Эконометрика. Тихомиров
.pdf
где, в свою очередь, значение ошибки t является разностью между фактическим значением процесса в момент t – уt и его условным математическим ожиданием t:
t yt |
t . |
(7.156) |
В результате логарифм выражения (7.153), определяемый как
ln L ( y |
, |
a0 |
, |
a1 |
,..., |
ak |
, |
b1 |
,..., |
br |
,... ) |
t |
|
|
|
|
|
|
|
T |
ln(2 ) |
1 |
ln(vt) |
1 |
( |
y |
t |
|
t |
) |
2 |
(7.157) |
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
vt |
|
|
||||||
|
|
t |
t |
|
|
|
|
|
|
является функцией как параметров модели (7.154), которые в (7.157) скрыты под обозначением t, так и параметров уt, являющихся исходными данными,
как это было и раньше в случае линейных моделей с постоянной вариацией.
Но, кроме этого, его значение в нашем случае также зависит от параметров ai
и bj, определяющих взаимосвязи между условными вариациями, i=1,2,..., k; j=1,2,..., r.
В результате система уравнений, на основе которой должны быть определены “оптимальные” значения параметров модели с изменяющейся вариацией, должна быть определена на основании дифференцирования правой части выражения (7.157) по параметрам векторов =( 0,..., п), a=(a0,..., ak) и b=(b1,..., br) и приравнивания к нулю соответствующих производных:
lnL/ =0;
lnL/ a=0;
lnL/ b=0. (7.158)
При этом получение самих дифференциалов осложняется наличием взаимосвязей между разновременными значениями vt и t, что, в свою
очередь, значительно усложняет форму уравнений системы (7.158). В
результате ее решения, т. е. оптимальные оценки параметров векторов , a и b
могут быть, как это отмечалось выше, определены лишь с помощью достаточно сложных численных методов решения.
Вместе с тем, для некоторых типов представленных здесь моделей методы оценки их параметров могут быть несколько упрощены на основе учета
специфических свойств, описываемых ими процессов.
Рассмотрим основные подходы к оценке параметров моделей с
изменяющейся вариацией на примере моделей (7.122) и (7.141).
Здесь сразу следует отметить, что в том случае, когда условная вариация vt
представляется как функция прошедших значений цен Yt–i, i=1,2,..., то исходная информация для получения оценок соответствующих моделей может быть сформирована, например, в виде ряда значений st–i=(Yt–i– t–i)2,
где условное математическое ожидание t–i определяется на основании модели, описывающей динамику цен, т. е. временного ряда Yt, t=1,2,..., Т.
|
В моделях типа (7.120) непосредственно сформировать значения vt, t=1,2,... |
||||
не |
представляется |
возможным. |
Вследствие |
этого |
параметры |
соответствующих моделей могут быть получены опосредованно, например, с
использованием значений процессов st и zt .
Обозначим, как и в разделе 7.5, st=(Yt– )2. Тогда выражение (7.123) можно
переписать в следующем виде: |
|
M[st/ st–1]=a0+ a1st–1, |
(7.159) |
где M[st/st–1] означает условное математическое ожидание переменной st при
известном значении st–1 . |
|
|
Напомним, |
что для уравнения авторегрессии |
первого порядка |
х t a0 a1 х t 1 t |
условное математическое ожидание |
M[xt/xt–1]=a0+a1xt–1 |
определяется точно также, как и для переменной st. Эквивалентность выражения (7.128) и ассоциированного с ним уравнения авторегрессии
2 0,798.
1 является функцией от 1(zt ). Однако определение значения a1 только по одному значению коэффициента автокорреляции процесса zt может привести к значительной ошибке. Использование для этих целей ряда таких коэффициентов способствует ее уменьшению.
Последующая процедура действий по восстановлению процесса vt состоит
|
и |
|
с помощью модели |
||
в следующем. На основании найденных значений a1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
(7.141) восстанавливается ряд натуральных логарифмов переменной vt |
– ln(vt |
||||
). При этом при определении lnv1 в качестве значения переменной v1 |
может |
||||
быть использовано среднеквадратическое отклонение |
v s , где |
s |
– |
||
дисперсия переменной Yt.
Далее по ряду ln(vt) путем потенцирования находится переменная vt.
