Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike

♦ 1.1.23 . См. рис. Нулевая у стенок. Наибольшая в любом месте на расстоянии от стенок, большем 2R, и равная 2R/(L−2R) при L > 4R; в любом месте на расстоянии от стенок, большем L − 2R, и равная единице при 4R > L > 2R.

§ 1.2. Движение с переменной скоростью

2 R − r

1.2.1. vср = v ; направлена по границе раздела.

π R + r

1.2.2. t = 12 с, x = 24 м.

1.2.3. L = v0t + v0(t − t0)2 . 2t0

1.2.4. Любой график с изменением координаты за указанное время на 20 м и с наибольшим «наклоном» касательной 15 м/с.

1.2.5. x > l(v1/v2 − 1).

1.2.6. x = (π/4)v0t0.

1.2.7. Средняя скорость больше начальной, а конечная скорость нулевая.

√

1.2.8 . v = La.

p

1.2.9.v = N/b.

1.2.10.t = R/q.

πv3t2 tg2 α

1.2.11 . а. v = 0 . s

r

1.2.14. v1 = 43 м/с; v2 = 423 м/с.

♦ 1.2.15. См. рис.; v = 600 м/с. От 6 до 6,9 км. x = 6,9 км.

Проверьте равенство площадей

на графике ускорения над и под осью t.

1.2.16. 4 и 16.

♦ 1.2.17. См. рис. Отношение модулей ускорения равно 2.

♦ 1.2.18. См. рис.

1.2.19. v = 0,72 см/с.

√

1.2.20 . t = (2 + 2 )t0.

1.2.21 . t = (2t1t2 − t21 + t22)/[2(t1 − t2)].

282

§ 1.3. Движение в поле тяжести. Криволинейное движение

gcos α

p

1.3.9.v = L(a + g).

1.3.10.H = 2u (v cos α − u) tg2 α.

после вылета второго тела. Относительная скорость постоянна, направлена вертикально вниз

283

1.3.17. v = g t sin α, v = g t cos α.

1 √2

1.3.18 . R = gT1T2/(2 2).

1.3.19 . v = pg[2(H − h) + L].

1.3.20.vэ = 1675 км/ч, aэ = 0,034 м/с2. vЛ =√838 км/ч, aЛ = 0,017 м/с2.

1.3.21.v = gR = 8 км/с.

1.3.22 . a < (4 + π2)v2/(2πl).

√

1.3.27 . v = 5gR.

1.3.28.27,5 и 42,4 км; 18,3 и 52 км; 0,2 и 73,4 км.

1.3.29.a = (v2/R) cos2 α.

p

p p

1.3.30. t = (V/g) 9 sin2 α − 8 при sin α > 8/9; t = 0 при sin α < 8/9.

§ 1.4. Преобразование Галилея

1.4.1.В системе отсчета второго корабля первый движется по прямой вдоль вектора v1 − v2. Перпендикуляр, опущенный на эту прямую из местонахождения второго корабля, и будет наименьшим расстоянием.

♦1.4.2. См. рис.

1.4.3.Точно такую же, как и наблюдатель, движущийся с частицей A.

♦1.4.4. См. рис.

2(R − r)

p

1.4.11.t = 2 u2/g2 + 2h/g.

1.4.12.Проекция скорости на горизонтальное направление vx = v −2u; проекция скорости на вертикальное направление vy = (2n − 1)Lg/(v − u).

1.4.13.n = (v1 + v2)/(2R).

1.4.14 . sin α = u/v.

√

1.4.15 . u = v 3.

1.4.16. В новой системе отсчета геометрия пучков, а значит, и область их пересечения те же, что и раньше. Скорость частиц не обязательно направлена вдоль пучка.

284

p

1.4.17. В 1 + v2/u2 раз. Изменится.

√

1.4.18 . α = 60◦, l = 200 3 ≈ 345 м.

§ 1.5. Движение со связями

1.5.1.vB = 2vA.

1.5.2.vк = ωR; vг = ω(R − r).

√

1.5.3.u = v 3.

1.5.4.a = g ctg α.

♦1.5.5. См. рис.

♦1.5.8. См. рис.; a = (v2/R2)r; rв = (R + r)2/r, rн = (R − r)2/r.

1.5.10.Траектория точки обода колеса проходит по диаметру цилиндра.

1.5.11.а. Один оборот. б. На 4 мин.

