частиц vмакс = F0/(mω) достигается на расстоянии F0/(mω2) от источника.

3.5.42 . Циклоида; средняя скорость vср = F0/(mω) направлена по оси x. Если при t = 0 vx = −F0/(mω), а vy = 0, то частица будет двигаться по окружности радиуса r = F0/(mω2).

§ 3.6. Деформации и напряжения. Скорость волн

3.6.1.F/k; (N − 1)F/k.

3.6.2.Увеличится на 10−14 м.

3.6.3.k = ES/L, F = ES(ΔL/L).

3.6.4.k = Ea.

♦3.6.5. См. рис. l = 3 мм.

3.6.6.От 108 до −0,5 · 108 Па.

3.6.7.F = 5 · 104 Н.

3.6.8.На 1,2 · 10−4 м.

3.6.9.l = mal/(2ES).

3.6.10.w = Eε2/2 = σ2/(2E).

3.6.11 . Aмин = π2 Ea4 . 6 l

3.6.12 . ν = k/(k + 2k0). 3.6.13 . ν = k/(k + 2k0).

3.6.14.Увеличивается. ν = 0,5.

3.6.15.κ = 3(1 − 2ν)/E.

3.6.16.Возрастает примерно на 30 м. Плотность воды больше на 50 кг/м3. Энергия в единице объема 2,5 · 106 Дж/м3.

3.6.17.Горизонтальная составляющая силы натяжения нити равна F ; по наклону негоризонтального участка нити находятся вертикальные составляющие силы натяжения, по ним — требуемые силы.

303

♦ 3.6.18. См. рис. Силы, приложенные к точкам изгиба 1, 2, 3: F1 = −F0b/L, F2 = F0(b/L + b/l), F3 = −F0b/l.

3.6.23.5 км/с. Мысленно выделим тонкий стержень в листе стали. Его поперечным смещениям «мешают» соседние участки листа. Жесткость такого стержня больше, чем стержня со свободной боковой поверхностью.

3.6.24.550, 1400 и 340 м/с.

3.6.25.c2 = ρ(P − P0)/[ρ0(ρ − ρ0)].

3.6.26 . При сжатии, плавно убывающем к фронту волны, скорость звука больше у более удаленных участков, возмущения среды догоняют друг друга. В случае разрежения у дальних участков скорость звука меньше, они отстают, возмущение расплывается.

♦3.6.27 . См. рис. Скорость частиц и высота подъема уровня воды в бегущей волне связаны

2arcsin(ω/2ω0)

§3.7. Распространение волн

3.7.7. A = 12,5 · 103 Дж, K/A = 0,25.

304

3.8.15.D ≈ 4ρ1c1/ρ2c2 ≈ 1,1 · 10−3.

3.8.16.При наличии прокладки коэффициент прохождения волны, принимаемой датчиком, увеличивается от 0,25 до 0,41. Появляются вторичные сигналы («эхо-сигналы»), следующие друг за другом с интервалом 2l/c, мощность которых убывает в геометрической прогрессии. При высокой частоте следования сигналов «эхо-сигналы» налагаются друг на друга, тогда подбором толщины прокладки можно добиться почти полного прохождения или отражения сиг-

нала.

3.8.18 . L = 2lc1/c2. n = 1. Нет.

3.8.19. l1 = 1,25 мм, l2 = 2,5 мм.

§ 3.9. Звук. Акустические резонаторы

3.9.1. λ = c/ν = 6,6 м.

3.9.2. l = c/4ν = 82,5 см.

3.9.3. c = 2l/ν.

3.9.4. v1 = 6,8 см/с, v2 = 6,8 · 10−8 м/с, x1 = 0,11 мм, x2 = 1,1 · 10−11 м, P1 = 3 · 10−4 атм, P2 = 3 · 10−12 атм.

3.9.5 . I > 3 кВт/м2.

3.9.6 . F = 2L2ρcv. При ω c/L происходит почти полное выравнивание давления в струе воздуха, поэтому излучение звука слабое.

