Rudenko_O.G.Teormeh_1

Технічна механіка

S2 = −0,77 кН.

Задача 2.9.

Знайти зусилля в стержнях просторового кронштейна, якщо в точці А діють дві сили. Сила P1 =10kH діє в горизонтальному

напрямі, а сила P2 = 20kH - вертикально вниз. Стержні невагомі, мають на кінцях шарнірні з’єднання (рис. 2.12).

Відповідь: S1 = S2 = 44,6kH; S3 = −40kH .

Задача 2.10.

Три невагомих стержня АВ, АС, AD шарнірно з’єднані в точці А і шарнірно прикріплені до горизонтальної площини (рис. 2.13) Площини трикутників АВС і АОD вертикальні і взаємно перпендикулярні. До вузла А паралельно ОD діє сила Р=0,6 kH. Знайти зусилля в стержнях, якщо ABO = ACO = 450 , ADO = 600 .

Частина 1. Теоретична механіка

Відповідь: SB = SC = 0,735kH; SD = −1,20kH .

3. Момент сили. Пара сил

У цьому розділі розглянемо систему пар сил, які довільно розміщені в одній площині та в просторі. Введемо нові поняття: момент сили відносно точки, осі, пара сил.

3.1. Момент сили відносно точки на площині й у просторі

Під дією сили тіло може рухатися поступально або обертатися. Обертальна дія сили виражається моментом сили.

Момент сили відносно точки О дорівнює добутку модуля сили на плече.

22

Технічна механіка

Звернемо увагу на такі властивості момента сили відносно точки:

1.Момент сили відносно точки не зміниться при перенесенні точки прикладання сили вздовж її лінії дії, тому що при цьому не змінюється ні модуль сили, ні довжина його плеча.

2.Момент сили відносно точки дорівнює нулю тільки тоді, коли модуль сили дорівнює нулю, або коли лінія дії сили перетинає цю точку, (тому, що в цьому разі довжина плеча дорівнює нулю).

намагається повернути тіло відносно точки О проти ходу

повернути тіло відносно точки О проти ходу годинникової стрілки, ur

а дивлячись з іншого боку бачимо, що сила F намагається повернути тіло відносно точки О за ходом годинникової стрілки. Тож звідки дивитися на площину П1 ? Уr зв’язку з цим вводиться

таке поняття, як вектор-момент сили F відносно точки О. Цей uur ur

вектор-момент має таке позначення: M0 (F) . r

Вектор-момент сили F відносно точки О має початокr у

точці О, перпендикулярний площині, в якій перебуває сила F та точкаur(центр) О, і напрямлений у той бік, звідки видно намагання

сили F повернути тіло навколо точки О проти ходу годинникової стрілки (рис. 3.2).

23

Частина 1. Теоретична механіка

Вектор-момент сили можна подати у вигляді векторного

де r - радіус-вектор точки А прикладання сили, проведений з точки

Таким чином, вектор-момент повністю визначає обертальний ur

ефект сили F відносно точки О: його лінія дії визначає площину обертання, його напрям – напрям обертання, його модуль – інтенсивність обертальної дії.

3.2. Момент сили відносно осі

Таким чином, момент сили відносно осі дорівнює моменту проекції цієї сили на площину, перпендикулярну до даної осі, відносно точки перетину осі з площиною.

Щоб знайти момент сили відносно будь-якої осі Z, необхідно:

1.Провести площину XY, перпендикулярну осі Z, і знайти точку

Оперетину осі з площиною.

24

Технічна механіка

2.Спроектувати силу F на цю площину і знайти її проекцію Fuurxy .

3.Знайти момент сили Fuurxy відносно точки О.

4.Встановити знак момента сили.

Щоб встановити знак момента сили відносно осі, необхідно дивитися на площину XY з додатного напряму осі. Якщо при цьому обертальний рух тіла бачимо таким, що відбувається проти ходу годинникової стрілки, то цей момент сили додатній, якщо за ходомurгодинникової стрілки, то - від’ємний. На рис. 3.3 момент

сили F відносно осі Z є додатнім.

r

Примітка. Момент сили F відносно осі дорівнює нулю в двох випадках:

ur

1. Якщо лінія дії сили F перетинає вісь;

r

2. Якщо сила F паралельна даній осі.