1.5.12.a = 4ω2R.

1.5.13.u = v cos α.

1.5.14 . В центре квадрата через время t = a/v.

q

♦ 1.5.15. См. рис.; vB = 2vA2 t/ L2 + vA2 t2.

1.5.16.u = v2t/√L2 − v2t2.

1.5.17.ω = (v sin2 α)/H.

1.5.18 . ω0 = ω/2 sin2(α/2).

√

1.5.19. v = uR/ R2 − h2. 1.5.20. d = π(R2 − r2)/(vt).

Глава 2. ДИНАМИКА

§ 2.1. Законы Ньютона

2.1.2.F = 2ml/t2 = 0,16 Н.

2.1.3.F = mev2y/(lL).

♦2.1.4. a = g(T2 − T1)/(T4 − T3).

2.1.5.T = F (1 − x/l).

2.1.6.t = T (m1 + m2)/[α(2m1 + m2)].

2.1.7.m = m0[(t/t0)2 − 1].

2.1.8.m2/m1 = (F2 − F )/(F − F1).

285

2.1.12.a = 3,5 м/с2, T ≈ 1,1 · 103 Н.

2.1.13.Ускорение верхнего шара равно 3g, ускорение нижних — нулю.

2.1.15.xмакс = ma/(k1 + k2); F1макс = k1xмакс, F2макс = k2xмакс.

2.1.16.x = F (k1 + k2)/(k1k2).

2.1.17.F = m0g/µ; a = g(m − m0)/m.

♦2.1.18. См. рис.

♦2.1.20. См. рис.; Fтр = mg sin α при tg α 6 µ; Fтр = µmg cos α при tg α > µ.

2.1.21.aмакс = g(µ cos α − sin α).

2.1.22.t = 2v sin α/[g(sin2 α − µ2 cos2 α)].

2.1.23.a = (F/m)(cos α + µ sin ϕ) − µg, если это выражение больше нуля, иначе a = 0.

√

2.1.28.В 10 раз.

2.1.29.µ ≈ 0,4; l ≈ 50 м.

βmv.

2.1.37.Крупные; v ≈ 5,5 м/с.

2.1.38.v1 ≈ 0,25 м/с; v2 ≈ 0,01 м/с.

p

2µg

2.1.41. Вращающаяся.

q

2.1.43 . v = ωRF/ Fтр2 − F 2.

286

2.1.49 . a = g tg α; m = m0 sin α/(1 − sin α)2. 2.1.50. M = m tg α/(tg β − tg α).

2.1.51 . a = g sin(α/2).

2.1.52.m2 = m1a1/a2.

2.1.53.Для верхнего шарика N1 = mg/2, для нижнего N2 = 3

2.1.54.F = mev2/r. Близки к параболам, касающимся окружности изнутри; снаружи.

2.1.55.T = 2mv2/l.

2.1.56.T = Mω2l; Tx = Mω2l + mω2(l2 − x2)/(2l).

♦2.1.57. cos α = g/(ω2R) при g/(ω2R) < 1; α = 0

при g/(ω2R) > 1.

2.1.62. α = arctg .

Rg

2.1.63. ω1 = 0 при ε > µg/R; ω1 = (µ2g2/R2 − ε2)1/4 при ε < µg/R.

−

q √

2.1.67 . ω > g 2/R.

§ 2.2. Импульс. Центр масс

2.2.1.u = 5v/2.

2.2.2.Fтр = F/3.

2.2.3.t = 2p sin (α/2)/F ; под углом β = (π + α)/2 к начальной скорости.

2.2.4 . m = F t2/(16L). Нужно построить по экспериментальным данным график зависимости времени пролета от напряжения источника.

2.2.5 . t = mv(sin α − µ cos α)/[µ(m + M)g] при tg α > µ; при tg α 6 µ ящик не сдвинется. 2.2.7. m1/m2 = (u2 − u1)/(v1 − v2). Нужно учесть изменение скорости Земли.

2.2.9 . u1 = F0t0/m1; u2 = v − F0t0/m2.

2.2.10.m = m0/3.

2.2.11.u1 = u2 = 0,2v.

2.2.12.На расстоянии 4L по горизонтали от пушки.

2.2.13.S/L = 35/36.