Найденная оценка коэффициента a1 может быть уточнена путем решения систем нелинейных уравнений, вытекающих из ММП, в котором она обычно используется в качестве начального приближения.
Предложенный метод оценки параметров авторегрессионных уравнений относительно ln(vt) несложно модифицировать и на модели более высоких порядков.
7.7. Модели временных рядов финансовых показателей с нелинейными
структурами
Обобщая изложенный в главе VII материал, отметим, что в предыдущих разделах были рассмотрены модели с линейной структурой условного математического ожидания, в которых этот показатель был выражен в виде линейных функций, соответствующих процессам АР(k), СС(т), АРСС(k, т).
Дальнейшее развитие аппарата моделирования временных рядов финансовых показателей связывается с построением моделей с нелинейными структурами
(“нелинейных моделей”), как для математического ожидания, так и для дисперсии.
Заметим, что в общем случае можно предполагать, что класс моделей с нелинейными структурами должен быть значительно шире по своему составу, чем класс “линейных” моделей. Вследствие этого в данном разделе
рассматриваются принципы построения лишь некоторых групп
“нелинейных” моделей, которые были разработаны специалистами в области финансовой эконометрики в последнее десятилетие.
Основная идея одного из подходов к построению нелинейных моделей временных рядов финансовых показателей заключается в представлении ряда цен Yt в виде нелинейной функции, аргументами которой являются текущее и предшествующие значения стандартизованной случайной переменной t,
свойства которой соответствуют белому шуму, t N(0, 1), M[ t, t–i ]=0, i 0.
Y t |
f ( t , t 1, t 2 ... ). |
(7.172) |
При этом обычно в выражении (7.162) используется функция f(.),
образованная суммой двух функций, одна из которых выражает условное математическое ожидание переменной Yt на прошлые значения ошибки, а
другая – условную дисперсию:
Y t g( t , t 1, t 2 ... ) t h( t , t 1, t 2 ... ), |
(7.173) |
где функции g(.) и h(.) могут быть как линейными, так и нелинейными.
На основании (7.173) несложно заметить, что условное математическое ожидание Yt определяется как M[Yt/ t–1, t–2,...]=g( t–1, t–2,...) в силу свойств переменной t (M[ t]=0, M[ t, t–i]=0, i=1,2,...), а условная дисперсия D(Yt/ t–
1, t–2,...)=M[Yt–g( t–1, t–2,...)]2= =M[ t2] M[h2( t–1, t–2,...)=h2( t–1, t–2,...). Далее отметим, что и все условные центральные моменты более высоких порядков переменной Yt определяются как M[Yt –g(.)]k = M[ tk] hk(.).
Выражение (7.173) можно рассматривать как результат разложения функции (7.172) в ряд Тейлора в точке t=0 при заданных значениях t–1, t–2,
...
Y t |
|
f (0, t , t 1, t 2 ... ) |
f 1 (0, t , t 1, t 2 |
... ) t |
||
( |
1 |
|
2 |
f 2 (0, t , t 1, t 2 ... ) . |
(7.174) |
|
2 |
) t |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Пренебрегая в выражении (7.174) слагаемыми, содержащими tk, k 1,
получим, что g( t–1, t–2,...)=f(0, t–1, t–2,...), h( t–1, t–2,...)= =f1(0, t–1 , t–2,...).
Из вида уравнения (7.173) также следует, что все множество нелинейных моделей финансовых показателей может быть разделено на две группы:
модели с нелинейным условным математическим ожиданием и модели с
нелинейной условной дисперсией.
Примером модели с нелинейным условным математическим ожиданием
является следующее уравнение:
Y t t a1 t2 1, |
(7.175) |
в котором g(.)=a1 t–12 и h(.)=1.
Из выражения (7.175) непосредственно видно, что условное математическое ожидание M[Yt/ t–1]=a1 t–12 является функцией от квадрата предыдущей ошибки, а условная дисперсия равна единице M[ 2/ t–1]=1.
Напротив, модель типа ARCH первого порядка , предложенная Энглом в
1982 г., характеризуется нелинейной условной дисперсией. Ее уравнение
имеет следующий вид:
Y b 2 . (7.176)
t t 1 t 1
