6. Методы решения систем линейных уравнений

Решением системы линейных уравнений называется набор чисел (С1,С2..Сn) при подстановки которых в уравнения системы вместо неизвестных (х1,х2…хn) каждое уравнение обращено в тождество.

Возможные решения:

1.Система совместна и определена (1решение)

2.Система совм. и неопределенна и имеет множество решений

3.Системы несовместны-решений не имеет.

1.Матричный метод(с помощью обратной матрицы)

, которые в матричной форме записываются как , где  - основная матрица системы,  - матрица-столбец неизвестных переменных,  

А ^-1*А*Х= А ^-1*В

Е*Х= А ^-1*В

Х= А ^-1 *В

2.Метод

Крамера

Коэффициенты a₁₁,₁₂,..., a_1n, ... , a_n1 , b₂ , ... , b_n считаются заданными .

Вектор -строка x₁ , x₂ , ... , x_n

- называется решением системы, если при подстановке этих чисел

вместо переменных все уравнения системы обращаются в верное равенство.

Определитель n-го порядка

, составленный из коэффициентов при неизвестных , называется

определителем системы В зависимости от определителя системы различают

следующие случаи.

a). Если ∆не равно 0, то система (1) имеет единственное решение, которое может

быть найдено по формулам Крамера : x₁=

б). Если ∆=0 , то система (1) либо имеет бесконечное множество решений , либо

несовместна ,т.е. решений нет.

3.Метод Гаусса

Преобразование расширенной матричной системы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

Рангом матрицы назыв.наибольший из порядков минора отличного от 0 или не равного 0. Количество ненулевых строк матрицы определяет ранг r(А)

Теорема Кронекера-Капелли: система линейных уравнений совместна когда ранг основной матрицы r(А) будет равен рангу расширенной матрицы r(Ачерточка)

Следствия из теоремы:

1.r(А) не равно r(Ачерт) система несовместна)-нет решений

2.r(А) = r(Ачерт)=n система совместна и определена-1 решение

3.r(А) = r(Ачерт) <n система совместна и неопределенна-множ.решений

7. Основные понятия и определения векторной алгебры. Трехмерное пространство

Вектором называется направленный отрезок АВ=а

Векторы, расположенные на параллельных прямых или на одной прямой называются коллинеарными. Если два коллинеарных вектора имеют одинаковое направление, то они называются сонаправленными

Два вектора считаются равными, если они сонаправлены и равны по модулю

Вектор, модуль которого равен нулю, называется нулевым, обозначается

Единичный вектор-е=1

Ортом вектора а наз-ся вектор а в степени -0,который имеет един-ю длину и то же напр. Что и вектор а.

Длина вектора -длина отрезка, ограничивающего вектора. IABI=IaI модуль вектора

Вектор противоположный вектору АВ обозначается. АВ=-ВА

2 вектора назыв.коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельны одной прямой a II b – коллинеарный

3 вектора (или более) назыв. компланарными , если они лежат в одной плоскости или параллельны плоскости.

Угол между векторами - наименьший угол, на который надо повернуть один из векторов, чтобы их направления совпали.

Лин операции?

Трехмерное пространство

Три вектора , , называются линейно-независимыми, если они не лежат в одной плоскости.

Базисом в трехмерном пространстве R³ называется упорядоченная тройка любых линейно-независимых векторов.

Базис  называется прямоугольным (ортогональным), если векторы  попарно перпендикулярны. Если они к тому же имеют длину, равную единице, то базис называется ортонормированным.

9.Скалярное произведение векторов, его свойства Скалярным произведением двух векторов а и в   называется произведение их длин на косинус угла между ними:

 

свойства скалярного произведения 1.переместительное a*b=b*a 2.a*(b+c)=a*b+a*c распредительный 3.k(a*b)=(k*a)*b=a*(k*b) 4.a^2=IaI^2 5.a*b=0 то a перпендикулярно b 6(m*a)*b=a*(m*b)=m*(a*b) сочетательный закон по отношению к скал-му множителю m. 11. Смешанное произведение векторов, его свойства. Смешанным (векторно-скалярным) произведением трех ненулевых векторов называется число,равная скалярному произведению вектора а*b на вектор с. Обозначение- а х в * с Свойства смешанного произведения:

1.Смешанное произведение не меняется при циклической  перестановке его сомножителей, т.е. 