3.9.7. E = 2πR2ω2A2ρc. Амплитуда давления в волне обратно пропорциональна расстоянию до центра шарика.

3.9.8 . а. Две разбегающиеся волны: скорости

(отсчет координаты x начинается в сечении, где расположен источник действия силы F ) и деформации ε u/c.

б. Между источниками силы возникает стоячая волна:

(отсчет координаты x начинается в точке, расположенной посередине между источниками силы F ). Если на расстоянии l умещается четное число полуволн — мощность результирующей волны максимальная, если умещается нечетное число полуволн — мощность результирующей волны равна нулю.

307

♦б. См. рис.; ω = 2πnc/(2L), где n — целое число, c = ωλ/(2π) — скорость звука. Можно.

3.9.12.νn = n · 2500 Гц. На расстоянии 25 см от его концов.

3.9.13.Уменьшатся в два раза.

3.9.15.ν = c/(2L) = 8,25 Гц.

3.9.16.При изменении высоты столба воздуха, находящегося в сосуде, меняются его резонансные частоты. Звук усиливается при уменьшении разности между частотой камертона и одной из резонансных частот столба воздуха.

3.9.17.50, 250, 450 м и т. д.

3.9.19.Чтобы набор собственных частот инструмента был как можно богаче. Тон понижается с увеличением размера.

3.9.20.В звучание голоса вносят вклад собственные колебания воздуха. Соответствующие длины волн в гелиево-кислородной среде будут неизменны, а частоты возрастут при росте скорости звука. Общий тон голоса повысится. Частота же колебаний камертона не изменится,

той же частоты будет и звук.

3.9.21.F = 4l2ν2µ = 144 Н.

3.9.22.Около пучностей смещений на расстоянии l/6 или l/3 от конца струны.

3.9.23.Из-за трения между рукой и стержнем возникнут большие потери энергии. Они наименьшие для середины стержня, где имеется узел скоростей, наибольшие — для его концов,

где пучность скоростей.

3.9.24 . Основные потери энергии связаны с переходом волны из одной среды (сапфир) в другую (воздух). Коэффициент прохождения

D = 4ρвоздcвозд/ρсапфcсапф = 0,7 · 10−4

(см. задачу 3.8.15). Потери увеличатся примерно в 104 раз.

3.9.25 . Мощность проходящей волны составляет одну и ту же долю от мощности падающей независимо от того, идет звук из воздуха в воду или из воды в воздух, при этом доля эта весьма малая. Иное дело — давление. При отражении звуковой волны в воздухе на границе с водой образуется пучность давления, поэтому в проходящей в воду волне давление почти в два раза больше, чем давление в падающей звуковой волне. (Рассматриваем только нормальное падение волны на границу двух сред; в других случаях качественно картина та же.) Когда же звуковая волна падает на границу раздела из воды, то на этой границе образуется узел давления, и в проходящей в воздух волне давление почти равно нулю. Это приближенное объяснение основано на том, что ρc для волны и воздуха отличаются во много раз (примерно в 330 раз). Можно точно рассчитать изменение давления. Давление в проходящей волне в первой среде

где Pпад2 — давление падающей волны во второй среде. При переходе из воды в воздух давление уменьшается примерно в 150 раз.

308

§ 4.2. Плавание. Закон Архимеда

4.2.1.P = mg/S + P0.

4.2.2.h = H(ρ − ρ1)/(ρ2 − ρ1).

4.2.3.H = (m − ρ1hS)/[S(ρ2 − ρ1)].

♦4.2.4 . Если при малом повороте параллелепипеда вокруг оси, проходящей через точку O,

момент сил, действующих на параллелепипед, будет направлен в сторону, противоположную направлению поворота, его положение устойчиво. Это условие выполняется при

4.2.22.Q = (4/3)πR3ρgH = 410 Дж, ρ — плотность воды.

4.2.23.A = 2,5 · 106 Дж.

4.2.25 . F = (4/3)πr3(R − r)ρω2.

p

4.2.26.ω = (g tg α)/[R − (l + r) sin α].

4.2.27.F ≈ (m1 − m2)ω2R/2.

§ 4.3. Движение идеальной жидкости

4.3.1. 28,5; 27,0; 25,6 м/с. На двенадцатый этаж.

310