Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
11
Добавлен:
27.03.2016
Размер:
136.7 Кб
Скачать

2.2.5 Моменты и числовые характеристики СВ.

Закон распределения СВ содержит полную информацию о ней и позволяет вычислять вероятности любых событий, связанных с этой величиной. Задача установления закона распределения требует значительных усилий от исследователя в каждом неординарном случае. Практически, для многих целей бывает достаточно знать лишь какую-то узкую область, в которой существует бóльшая часть спектра СВ. Кроме того, можно количественно охарактеризовать как центр такой области, так и силу разброса СВ, асимметричность спектра относительно центра и некоторые другие показатели, которые называются числовыми характеристиками СВ.

2.2.5.1 Характеристики положения СВ на числовой оси.

Чаще всего в качестве характеристики положения СВ используется математическое ожидание (МО), имеющее целый ряд синонимов: центр тяжести, центр рассеивания, центр разброса, среднее. С одной стороны МО – это точка на числовой оси, а с другой – это правило (оператор), по которому определяется координата этой точки. Оператор МО обозначается буквами «E» или «M», после которой в скобках стоит имя СВ:

дискретная СВ (ДСВ);

E(X) = M(X) = (51)

непрерывная СВ (НСВ).

Если последовательность или интеграл (51) сходится, то МО существует, иначе СВ не имеет центра разброса. Как оператор, МО обладает определенными свойствами, приводимыми ниже:

1) E(C) = C

2) E(CX) = C * E(X) (52)

3) E(C+X) = C + E(X)

Здесь C – константа. Доказательства свойств МО легко выполняются для дискретной СВ. Предлагаем проделать это читателю в качестве упражнения. Для непрерывной СВ доказательство требует знания других разделов курса, которые больше не будут востребованы. В связи с этим мы просто поясним физико-математический смысл свойств МО.

Первое свойство утверждает, что постоянная величина сама себе является центром рассеивания. Её можно трактовать как дискретную СВ, имеющую единственно возможное значение, являющееся достоверным событием с вероятностью единица. Следствием этого свойства является равенство

E(E(X)) = E(X).

Второе свойство описывает реакцию СВ на изменение её единицы масштаба в «С» раз и предлагает заменять значение МО другим пропорционально коэффициенту «C» вместо нового использования оператора.

Третье свойство МО показывает, что при переносе начала координат на величину «С» для получения нового значения МО достаточно добавить эту постоянную к «старому» МО.

Все свойства можно представить в виде обобщённого свойства МО СВ, когда сама СВ подвергается линейному преобразованию:

E(C1 + C2 * X) = C1 + C2 * E(X) (53)

Дополнительно определим МО нелинейной функции СВ «X»:

ДСВ;

E(X)) = (54)

НСВ.

Сам термин математическое ожидание говорит о том, что в результате эксперимента скорее всего будет наблюдаться один из элементов спектра СВ, близкий к центру рассеивания. Однако для некоторых распределений этого не происходит, а у других законов МО как оператор не даёт значение МО. В подобных ситуациях можно рекомендовать другие характеристики положения: моду (Mo) или медиану (Me).

Мода определяется по-разному для дискретных и непрерывных СВ:

arg(P(X=xi) = max)ДСВ,

Mo(X) = (55)

arg(f(x) = max)НСВ.

Если СВ имеет один максимум, то такое распределение называют унимодальным. Если же кроме абсолютного максимума имеются и локальные, то распределение называют полимодальным. Иллюстрации приведены на рисунках (Рис. 2.15 и 2.16).

p f(x)

0.5-

0.4- pi=max

0.3-

0.2-

0.1-

0 x1 x2 Mo xn-1 xn X 0 Mo1 Mo2 X

Рис. 2.15. Унимодальность Рис. 2.16. Полимодальность

Медиана СВ – это такой элемент её спектра, относительно которого одинаково часто встречаются как бóльшие, так и мéньшие значения, т.е. P(X < Me) = P(X > Me) = F(Me) = 1/2. Ордината, проходящая через медиану, делит площадь под кривой плотности пополам. Обычно медиану определяют только для непрерывных СВ:

Me = arg(F(x) = 1/2).

На графике ФР (Рис. 2.17) дана иллюстрация.

F(x)

1.0-

0.5-

0 Me X

Рис. 2.17. Определение медианы СВ.

2.2.5.2 Моменты случайной величины.

Для генерализованных характеристик СВ используются начальные, центральные и абсолютные центральные моменты, в которых в качестве произвольной функции φ(x) (54) используется степенная функция случайного аргумента X.

Начальный момент порядка r:

ДСВ;

r = E(Xr) = (56)

НСВ.

Центральный момент порядка r:

ДСВ;

r = = (57)

НСВ,

где = XE(X) – это уклонение СВ от ее центра рассеивания, называемое центрированным значением. Для ДСВ сначала находится МО, а затем каждый элемент спектра xi «центрируется», т.е. из него вычитается значение центра рассеивания E(X).

Абсолютный центральный момент порядка r:

ДСВ;

r = = (58)

НСВ.

Особый интерес представляют моменты первых четырех порядков, некоторые из которых имеют собственные имена. С вычислительной точки зрения нахождение начальных моментов менее объёмно, чем центральных. В связи с этим для центральных моментов приводятся их выражения через начальные, что упрощает нахождение первых. Далее представлена таблица таких моментов до четвёртого порядка включительно (Табл. 2.1).

Основные моменты СВ.

Табл. 2.1

Порядок

r

Моменты

Начальные

r

Центральные

r

Абс. центр.

r

0

1

2

3

4

≡ 1

= E(X)

(мат.ожид.)

2 = E(X2)

3 = E(X3)

4 = E(X4)

0 1

0

= 2 = 2

(дисперсия)

3 = 3 32+ +2

4 = 4 43+

+ 62 3

0 1

=

(ср. откл.)

=

3 =

4 = 4

2.2.5.3 Характеристики рассеивания СВ

Рассеивание СВ характеризует ее разброс относительно МО. Так как разброс спектра СВ происходит по обе стороны от центра рассеивания, то для его учета используют либо четные степени центральных моментов, либо абсолютные центральные моменты. Достаточно рассмотреть центральный момент второго порядка и абсолютный центральный момент первого порядка . Первый из них называется дисперсией, а второй - средним отклонением. Изучим их подробнее.

Дисперсия СВ Х имеет несколько равноправных обозначений :

ДСВ;

D(X) = =  = (59)

НСВ,

Оператор дисперсии (59) обладает следующими свойствами:

1) D(C) = 0

2) D(CX) = C2*D(X) (60)

3) D(C+X) = D(X)

Ситуация с доказательством свойств оператора дисперсии аналогична той, которая была отмечена для оператора МО. Остановимся на физическом смысле этих свойств.

Первое свойство говорит, что единственная постоянная величина не имеет разброса. Комментарий не требуется.

При изменении масштаба по оси абсцисс (второе свойство), новое значение дисперсии получается из старого путем умножения последнего на величину квадрата масштабного коэффициента.

Третье свойство дисперсии заключается в том, что при переносе начала координат на величину C по оси абсцисс дисперсия СВ не меняется, так как центрирование компенсирует перенос.

Объединение этих свойств выражается реакцию оператора дисперсии на линейное преобразование СВ «X»:

D(C1 + C2 * X) = C22 * D(X). (61)

Из определения дисперсии следует, что ее размерность равна квадрату размерности СВ, которую она характеризует. Это не всегда удобно для восприятия. Например, если сказать, что расстояние S = 567,89 m, а его дисперсия D(S) = 9*10-4 m2, то сопоставление этих величин, имеющих отличающиеся размерности, не дает представления о точности измерений. Этот факт способствовал использованию дополнительно в качестве характеристики рассеивания другого показателя – стандарта.

Стандарт или среднее квадратическое отклонение (СКО) представляет собой положительное значение квадратного корня из дисперсии и характеризует разброс СВ относительно ее центра рассеивания в тех же единицах, в каких выражена и сама СВ:

(62)

Свойства стандарта определяются свойствами дисперсии:

1) C = 0

2)CX = C * X (63)

3)C+X = X

Если теперь мы охарактеризуем ранее приведенное расстояние S=567,89 m стандартом S =3*10-2 m, то наше представление о точности этого расстояния будет однозначным.

Среднее отклонение – это абсолютный центральный момент СВ Х первого порядка, обозначаемый буквой ϑX и вычисляемый по определению (58) при r = 1:

ДСВ;

ϑX = = (64)

НСВ.

Свойства среднего отклонения аналогичны свойствам стандарта (убедитесь в этом в качестве Упражнения 2.1):

1) ϑC = 0

2) ϑCX = |C|*ϑX (65)

3) ϑC+X =

2.2.6 Примеры одномерных распределений.

Рассмотрим законы распределений некоторых дискретных и непрерывных СВ, играющих важную роль как в теории, так и на практике.

2.2.6.1 Индикатор события.

Индикатор события IA представляет собой дискретную СВ, принимающую только два возможных значения 0 и 1 с вероятностями (1 – p) и p соответственно, где p = P(A) – вероятность наступления события A, описанного на некотором пространстве . Рассмотрим все введенные выше понятия для этой СВ как в качестве примера, так и с целью их дальнейшего использования при описании более сложных законов.

Дано:X = IA = {x1 = 0; x2 = 1}; P(x1) = = 1 – p =q; P(x2) = P(A) = p.

Найти: 1)F(IA) – ? 2) E(IA) – ? 3) D(IA) – ? 4) – ?

Решение: 1)Функцию распределения разместим в расширенной таблице ряда распределения, как это предложено в (44):

X = IA

0

1

-

P(X = IA)

q

p

-

F(IA)

0

q

1

Числовые характеристики определим по формулам (51), (59) и (62):

2)E(IA) = 0*q + 1*p = p;

3)D(IA) = =-= 02*q+12*p p2 = p*(1 p) = pq;

4) = .

Индикатор событий используется при изучении повторных испытаний и решении некоторых других задач как вспомогательная СВ.

Соседние файлы в папке Вер_Примитивы