12Метод координат на плоскости 1.Прямоугольная система координат (ПДСК)

Расстояние между точками М1 (x1;y1) и М2 (x2;y2)

d= корень из (x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 середина отрезка М1 М2 Хс=x1+x2/2 Yc=y1+y2/2 Деление отрезка М1М2 в отношении альфа X=x1+лямба*x2/ 1+лямба Y=y1+лямба*y2/ 1+лямба М(x;y)делит отрезок М1 М2 в отношении лямба

13. Прямая линия на плоскости

1.уравнение прямой с условным коэффициентом. Y=kx+b

2.общее уравнение прямой. Ax+By+C=0, A,B,C принадлежит R

Y= -A/Bx – C/B K=-A/B b=-C/B

Частные случаи общего уравнения прямой

1)С=0 Ах+By=0 прямая проходит через начало координат

2)В=0 Ах+С=0 прямая параллельна оси Оy

3)А=0 Вy+С=0 прямая параллельна оси Ох

4)А=С=0 Вy=0 ось абцисс

5)В=С=0 Ах=0 ось ординат

3.уравнения х/а+y/b=1

4.уранение прямой проходящей через точку в данном направлении

К=тангенс альфа, М2(х0;y0), y-y0=k(x-x0)

5.уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1(x1;y1) и М2(x2;y2)

х-х1/х2-х1=y-y1/y2-y1, K=y2-y2/x2-x1

6.нормальное уравнение прямой

x*косинус альфа + y* синус альфа-р=0, р-длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую

альфа-угол между р и положительным направлением

Нормирующий множитель лямба= +- 1/ корень из А^2+B^2

Знак перед дробью противоположен знаку перед С.

7.уравнение прямой в полярных координатах

Косинус (I-альфа)=p

14. Плоскость в пространстве

Получим сначала уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(х₀ ,у₀ ,z₀) перпендикулярно вектору n = {A,B,C},называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости М(х, у, z) вектор М₀М = {x - x₀ , y - y_{0 ,} z - z₀) ортогонален вектору n, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

                    A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0.                                                 

Получено уравнение, которому удовлетворяет любая точка заданной плоскости – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

    После приведения подобных можно записать уравнение в виде:

                    Ax + By + Cz + D = 0,                                                                

где D = -Ax₀ - By₀ - Cz₀. Это линейное уравнение относительно трех переменных называют общим уравнением плоскости.

 

                         Неполные уравнения плоскости.

   Если хотя бы одно из чисел А, В, С, D равно нулю, уравнение (8.2) называют неполным.

Рассмотрим возможные виды неполных уравнений:

1)       D = 0 – плоскость Ax + By + Cz = 0 проходит через начало координат.

2)       А = 0 – n = {0,B,C}Ox, следовательно, плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси Ох.

3)       В = 0 – плоскость Ax + Cz +D = 0 параллельна оси Оу.

4)       С = 0 – плоскость Ax + By + D = 0 параллельна оси Оz.

5)       А = В = 0 – плоскость Cz + D = 0 параллельна координатной плоскости Оху (так как она параллельна осям Ох и Оу).

6)       А = С = 0 – плоскость Ву + D = 0 параллельна координатной плоскости Охz.

7)       B = C = 0 – плоскость Ax + D = 0 параллельна координатной плоскости Оуz.

8)       А = D = 0 – плоскость By + Cz = 0 проходит через ось Ох.

9)       B = D = 0 – плоскость Ах + Сz = 0 проходит через ось Оу.

10)    C = D = 0 -  плоскость Ax + By = 0 проходит через ось Oz.

11)    A = B = D = 0 – уравнение Сz = 0 задает координатную плоскость Оху.

12)    A = C = D = 0 – получаем Ву = 0 – уравнение координатной плоскости Охz.

13)    B = C = D = 0 – плоскость Ах = 0 является координатной плоскостью Оуz.

Если же общее уравнение плоскости является полным ( то есть ни один из коэффициентов не равен нулю), его можно привести к виду:

                                                                                                         

называемому уравнением плоскости в отрезках.

15. Прямая линия в пространстве.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0, A ₂ x + B ₂ y + C ₂ z + D ₂ = 0;              

2) двумя своими точками M ₁ (x ₁, y ₁, z ₁ ) и M ₂ (x ₂, y ₂, z ₂ ), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

 =  ;                                       

3) точкой M ₁ (x ₁, y ₁, z ₁ ), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

.    –каноническое уравнение

16. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Плоскость  и прямая 

     1) пересекаются 

     2) прямая лежит в плоскости 

     3) параллельны 

     Если  то случаи 1 - 3 имеют место, когда:

     1) 

     2) 

     3) 

условие параллельности прямой и плоскости 

 или 

 Угол между прямой и плоскостью 

17. Кривые второго порядка: окружность, эллипс

Окружность. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же точки.

Уравнение окружности имеет вид

(x - a)² + (y - b)² = r²,

где a и b - координаты центра окружности, а r - радиус окружности. Если же центр окружности находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид

x² + y² = r².

Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же постоянная величина (эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами).

Простейшее уравнение эллипса

где a - большая полуось эллипса, b - малая полуось эллипса. Если 2c - расстояние между фокусами, то между a, b и c (если a > b) существует соотношение

a² - b² = c².

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси

У эллипса эксцентриситет e < 1 (так как c < a), а его фокусы лежат на большой оси.

18. Кривые второго порядка: гипербола, парабола

Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных фиксированных точек (фокусов) гиперболы есть одна и та же постоянная величина. Предполагается, что эта постоянная величина не равна нулю и меньше, чем расстояние между фокусами.

Простейшее уравнение гиперболы

Здесь a - действительная полуось гиперболы, b - мнимая полуось гиперболы.

Если 2c - расстояние между фокусами гиперболы, то между a, b и c существует соотношение

a² + b² = c².

