Эконометрика. Тихомиров

сдвигов i и j. Иными словами, процесс иt можно считать по крайней мере белым шумом.

Отметим основные свойства процессов vt и vt 2. В частности, заметим, что если ut является белым шумом, то процесс ut=Yt – также является белым шумом в силу условия (7.105). Однако значения st=(Yt – )2=хt2 могут коррелировать между собой в случае коррелированности значений переменной vt2 и vt–i2, i=1,2,... . Это непосредственно следует из определения ковариации и математического ожидания произведения переменных vt 2 и st

соответственно

В частности, при положительной автокорреляции процесса условной вариации vt2 можно показать, что коэффициенты автокорреляции процессов vt2 и st удовлетворяют следующему соотношению:

Соотношение (7.129) непосредственно вытекает из того, что

D[vt2] M [vt4] (M [vt2])2 ;

D[st2] M [st2] (M [st ])2 K u M [vt4] (M [vt2])2 (7.130)

иKu=3, если ut N(0, 1).

Всвою очередь, при получении выражения (7.130) учтено, что

Для оценки параметров процесса vt2 можно использовать также и характеристики неотрицательного процесса абсолютных отклонений цен от своего среднего уровня zt= Yt– = хt . Для этого процесса при vt получим

Из определения zt процесса также вытекает следующая взаимосвязь между его ковариациями и ковариациями процесса vt:

Из выражения (7.133) непосредственно следует, что коэффициенты автокорреляции процессов zt и vt связаны следующим соотношением:

a12); a1= 1(ln(vt))– коэффициент модели, то можно показать, что коэффициенты автокорреляции процесса ln(vt) и коэффициенты автокорреляции процесса vt связаны следующим соотношением:

Для процесса vt2, чтобы получить соответствующие выражения для коэффициентов автокорреляции достаточно в правой части (7.142) 2

заменить на 4 2.

Далее, поскольку коэффициенты автокорреляции модели (7.141) равны a1i

( i(ln(vt ))=a1i), то соответствующие коэффициенты процессов st и zt на основании (7.139) и (7.140) будут определяться следующими выражениями:

Выражения (7.143) и (7.144) показывают, что эти коэффициенты с увеличением сдвига монотонно уменьшаются с некоторого значения меньшего 1 до нуля.

Дальнейшее направление разработок моделей с изменяющейся зависимой вариацией связывается с подбором более удачной модели для описания динамики переменной vt в тех случаях, когда количество параметров в авторегрессионных версиях достаточно велико. Напомним, что авторегрессионные версии моделей этой переменной могут быть представлены, например, следующими выражениями:

Коэффициенты этих и других возможных вариантов моделей такого типа определяются на основе коэффициентов автокорреляции процессов st и zt, t=1,2,..., значения которых являются неотрицательными, но достаточно небольшими и стремятся к нулю с увеличением сдвига. Как отмечалось в главе VI, при k 2 относительные погрешности эмпирических коэффициентов автокорреляции могут быть достаточно большими, что повлечет за собой и ошибки коэффициентов модели. В результате построенная модель не будет достаточно точно воспроизводить поведение процесса .

Избежать влияния погрешностей в оценках коэффициентов автокорреляции процессов st и zt на точность представления переменной vt

при больших сдвигах можно на основе использования при ее описании вместо авторегрессионных моделей (АР(k)) моделей более общего класса – авторегрессии-скользящего среднего (АРСС(k, m)) с гораздо меньшим числом параметров. В частности, в главе VI было показано, что добавление к модели авторегрессии первого порядка модели скользящего среднего первого порядка позволяет сформировать модель, по своим свойствам эквивалентную модели авторегрессии достаточно высокого порядка. Такой подход, в

частности, предполагает, что вместо модели (7.145) для описания процесса vt2, может быть использована, например, модель следующего вида:

связывающую текущее значение условной дисперсии с ее предшествующим

определяемой по отклонению цены актива в момент t–1 от ее математического ожидания.

момент t–i. Иными словами, положительные и отрицательные значения ошибки t–i оказывают различное влияние на зависимую переменную. Кроме того, использование в модели логарифма дисперсии позволяет не беспокоиться о знаках коэффициентов данной модели.

Дальнейшее развитие ARCH-модели связывается с предположением о существовании зависимости значений уt от их условной вариации. Класс этих моделей, названный ARCH-М моделями, отражает мнение, что на финансовых рынках покупатели как бы “требуют” компенсации за рискованные вложения. В результате “плата за риск” рассматривается как возрастающая функция от условной вариации цены акции.

Простейший вариант ARCH-М модели, отражающий данное предположение, может быть представлен в следующем виде:

где условное математическое ожидание цены актива t=Mt–1[yt], в свою очередь, ставится в зависимость от условной вариации ошибки согласно следующему выражению:

и vt2 является ARCH-процессом:

В более общем случае условная вариация ошибки может быть

представлена в виде GARCH-процесса:

где, напомним, t=уt– t.

Тестирование моделей типа ARCH и GARCH обычно сводится к проверке существования характерных для них эффектов. Для этих целей, как правило,

используется так называемый критерий TR2, где T – объем выборки и R2 –

коэффициент детерминации соответствующей модели для квадрата ошибок

(например, типа (7.145) и (7.146)). Этот показатель распределен по закону 2

с числом степеней свободы равным количеству используемых в модели лаговых переменных t–i и vt–j. Если расчетное значение TR2 2*(р*, ), где р*

– заданный уровень доверительной вероятности и – число степеней свободы, то гипотеза о присутствии ARCH или GARCH-эффектов принимается, в противном случае она отвергается. Здесь следует отметить,

что наличие эффекта в данном случае связывается со значимостью коэффициентов ai и bj, i=1,2,..., k; j=1,2,..., n; модели, описывающей взаимосвязи между квадратами ошибки. Если TR2 2*(р*, ), то коэффициенты принимаются значимыми, т. е. отличными от нуля (по крайней мере, некоторые из них), и в этом случае допускается наличие эффекта типа ARCH или GARCH (условная дисперсия меняется согласно соответствующей закономерности). В противном случае, т. е. когда

TR2 2*(р*, ), следует принять гипотезу о равенстве нулю всех коэффициентов при лаговых значениях квадрата ошибки, и в этом случае дисперсия должна рассматриваться как постоянная величина.

7.6.Методы оценки параметров модели с изменяющейся вариацией

В общем случае определение параметров оценок моделей с изменяющейся вариацией является более сложной проблемой, чем оценка параметров моделей с постоянной вариацией. Дело в том, что эффекты, обусловленные взаимосвязями между квадратами ошибок, приводят к тому, что соотношения между параметрами модели и исходными данными становятся нелинейными и гораздо более сложными, чем в случае традиционных

линейных эконометрических моделей. В такой ситуации в аналитическом виде получить решение становится невозможным, и поэтому обычно приходится прибегать к численным методам определения оценок,

основанным на итеративных процедурах последовательного приближения.

Вместе с тем, общий подход для формирования уравнений, связывающих значения параметров моделей с изменяющейся вариацией с исходными данными, использует те же принципы, что и в случае моделей с постоянной вариацией. Он также обычно базируется на принципах максимального правдоподобия и минимума суммы квадратов ошибки.

Например, функция максимального правдоподобия для модели с изменяющейся вариацией в общем случае может быть записана в следующем виде:

при ограничениях, определяющих: а) особенности взаимосвязи между значениями процесса уt и его условным математических ожиданием.

Например,

б) особенности взаимосвязи между условными вариациями. Например, в

случае GARCH-модели – это: