5.3. Смо с бесконечной очередью (смо без отказов)

Так на СМО без отказов P_отк=0, то _эфф=.

Для получения формул расчета характеристик СМО воспользуемся формулами для СМО с ограниченной очередью (см. п. 5.2)

L_s=

Чтобы существовал предел необходимо, чтобы выполнялось условие:

=/<1. Тогда получим для СМО с бесконечной очередью:

L_s=

W_s=L_s/=

W_q=W_s-

L_q=W_q=

Пример расчета характеристик одноканальной СМО с бесконечной очередью.

На сервер, обслуживающих пользователей по запросам в информационную систему, поступают запросы (заявки) с интенсивностью λ = 1200 в час, интенсивность обслуживания запросов μ = 2000 в час.

Решение.

ρ= λ/ μ = 1200/2000 = 0,6

L_s=запросов,

W_s=час или 4 сек.,

W_q=час или 2,7 сек.

L_q=W_q= 1200 = 0,9 запросов.

6. Многоканальные пуассоновские смо

<e^-t, e^-t, m>1, N>

6.1. СМО без очереди (N=0)

S0		S1		...		Sm

Рис. 7. Размеченный граф СМО.

Составим систему уравнений для определения вероятностей состояний

P₁=P₀/=P₀, где =/

P₂=P₁/2=P₀²/2

P₃=P₂/3=P₀

Вероятность состояний S_k равны

P_k=P₀ k=1,...,m

Вероятность Р₀ определяется из условия

Вероятность отказа в обслуживании равна:

Т.к. очередь отсутствует среднее время нахождения заявок в СМО равно

Среднее число заявок в СМО равно

6.2. СМО с ограниченной очередью (N>0)

     

S1

S2

S3



Sm



SN+m

 2 3 m m m

Рис. 8 Размеченный граф СМО.

Составим систему уравнений для определения вероятностей состояний

P₁=P₀/=P₀, где =/

P₂=P₁/2=P₀²/2

P₃=P₂/3=P₀

P_k=P₀ k=1,...,m

Введем обозначение

учитывая условие, что сумма всех вероятностей равна единице.

, получим P₀:

(14)

Определим среднее число заявок в очереди: ,

где .

(15)

Введем в рассмотрение функцию:

(16)

Подставим (16) в (15), получим

Вероятность отказа в обслуживании равна:

Эффективный поток заявок:

Используя формулы Литтла, получим среднее время ожидания заявок в очереди:

Время в СМО отличается от W_q на время обслуживания: .

Наконец среднее число заявок в системе равно: .

Частный случай

Рассмотрим случай, когда .

Система уравнений для определения Р_n примет вид:

.

Определим Р₀

Средняя длина очереди равна: ,

учитывая, что получим

Пример расчета характеристик многоканальной СМО с ограниченнной очередью.

В мастерской шиномонтажа работают 2 мастера (m=2), которые обслуживают клиентов с интенсивностью 2 авто в час. Поток клиентов 4 в час. Максимальное число мест для ожидания 4 (N=4).

Решение.

ρ= λ/ μ = 4/2 = 2; θ= ρ/ m = 1 .

запросов,

W_q=час.

W_s=час.,

L_s=_эффW_s= 4 запросов.