При b = a гипербола называется равносторонней. Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид

x² - y² = a².

Фокусы гиперболы лежат на ее действительной оси.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к длине ее действительной оси.

Асимптоты гиперболы - две прямые, определяемые уравнениями

Напомним, что асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, которая обладает тем свойством, что когда точка по кривой удаляется в бесконечность, ее расстояние до этой прямой стремится к нулю.

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от заданной фиксированной точки и от заданной фиксированной прямой. Точка, о которой идет речь в определении, называется фокусом параболы, а прямая - ее директрисой.

Простейшее уравнение параболы

y² = 2px.     (*)

Входящая в это уравнение величина p называется параметром параболы. Параметр параболы равен расстоянию от директрисы параболы до ее фокуса.

Координаты фокуса F параболы (*) . (фокус параболы лежит на ее оси симметрии) Уравнение директрисы параболы (*)

Эксцентриситет параболы e = 1.

y² = 2px (p > 0)

19. Параллельный перенос системы координат. Поворот осей координат

Параллельный перенос системы координат. В первой системе координат точка O₁ имеет координаты (0,0), точка O₂ - (а,b), а точка M - (x₁,y₁). Рассматривая проекции этих точек на оси координат первой системы имеем  х₁ = а + x₂, y₁ = b + y₂. Преобразования координат. Чтобы получить координаты во второй системе, необходимо провести обратные действия. Это приведет к зависимостям x₂ = x₁ - a. y₂ = y₁- b. (1.5 б) Поворот системы координат с совмещенной точкой начала. Пусть оси OX₁ и OX₂ повернуты на угол . x₁ = x₂cos - y₂ sin y₁ = x₂ sin - y₂ cos. В общем случае связь между координатами точки в различных прямоугольных системах координат выражается линейными соотношениями х₁ = х₂cos - y₂ sin + a  y₁ = x₂ sin + y₂ cos + b или x₂ = x₁ cos + y₁ sin - a y₂ = -x₁ sin + y₁ cos - b.

20. Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду.

Кривой 2–го порядка называется линия на плоскости, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением

ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0,

(1)

где a, b, c, d, e, f — вещественные коэффициенты, причем a² + b² + c² ≠ 0 .

.     Эллипс. 2.    Мнимый эллипс. 3.    Пара мнимых пересекающихся прямых. 4.    Гипербола. 5.    Пара пересекающихся прямых. 6.         Парабола. 7.       Пара параллельных прямых. 8.       Пара мнимых параллельных прямых. 9.              Пара совпадающих прямых. 

Для того, чтобы перейти к новой системе координат, в которой уравнение линии будет иметь канонический вид, необходимо провести два преобразования:

1)       поворот координатных осей на такой угол, чтобы их направление совпало с направлением осей симметрии кривой (если она имеет две оси);

2)       параллельный перенос, при котором начало координат совмещается с центром симметрии кривой (если он существует).

Замечание. Для параболы новые оси координат должны располагаться параллельно и перпендикулярно директрисе, а начало координат – совпасть с вершиной параболы.

  Поскольку в канонических уравнениях кривых второго порядка отсутствуют произведения переменных, необходимо перейти к координатной системе, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов матрицы А. В этом базисе уравнение (11.5) примет вид:

               (в предположении, что λ_1,2 не равны 0).

Зададим последующий параллельный перенос формулами:

             . Получим в новой координатной системе уравнение

                                             .                                                     (11.7)

Рассмотрим возможные геометрические образы, определяемые этим уравнением в зависимости от знаков λ₁, λ₂ и :

1)       если собственные числа матрицы А λ₁ и  λ₂  и одного знака, уравнение (11.7) представляет собой каноническое уравнение эллипса:

                               , где       

(случаи  и , имеющего знак, противоположный знаку λ₁, λ₂, будут рассмотрены в следующей лекции).

2)       если λ₁ и  λ₂  имеют разные знаки, уравнение (11.7) является каноническим уравнением гиперболы:

   или    , в зависимости от знака .

В случае, когда одно из собственных чисел матрицы А равно 0, уравнение (11.5) в результате двух преобразований координат можно привести к виду:

                              ,                                                                              (11.8)

являющимся каноническим уравнением параболы.

21. Полярная система координат

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча ОА, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки). Полярными координатами произвольной точки М (относительно заданной системы) называются числа  и  (см. рис.). Угол  при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число  называется первой координатой, или полярным углом точки М ( называются также амплитудой).

Символ М(; ) обозначает, что точка М имеет полярные координаты  и .

Полярный угол  имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину вида , где n - целое положительное число). Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам , называется главным.

В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: 1). Пользоваться одним и тем же масштабом, 2). При определении полярных углов считать положительным повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную ось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совместить ее с положительной осью ординат (таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, то есть ось Ох направлена вправо, а ось Оу - вверх, то и отсчет полярных углов должен быть обычным, то есть положительными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки).

При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки х к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам

, .

В этом же случае формулы

, 

являются формулами перехода от декартовых координат к полярным.