Лекции - часть 3
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Автокаталитические реакции – продукт ускоряет реакцию.
A B k 2B
a x b x
dx |
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k |
a x b x |
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|||||||||||||||||
dt |
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dx |
k x a |
x b |
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||||||||||||||||||
dt |
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x |
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dx |
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t |
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|||||
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k dt |
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|||||||||
0 x a x b |
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0 |
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1 |
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x |
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dx |
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x |
dx |
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|||||||
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0 |
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kt |
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x a |
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a b |
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0 x b |
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1 |
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x |
a |
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ln |
x b |
kt |
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ln |
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a b |
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a |
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b |
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1 |
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b |
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a |
x |
kt |
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ln |
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a b |
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a |
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b x |
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|||||||||||||
51
10
B(t 9.9 0.1)
B(t 9 1)
B(t 5 5)
0.1
10 |
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k = 1, a = 5, b = 5 |
5 |
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k = 1, a = 9, b = 1 |
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|
k = 1, a = 9.9, b = 0.1 |
0 |
0 |
0.5 |
1 |
|
0 |
t |
1 |
x b ek b a t 1 1 ba ek a b t
52
|
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A B k 2B |
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a x |
b x |
10 |
12 |
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10 |
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8 |
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B(t 0.1) |
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B(t 1) |
6 |
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a b |
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|||
B(t 10) |
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||
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2 |
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4 |
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k = 10 |
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k = 1 |
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2 |
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k = 0.1 |
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||
0.101 |
0 |
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0.1 |
1 |
10 |
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0.01 |
|
|||
|
0.01 |
t |
10 |
|
|
Для кинетических кривых автокаталитических реакций характерна точка перегиба.
d dx 0 dt dt
k xп a xп b 0
x |
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a b |
, |
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A |
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B |
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a b |
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п |
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|
п |
2 |
|||
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|||
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1 |
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a xп |
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b |
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k |
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a b |
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||||||||||||
a |
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b xп |
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a |
a b |
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||||||||
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1 |
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||||
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2 |
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ln |
b |
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k |
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a b |
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a |
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b |
a b |
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2 |
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1 |
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a |
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п |
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ln |
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k a b |
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b |
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||||||
53
Колебания численности зайцев и рысей
Alfred Lotka
Vito Volterra
54
A X k1 2X
X Y k2 2Y
Y k3
d X k1 A X k2 X Y dt
d Y k2 X Y k3 Y dt
55
Стационарные состояния
Неустойчивое состояние
0 k1 A X k2 X Y
0 k2 X Y k3 Y
тривиальное решение
X st |
0, |
Y st |
0 |
Устойчивое состояние
нетривиальное решение
X |
|
k3 |
, |
Y |
|
k1 A |
|
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|
||||||
st |
|
k2 |
st |
|
k2 |
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56
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0 |
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0 |
x |
0 |
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|
|
t |
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x |
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t |
|
|
0 |
0 : |
t t |
x |
t |
|
t |
|
x |
|
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|
|
Решение устойчиво, если при малом отклонении от стационарного состояния система возвращается к этому стационарному состоянию
x
x |
|
|
|
t0 |
t |
57
d X k1 A X k2 X Y dt
d Y k2 X Y k3 Y dt
X X st x
Y Y st y
dxdt k1 A X st x k2 X st x Y st y
dydt k2 X st x Y st y k3 Y st y
Линеаризация
dx |
|
k |
A X |
k |
X Y |
k |
A x k |
X |
|
|
y k |
Y |
x k |
xy |
|||||||
|
st |
||||||||||||||||||||
dt |
1 |
st |
|
2 |
|
st |
st |
1 |
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2 |
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2 |
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st |
2 |
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||||||||
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0 |
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0 |
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dy |
k |
X Y |
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k |
Y |
k |
X |
y k |
Y |
x k |
y k |
xy |
|
||||||||
|
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|||||||||||||||||||
dt |
2 |
st st |
|
3 |
st |
2 |
|
st |
2 |
|
st |
|
|
3 |
|
2 |
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|
||
|
|
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||||||||
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0 |
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|
0 |
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dxdt k1 A x k2 X st y k2 Y st x k1 A x k3 y k1 A x dydt k2 X st y k2 Y st x k3 y k3 y k1 A x k3 y
dxdt k3 y dydt k1 A x
x0e t k3 y0e ty0e t k1 A x0e t
|
k3 |
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0, |
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k |
A |
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1 |
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x x0e t
y y0e t
x0 k3 y0 0k1 A x0 y0 0
2 k k |
A 0, |
|
k k |
A i |
||
1 |
3 |
|
1,2 |
1 |
3 |
|
Имеется два линейно независимых решения
59
x t x ei t |
x e i t |
|
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01 |
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02 |
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||||
y t y ei t |
y |
02 |
e i t |
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|||||||||
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01 |
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|
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|||||
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|
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|
|
y |
|
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|
ik3 |
x |
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k3 |
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|||||||
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01 |
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|
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||||||||||||
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01 |
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||||||||||
i x01 k3 y01 0 |
|
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x0 |
i |
|
|
|
y0 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|
|
ik3 |
|
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|
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||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|||||||||||
i x02 k3 y02 0 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
01 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 x0 |
|
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02 |
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02 |
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|
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||||||||||||||||||
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|||||||||
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|
x |
|
|
x |
|
|
x |
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|
x |
i |
k3 |
|
y |
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||||||||||||||||
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|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||
y 0 y0 |
|
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01 |
|
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|
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02 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
ik3 |
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|
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|
|
ik3 |
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|||||||||||||
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||||||||||||||||||
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02 |
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|
||||||||||
|
|
|
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x01 |
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x02 y0 |
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2 |
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||||||||||
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||||||
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x0 i |
|
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y0 |
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x i |
k3 |
y |
|
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|
i |
k3 |
y |
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||||||||
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x0 |
|
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k3 |
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||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||
x t |
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|
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|
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|
|
|
|
|
0 |
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|
ei t e i t |
|
|
0 |
ei t |
e i t |
x0 cos t |
y0 sin t |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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k3 |
2 |
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k3 |
2 |
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2 |
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|||||||||
|
|
i |
x |
|
y |
|
|
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|
i |
x y |
|
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||||||||
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||||||||||||||
y t |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
ei t |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
e i t |
y0 cos |
t |
x0 sin t |
|
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