В усіх інших випадках момент сили відносно осі існує.

3.3. Пара сил. Момент пари сил

Пара сил – це дві сили, що рівні за величиною, протилежно напрямлені, лінії дії їх паралельні й перебувають на відстані d одна

від одної (рис. 3.4). uur ur

F = −F / d –плече пари сил.

Під дією пари сил тіло буде обертатися. Якщо під дією пари сил тіло буде обертатися проти ходу годинникової стрілки, то цей момент пари сил має знак “+” (рис. 3.4, а), якщо за ходом годинникової стрілки – то знак момента “-” (рис. 3.4,б).

Теорема 3.1. (Теорема про момент пари сил)

25

Частина 1. Теоретична механіка

Момент пари сил дорівнює добутку однієї із сил пари на плече пари сил.

Таким чином, сума моментів сил, що складають пару сил, не залежить від вибору точки О, а вираз M = ±F d - є характеристикою обертального моменту пари сил.

3.4. Теореми про пари сил

Раніше було доведено, що силу можна переносити по лінії її дії й від цього дія сили на тіло не зміниться.

Виникає два запитання:

26

точки С і D. Одержали пару сил, момент

якої M2 = F2 CD , що збігається з момен-

том M1 як за величиною, так і за знаком.

У наведеному вище при розгляді пар сил, розміщених в одній площині, було доведено, що пару сил можна переміщувати в площині її дії і від цього дія її на

тіло не зміниться. А чи можна переносити пару сил в площину, паралельну тій, в якій вона діяла? На це запитання дає відповідь теорема 3.3.

Теорема 3.3. Пару сил можна перенести в паралельну площину і від цього дія пари сил на тіло не зміниться.

Нехай у площині П1 діє пара сил з моментом M1 = AB F1 і

обертальний рух її проти ходу годинникової стрілки. Розглянемо площину П2 , що паралельна П1 . Візьмемо на цій площині відрізок

CD=AB (рис. 3.9). У точках С і D прикладемо зрівноважені сили,

M2 =CD F6 = AB F1 = M1 . Знак цієї пари також не змінився. Теорему доведено.

Визначення. Дві пари сил, що діють у просторі, еквівалентні, uur uuur

якщо в них однакові вектори-моменти, тобто M1 = M2 .

28

Технічна механіка

Якщо вектори-моменти пар сил однакові, то це означає, що ці пари сил перебувають в паралельних площинах і обертальний рух їх однаковий. Згідно з теоремою 3.3 ці пари сил можна привести до однієї площини. Крім цього, у цих пар сил однакові числові

відповідно плечі першої і другої пари сил.

У цих пар сил можуть бути різні плечі і сили, але добутки сили на плече пари, однакові.

Теорема 3.4. Дві пари сил, що лежать у площинах, що перетинаються, еквівалентні одній парі сил, момент якої дорівнює геометричній сумі векторівмоментів двох даних пар сил.

перетину цих площин візьмемо відрізок АВ і приведемо ці пари сил

Теорему доведено.

29

Частина 1. Теоретична механіка

Якщо на тіло діє n пар сил, що лежать у різних площинах, то цю систему пар сил можна замінити однією парою сил з вектором-моментом

k=1

Теорема 3.5. Теорема про додавання пар сил, розміщених в одній площині.

Якщо в одній площині діє декілька пар сил, то їх дію можна замінити дією однієї пари сил, момент якої дорівнює алгебраїчній сумі моментів заданих пар сил.

Доведення Нехай на тверде тіло в одній площині діє три пари

сил з моментами: M1 = F1d1 , M2 = F2d2 , M3 = −F3d3 . (рис. 3.11, а). Перетворимо ці пари в еквівалентні з плечем d=АВ

M1 = F1d1 =Q1d M2 = F2d2 =Q2d

M3 = −F3d3 = −Q3d .

Рис 3.11 ur ur

Ці сили складають пару сил (R, R/ ) з плечем АВ=d. Знайдемо момент цієї пари сил.

M =R d =(Q1 +Q2 −Q3) d =Q1d +Q2d −Q3d =M1 +M2 −M3 .

Це і треба було довести.

Якби задана система пар сил мала п пар, розміщених в одній площині, то одержали б одну рівнодійну пару сил з моментом

30