Тема. Системы массового обслуживания (смо)

1. Основные понятия смо

 очередь заявок

источник заявок



ООООООООООО



канал обслуживания

N - max длина очереди m- количество каналов (аппаратов) обслуживания

Чтобы определить систему массового обслуживания необходимо задать:

а) входной поток заявок - f(t) - плотность закона распределения интервала между поступлениями заявок,  - интенсивность потока.

б) канал обслуживания - (t) - плотность распределения времени обслуживания аппарата,  - интенсивность обслуживания.

в) m - число каналов

m-1  одноканальные СМО

m1  многоканальные СМО

г) N - максимальное число мест в очереди

N=0  система без очередей

N  система с бесконечной очередью

N=k ( k - произвольное число)  система с ограниченной очередью

д) дисциплину очереди (D):

 первым пришел - первым ушел (FIFO);

 последним пришел - первым ушел (LIFO);

 с приоритетами;

 случайный выбор из очереди.

 f(t),(t),m,N,D  - описание системы массового обслуживания.

Если f(t) = ; (t) =  , то СМО называются пуассоновскими.

2. Характеристики смо Основные характеристики

L_s - среднее число заявок в СМО.

W_s - среднее время пребывания заявок в СМО.

L_q - средняя длина очереди.

W_q - среднее время ожидания заявок в очереди.

P_отк - вероятность отказа в обслуживании.

P₀ - вероятность того, что в системе отсутствуют заявки (часть времени, когда СМО простаивает).

Производные характеристики

(N-L_q) - среднее число свободных мест в очереди.

(L_s -L_q) - среднее число занятых каналов.

(m-(L_s-L_q)) - среднее число свободных (простаивающих) каналов.

_эфф=(1-P_отк) - эффективный (реальный) поток заявок. (Заявки, которые обслуживаются).

Связи между основными характеристиками. (Формулы Литтла)

n(t), n - число заявок в СМО

L_s

0 t₁ t₂ t

T=(t₂-t₁) - время наблюдения.

График показывает, сколько заявок находится в каждый момент времени в СМО.

L_s=A/T - среднее число заявок в СМО.

_эфф T=B - число заявок, обслуженных за интервал времени T.

W_s=A/B=A/(_эффT) - среднее время пребывания заявок в СМО.

L_s=_эфф W_s (1)

аналогично для очереди получим:

L_q=_эфф W_q (2)

W_s и W_q отличаются временем обслуживания – τ, поэтому W_s=W_q+

- среднее время обслуживания

W_s=W_q+1/ (3)

Таким образом, вычислив L_s и P_отк, можно, используя (1) (2) (3) вычислить основные

L_s, P_отк,  _эфф  W_s=L_s/_эфф  W_s =W_s -1/ 

Чтобы найти L_s необходимо определить P_n (вероятности того, что в СМО находится ровно n заявок), тогда L_s=

Таким образом, задача определения характеристик сводится к определению вероятностей P_n n=0,1,2...

3. Потоки заявок

t (интервал)

Если интервал времени между поступлениями заявок в систему T=const , то это регулярный поток.

 - интенсивность, определяется числом заявок в единицу времени.

 = 1/ T

Пуассоновский поток.

Свойства пуассоновского потока:

- стационарность: число заявок за интервал t зависит только от длительности интервала, и не зависит от расположения интервала на временной оси. Для стационарного потока  - const;

- безпоследствия: число заявок в интервал не зависит от числа заявок за другой интервал, если они не пересекаются;

- ординарность : вероятность поступления в интервал времени больше одной заявки стремится к нулю.

Если выполняются вышеперечисленные свойства, то- вероятность того, что за время t поступит ровно m заявок;  - константа (свойство стационарности). Это распределение Пуассона, поэтому и называется поток пуассоновским.

Вероятность того, что за время t не поступит ни одной заявки

Вероятность того, что поступит не менее 2-х заявок равна:

Математическое ожидание числа заявок за интервал t :

, дисперсия равна

Равенство математического ожидания и дисперсии характерно только для пуассоновского распределения.

Рассмотрим вопрос определения плотности функции распределения интервала между поступлениями заявок интервал t

,

Следовательно - закон распределения интервала между заявками (экспоненциальный закон) (см. рис. 1).

f(t)



t

Рис.1. - экспоненциальное распределение.

.

Таким образом, пуассоновские потоки заявок описываются либо распределением Пуассона, либо экспоненциальным распределением.

Операции с Пуассоновскими потоками.

а) суперпозиция (объединение) двух пуассоновских потоков образует пуассоновский поток.

б) операция случайного просеивания пуассоновского потока дает на выходе пуассоновский поток.

суть операции:

t

случайно исключаем или нет каждую заявку в выходном потоке. Сохраняются все свойства (ординарности, безпоследствия, стационарности).

- у входного потока

Отметим, что вероятность того, что за малый промежуток времени t поступит заявка, равно: