ТВиМС / Вероятн_Лекц / Вер_Примитивы / ВерСВ_3_Пр

2.2.6.2 Равномерное распределение.

В качестве иллюстрации, поясняющей материал раздела 2.2 для непрерывных СВ, исследуем непрерывное равномерное распределение СВ на некотором отрезке [ab]. Распределение называется равномерным на отрезке, если его плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне него. Представим изучение данного распределения в виде решения задачи.

Дано: f(x) = c, [a; b]; f(x) = 0 вне этого отрезка.

Найти: 1)постоянную плотность распределения c – ?, 2)F(x) – ?, 3)E(X) – ?, 4)Mo(X) – ?, 5)Me(X) – ?, 6)D(X) – ?, 7)_X – ?, 8) ϑ_X – ?, 9)P(x₁<X<x₂) – ?

Решение: Выполнить самостоятельно в качестве Упражнения 2.2.

Ответы: 1) c = 1 / (b – a); 2) F(x) = (x – a) / (b – a); 3) E(X) = (a + b)/2;

4) Mo(X) – не определена; 5) Me(X) = E(X); 6) D(X) = (b – a)² / 12;

7) _x = (b – a) /() ; 8) ϑ_X = (b – a) / 4; 9) P(x₁ < X < x₂) = (x₂ – x₁)/(b – a), когда ]x₁; x₂[ [a;b].

Графики плотности и функции равномерного распределения представлены на следующих рисунках (Рис. 18 и 19).

f(x) F(x)

c

S=1 c=1/

0 a E(X) b X 0 a E(X) b X

Рис. 18 Плотность равномерного Рис. 19 Функция равномерного

распределения. распределения.

2.2.6.3 Нормальное распределение.

Нормальное распределение играет важнейшую роль как в теоретическом, так и в практическом аспектах. В разработке этого закона и законов, связанных с ним, фундаментальные исследования выполнили П.-С. Лаплас, А. Муавр, К. Гаусс, К. Пирсон, У. Госсет и Р.Фишер. Особенно велика заслуга П.-С. Лапласа и К. Гаусса, в связи с чем, нормальное распределение часто называют распределением Лапласа-Гаусса.

Плотность вероятности нормального распределения, вывод формулы которой здесь не рассматривается, имеет вид

f(x) = , (66)

для всех x]-∞;∞[. В формуле (66) величины  и e – математические константы, a и b > 0 – параметры распределения, математический и вероятностный смысл которых станет понятен при детальном изучении этой кривой и получении числовых характеристик нормального закона.

Исследования формулы (66) показывают, что кривая плотности лежит над осью абсцисс, которая является асимптотой для левой и правой ее ветвей; кривая имеет один абсолютный максимум в точке a, что следует из уравнения её производной, приравненного к нулю:

f΄(x) = – (x–a) * b^-3 * (2^-1/2 * exp(– (x–a)² / (2b²)) = 0,

и изменений знаков производной в районе точки экстремума. Кривая нормальной плотности симметрична относительно точки a и имеет две точки перегиба, абсциссы которых равны (a + b) и (a – b). Итак, математический смысл параметров a и b установлен: a – абсцисса точки максимума, а b – расстояние от a до точки перегиба.

Перейдем к вероятностному исследованию плотности нормального закона.

Дано: f(x) = (66).

Найти: 1) E(X) – ? 2) Mo(X) – ? 3) Me(X) – ? 4) D(X) – ? 5) _X – ?

6) ϑ_X – ? 7) F(x) – ? 8) P(x₁ < X < x₂) – ?

Решение:

1) В соответствие с определением МО (51), для НСВ имеем:

E(X) = = *e^–*dx.

Произведем замену переменных:

t = (x – a) / b. (67)

Такая замена означает перенос начала оси абсцисс в точку a и принятие параметра b за единицу длины на новой оси абсцисс. Из (67) следует, что

1) t]–∞;∞[; 2) x = bt + a; 3) dx = b * dt.

Продолжим нахождение МО:

E(X) = ^-dt. = (J₁ + a*J₂) (68)

Найдём интегралы, составляющие (68):

J₁ = b^–dt = – b^–= – b((e^–) –(e^–)) = 0;

J₂ = e^– = – (интеграл Пуассона).

Окончательно имеем:

E(X) = = a, (69)

т.е. параметр a нормального распределения одновременно является математическим ожиданием этого закона.

2)В соответствие с (55) и установленными математическим и вероятностным смыслами параметра a

Mo(X) = arg(f(x)=max) = a = E(X). (70)

3)Ордината, проходящая через медиану, делит площадь под кривой плотности на две равные половины (2.2.5.1). Поскольку для симметричной нормальной кривой основанием этой ординаты является точка a, то

Me(X) = a = E(X) = Mo(X). (71)

4)Для нахождения дисперсии нормального распределения удобно воспользоваться рекуррентной формулой его центральных моментов [4]:

_r = _r-2 * (r – 1) * b². (72)

Из Таблицы 2.1 (параграф 2.2.5.2) имеем: _1. Следовательно,

D(X) = _X² = ₂= _* (2 – 1) * b² = b². (73)

5) Искомый стандарт нормального распределения раскрывает вероятностный смысл параметра b:

_X = + = b. (74)

Учитывая вероятностный смысл параметров a и b, замену переменных (67) можно представить как функцию числовых характеристик:

t = (x – a) / b = (x – E(X)) / σ_X. (75)

6) Среднее отклонение нормального распределения ϑ_X определяется общим правилом (64) и плотностью (66):

ϑ_X = _= * f(x)dx = ^–dx.

Производя уже применявшуюся замену переменных (59) и учитывая симметричность кривой нормальной плотности, получаем:

ϑ_X = b^–dt = – b^–) =

= – b^–– ^–= – b

ϑ_X = b = σ_X (4 / 5)* σ_X. (76)

7) Нормальная ФР F(x) связана с ее плотностью соотношением (50):

F(x) = = ^–dx. (77)

Интеграл (68) не выражается через элементарные функции, вследствие чего возникает необходимость его табулирования. Но для формулы (77) требуется таблица с тремя входами: a, b и x, что практически не приемлемо. Выход из этой ситуации осуществляется путем нормирования распределения Гаусса по формуле (75), так как СВ t имеет нулевое среднее и единичный стандарт, что обусловлено ограничением b > 0:

E(t) = E((x – a) / b) = (a – a) / b 0,

.

Стандартная функция распределения Гаусса имеет вид:

F(t) = ^–dt. (78)

Таблица значений стандартной нормальной функции (78) помещена в Приложении 2, а в Приложении 1 помещена таблица стандартной нормальной плотности:

f(t) = . (79)

Стандартная нормальная функция (78) обладает свойством:

F(– t) + F(t) = 1. (80)

8)Вероятность попадания нормальной СВ на интервал ]x₁; x₂[ вычисляется с помощью стандартной нормальной ФР (78) после нормирования границ этого интервала по формуле (75):

P(x₁ < X < x₂) = F(x₂) – F(x₁) = F(t₂) – F(t₁). # (81)

В заключение отметим, что, взамен выражения плотности нормального распределения в форме (66) или (79), принята более краткая запись:

X N(a; b) или t N(0; 1). (82)

Записи (82) читаются следующим образом: первая – «СВ X подчиняется нормальному закону, у которого E(X) = a, а σ_X = b» и вторая – «стандартная нормальная СВ имеет нулевое МО и единичный стандарт».

На рисунках (Рис. 20 и 21) представлены графики плотности нормального распределения и функции этого же закона.

Распределение Гаусса играло и продолжает играть свою роль при моделировании ошибок измерений, изучению которых будет посвящен специальный раздел. Кроме того, нормальное распределение и связанные с ним законы широко используются при построении допустимых границ ожидаемых результатов как измерений, так и вычислений.

f(x) f(t)

----------------

–1 0 +1 T

0 a – b a= a + b X

=E(X) = Mo = Me

Рис. 20 Плотность нормального распределения.

F(x) F(t)

1

P(x₁ < X < x₂) =

0.5 = F(x₂) – F(x₁) =

= F(t₂) – F(t₁)

t₁ t₂ T

0 x₁ a x₂ X

Рис. 21 Функция нормального распределения.

Задача 2.11 Какова вероятность того, что нормальная СВ, имеющая МО, равное 8-и и стандарт, равный 3-м, попадет в интервал ]2;14[?

Дано: X N(8; 3);

Найти: P(x₁ = 2 < X < x₂ = 14) – ?

Решение: В соответствие с формулами (81) и (75) получаем такие соотношения:

P(2 < X < 14) = F(t₂) – F(t₁) = F((14 – 8) / 3 – F((2 – 8) / 3 = F(2) – F(– 2).

С учетом свойства (80) стандартной нормальной ФР и равенства t₂ = – t₁, последнее выражение принимает вид:

P(2 < X < 14) = 2F(2) – 1 = P(|X – E(X)| < 2σ_X).

По таблице, помещенной в Приложении 2, находим F(2) = 0,977. Окончательно определяем искомую вероятность:

P(2 < X < 14) = 2 * 0,977 – 1 = 0,954.

Иными словами, вероятность того, что нормальная СВ уклонится от своего центра рассеивания по модулю больше, чем на два стандарта, равна 0,046, или 4,6%, т.е. такое событие будет наблюдаться, в среднем, лишь один раз на двадцать два результата. #

Задача 2.12 Для X N(8; 3) построить интервал (x₁, x₂) = I_γ = 2ε и симметричный относительно центра рассеивания. Вероятность попадания в этот интервал должна равняться  = 0.683.

Дано:. E(X) = 8; _X = 3;  = 0,683; I_γ = 2ε.

Найти: x₁ и x₂, если P(x₁ < X < x₂) =; E(X) – x₁ = x₂ – E(X) = ε.

Решение: Условие симметричности интервала относительно центра рассеивания E(X) позволяет выстроить цепочку преобразований, подобных тем, которые были выполнены в предыдущем примере:

γ= P(x₁ <X< x₂ ) = F(t₂) – F(t₁) = 0,683;

однако из (75) следует, что

t₂ = (x₂ – E(X)) / σ_X = ε / σ_X;

t₁ = (x₁ – E(X)) / σ_X = – ε / σ_X;

t₂ = – t₁ = t.

Теперь

γ= P(x₁ <X< x₂ ) = 2F(t) – 1.

С другой стороны, путём обратного интерполирования по таблице стандартной нормальной функции (Приложение 2), находим аргумент t:

t = arg(F = (1 + γ )= arg(F = (0.842)) = 1.

Поскольку

t = ε / σ_X,

то  = t * σ_X = 3, и можно вычислить границы интервала в масштабе исходной переменной X:

x₁ = E(X) – ε = 8 – 3 = 5,

x₂ = E(X) + ε = 8 + 3 = 11. #