4.3. Процессы гибели и размножения

Процессами гибели и размножения называются марковские процессы, имеющие размеченный граф, приведенный на рис.4.

Рис.4. Размеченный граф процессов гибели и размножения.

Для нахождения вектора предельных вероятностей ,i=1,2, ..., n, составим систему уравнений:

(по Колмогорову). (11)

(12)

Подставляя (11) в (12) получим:

Для всех последующих состояний уравнения будут иметь одинаковый вид:

, где i=1,2, ..., n.

Обозначим через , тогда

Значит, все вероятности выражаются через :

Учитывая, что , получим выражение для :

Определив , можем рассчитывать все .

5. Анализ одноканальных пуассоновских смо

 e^-t, e^-t , 1, N, D 

5.1. СМО без очереди. (N=0)

Используем теорию процессов гибели и размножения, для определения вероятностей P₀, P₁



S0

S1



Рис. 5 Размеченный граф СМО без очереди.

P₁=P₀/

P₁+P₀=1  P₀(/+1)=1

P₀=; P₁=

Вероятность отказа равна P₁: P_отк =

среднее число заявок в системе равно: L_s=0P₀+1P₁=P₁=

Среднее время пребывания в СМО равно среднему времени обслуживания:

W_s+1/

т.к. очереди в СМО нет: W_q=0, L_q=0

Эффекривный поток заявок определяется по формуле:

_эфф=(1-P_отк)= 

5.2.Смо с ограниченной очередью (n1)

   

S0

S1

S2



SN+1

   

Рис. 6 Размеченный граф СМО.

Обозначим /=.

Система уравнений для нахождения вероятностей P_n имеет вид:

Учитывая , получим уравнение для определенияP₀

, откуда получим P₀=(1-)/(1-^N+2), где  - любое, т.е. на отношение / не накладывается никаких ограничений.

Вероятности

P_n=P₀ⁿ

Определим среднее число заявок в СМО:

(13)

Обозначим

(14)

Подставив (14) в (13) получим

Отметим, что вероятность отказа равна вероятности последнего состояния в размеченном графе:

Используя формулы Литтла получим:

, ,

Рассмотрим частный случай, когда =, т.е. =1.

Тогда P₁=P₀=P₂==P_N+1

P₀=1/(N+2)

P_отк=1/(N+2)

Основные характеристики СМО определяются по следующим формулам:

L_s=(N+1)/2

_эфф=(1-1/(N+2))= (N+1)/(N+2)

W_s==

W_q=W_s-1/

L_q=_эффW_q=-

Пример расчета характеристик одноканальной СМО с ограниченной очередью.

Ресторан быстрого питания обслуживает клиентов в автомобиле через 1 окно (m=1). Число место в очереди ограничено тремя (N=3). Поток автомобилей равен 20 в час. Интенсивность обслуживания 10 клиентов в час.

.

=/=2

P₀=(1-)/(1-^N+2)=(1-2)/(1-2⁵)=1/31

P_отк=^N+1P₀=2⁴1/31=16/31

==98/31

_эфф=(1-16/31)2 = 30/31

W_s=L_s/_эфф = 49/15

W_q=W_s-1/ = 49/15 – 1 = 34/15

L_q=W_q_эфф= 68/31