6.3. Смо с бесконечной очередью

S0

S1

...

Sm

...

Sn

Рис. 9. Размеченный граф СМО.

Для определения чарактеристик данной СМО воспользуемся формулами для СМО с ограниченной очередью при N

,

Чтобы существовал установившийся процесс в СМО необходимо, чтобы

Пример расчета характеристик многоканальной СМО с бесконечной очередью.

В Универсаме поток покупателей 40 в час (λ=40). Работают 3 кассы (m=3). Интенсивность обслуживания касс одинаковая и равна 15 покупателей в час (μ=15).

Решение.

ρ= λ/ μ = 8/3; θ= ρ/ m = 8/9 .

покупателей во все три кассы.

В одну кассу очередь равна

час или около 4 мин.

час.

покупателя.

7. Анализ пуассоновских сетей смо.

7.1. Многофазные смо.

Многофазные СМО представляют собой частный случай сети, когда обслуживание заявок осуществляется последовательно в нескольких СМО (фаз). Поток заявок поступает на СМО₁. Типичным примером многофазных СМО являются последовательность обработки деталей по технологической цепочке.

λ₁ СМО₁ СМО₂ СМО₃

Каждая i-я СМО имеет характеристику _i и у всех СМО_i N_i .

СМО без потерь означает, что все заявки проходят все фазы, т.е. _i=₁, i=1,2...n. Имея данные для каждого СМО_i - _i,_i- можно рассчитать характеристики каждого узла как одноканальных СМО с бесконечной очередью.

Характеристик многофазной СМО рассчитываются в соответствии со следующими выражениями:

,

Cети СМО представляют собой множество СМО (узлы сети), потоки заявок обслуживаются в нескольких узлах. Последовательность прохождения заявок в сети определяется топологией сети, которая задается вероятностями перехода заявок от одного узла к другому .

Будем рассматривать пуассоновские сети СМО, т.е. из источника поступает пуассоновский поток заявок, а время обслуживания в каждом узле i распределено по экспоненциальному закону.

СМО в каждом узле - одноканальная с бесконечной очередью.

Учитывая свойства операций суперпозиции и случайного просеивания с пуассоновскими потоками, можно сделать вывод, что входной поток на СМО в каждом узле будет пуассоновским.

Анализ сетей СМО заключается в расчете потоков заявок в каждом узле . После чего можно рассчитать характеристики СМО в каждом узле.

7.2. Ациклические сети смо.

В ациклических сетях каждая заявка может посетить узел не более одного раза. Это условие означает, что в сети отсутствуют циклы, а матрица вероятностей переходов имеет следующий вид:

:

Рассчитаем величины входных потоков на каждый узел (нагрузку на узел).

Характеристики каждого узла рассчитываются как для одноканальной СМО:

; ; ;

Характеристики всей сети СМО определяются следующим образом:

.

Среднее время нахождения заявки в сети:

где вероятность посещения заявки СМО_i

Среднее время ожидания заявки во всех узлах сети: .

7.3. Циклические сети смо.

В циклических сетях заявка может посетить один узел неоднократно. Пример такой сети приведен ниже.

Для анализа циклических сетей совместим “выход” и “источник”. Матрица вероятностей переходов для циклических сетей произвольная.

Рассматривая процесс перехода заявки от узла к узлу как марковский процесс, рассчитаем предельные вероятности нахождения заявки в каждом узле. Для этого решим следующее векторное уравнение (см. п. 4.1).

Отношение к следует интерпретировать как частоту посещения заявки i узла (СМО_i)., вышедшей из источника.

Тогда входной поток в узел i будет определяться по формуле:

Зная интенсивность обслуживания в каждом узле , рассчитаем характеристики по каждому узлу.

Расчет характеристик сети в целом ведется также, как и в ациклических сетях.

Пример расчета характеристик циклической сети СМО

Задана матрица переходов :

Входной поток

и интенсивности обслуживания заявок в узлах

Находим предельные вероятности, решая систему уравнений:

Далее рассчитываем

Входные потоки заявок на каждый узел будут равны:

Рассчитаем характеристики СМО в каждом узле:

;

Интегральные характеристики по сети будут равны:

22