2.2.14.w = m1 pu2 + v2.

m2

q

2.2.15. p = p21 + 2p1p2 cos α + p22.

q

2.2.16. V = m21v12 + m22v22 + m33v32 . m1 + m2 + m3

287

2.2.17.l1 = lm2/(m1 + m2); l2 = lm1/(m1 + m2).

2.2.18.Траектория частицы получается растяжением с коэффициентом подобия 2 траек-

тории частицы, масса которой 2m.

2.2.19. Окружности, центр которых лежит в центре масс системы станция — космонавт. Радиусы окружностей:

R1 = Rm2/(m1 + m2), R2 = Rm1/(m1 + m2).

√

2.2.20.На биссектрисе угла на расстоянии l = L 2/4 от вершины, где L — длина поло-

вины прута; в точке пересечения медиан; на прямой, соединяющей центры диска и отверстия, на расстоянии l = dr2/(R2 − r2) от центра диска.

2.2.21.u = ρSvl/m.

m1 + m2 + m3

нитей аналогичны.

2.2.27. F = mg − ρV a. 2.2.28 . F = SρLa.

2.2.29 . Со скоростью u/4 вверх.

2.2.30.n = (m2g tg α)/(m1v).

2.2.31.F = Nmg. Увеличивается.

2.2.46 . u = v ln n.

2.2.47 . m ≈ 5,5 · 105 кг; в 7,4 раза меньше.

§ 2.3. Кинетическая энергия. Работа. Потенциальная энергия

2.3.1.При m = 2F l/v2.

2.3.2.F = m(v22 − v12)/(2l); если F > 0, то направление силы совпадает с направлением движения частиц, а если F < 0, то направление этой силы противоположное.

2.3.3.F ≈ 2,5 · 106 Н.

p

2.3.5.v = √ F0(l1 + 2l2 + l3)/m.

2.3.6.v > 2µgL.

2.3.7.A ≈ 0,8 Дж.

288

2.3.48 . F = µg(m1 + m2/2). 2.3.49. m = µm0/2.

§ 2.4. Энергия системы. Передача энергии. Мощность

2.4.1.В движущейся системе отсчета сила натяжения совершает работу. Нет.

2.4.2.K = m1v2/2 − F l.

2.4.3 . K1 = k(x1 + x2)x1/2; K2 = k(x1 + x2)x2/2. 2.4.4 . A1 = mu2/2 − mv2/2; A2 = −mu2.

2.4.5. A = 2F r(2 sin α2 − 1); α = 60◦.

2.4.6 . Сумма работ взаимных сил зависит только от изменения расстояния между частицами.

p

2.4.7.x = v√ m/(3k).

2.4.8.v0 = √2 v.

. v = gl.2.4.9

2.4.10 . xмакс = 4l/3.

ss

mg/9.

2.4.14 . h ≈ 0,25 м. 2.4.15 . K0 = 0,01K.

p

2.4.16.vx = (l − l0) k/(2m) cos α; x = (l − l0) sin α.

2.4.17.а. При поступательном движении. Ускорение центра масс и суммарная внешняя

сила для системы связаны между собой так же, как и для отдельной частицы.

2.4.18. µ = v2/(2gl).

p

2.4.19. v = 2h(g − T/m); K = mgh, Eвращ = T h.

2.4.20 . x = Lm2/(M2 − m2). 2.4.21. lмин = l0; lмакс = l0 + F/k.

2.4.23. Кинетическая энергия частицы K = m(u + V )2/2, где u — ее скорость относительно центра масс, а V — скорость центра масс. В сумме по всем частицам системы слагаемые muV дают нуль.

p

2.4.24. Kмакс = F 2/(2k); Uмакс = 2F 2/k; vотн = F (m1 + m2)/(km1m2).

2.4.25.При скорости центра масс, равной нулю.

2.4.26.W = F l.

2.4.27.W = F (l − F t2/2m).

2.4.28 . W = F 2m22/[k(m1 + m2)2]; U = W/2; K = F l + F 2m1m2/[k(m1 + m2)2].

2.4.29.A = mu2. Половина работы идет на увеличение внутренней энергии.

2.4.30.W/A = µ/(tg α + µ).

2.4.33.Q = m(v2/2 − gh).

2.4.34.Q = m1gh(m1 − m2)/(m1 + m2).

pp

2.4.35. Q = 2mgR(1 − 1 − l2/(4R2) ) 1 − l2/(4R2).

2.4.40 . N = m0gω(1 − ω/ω0); m = m0/2.

290