Rudenko_O.G.Teormeh_1

Технічна механіка

циліндричний болт насаджується стержень AL (рис. 1.10), який має циліндричний отвір, діаметр якого більший за діаметр болта. Стержень AL (AB)r має можливість обертатися лише навколо осі болта. Реакція RA циліндричного шарніра лежить у площині, перпендикулярнійr осі болта і проходить через центр болта. Реакція опори RA невідома за величиною і напрям її дії невідомий. Тому

цю реакцію розкладають на дві складові XA i YA , де XA - проекція r

вектора RA на вісь Аx, а YA - на вісь Аy. Якщо буде знайдено проекції XA , YA , то реакція

RA = X2A +YA2 ;

Рухомий шарнір B побудований таким чином як і нерухомий, але він має можливість зміщуватися в одному із напрямів. Наприклад (рис. 1.10), шарнір В має можливість зміщуватися

вздовж осі x, а шарнір D - вздовж осі х1 . Реакція рухомого шарніра

проходить через вісь шарніра і напрямлена по нормалі до опорної поверхні.

4. Підп'ятник, сферичний шарнір.

Сферичний шарнір являє собою кулю, що може довільно обертатись всередині сферичної порожнини (рис. 1.11). Напрям реакції в цьому разі визначити неможливо, тому цю реакцію RA розкладають по трьом осям координат на три складові XA , YA , ZA .

зреакції циліндричного

підшипника XA i YA і нормальної реакції ZA опорної площини.

11

Частина 1. Теоретична механіка

на рисунку 1.13, б).

6. Жорстке защемлення

Жорстке защемлення балкиr AB показано на рис. 1.14. Якщо на балку діють активні сили F , то в защемленні виникають реакції, що складаються з реакції защемлення RA і пари сил з моментом защемлення MA . Так як напрям реакції RA невідомий, то ця реакція розкладається на дві невідомі складові XA , YA . Таким чином, у точці A жорсткого защемлення маємо три невідомі складові реакції

XA , YA , MA .

Рис. 1.14

12

Технічна механіка

2. Система збіжних сил

2.1. Визначення системи збіжних сил. Приведення системи збіжних сил до рівнодійної

Сили називаються збіжними, якщо лінії дії всіх сил, що складають систему, перетинаються в одній точці.

Розв'яжемо першу задачу статики, а саме замінимо дану систему сил більш простішою.

Нехай на тіло діють, наприклад, чотири сили

дії яких перетинаються в одній точці O (рис. 2.1, а)

Згідно з теоремою 1.1 перенесемо сили по лінії їх дії в точку O (рис. 2.1, б) . Цим самим одержимо нову систему сил, прикладених

R = F1 +F2 +F3 +F4 .

r

Сила R і буде рівнодійною всієї системи сил. Операцію додавання сил можна виконати, не будуючи щоразу паралелограм сил. Дляrцього достатньо в точці B вектора F1 прикласти початок

вектора F2 , потім в точці C вектора F2 прикласти початок вектора F3 і т.д. (рис. 2.1, б). З'єднавши точку O прикладання сил з кінцем сили

13

тіло можна замінити дією однієї сили (рівнодійної), прикладеної в точці O, що дорівнює геометричній сумі векторів сил:

k=1

2.2. Аналітичний спосіб знаходження рівнодійної плоскої системи збіжних сил

Щоб аналітичним способом знайти рівнодійну R системи збіжних сил, необхідно: 1) за формулами (2.2) знайти проекції рівнодійної на осі координат; 2) за формулою (2.3) знайти модуль рівнодійної; 3) за формулами (2.4) знайти напрям рівнодійної.

14

Технічна механіка

2.3. Умови рівноваги системи збіжних сил

Розв'яжемо другу основну задачу статики, а саме - необхідно встановити, за яких умова тіло під дією системи збіжних сил буде в рівновазі.

Сили, прикладені в одній точці, взаємно зрівноважені лише тоді, коли рівнодійна цих сил дорівнює нулю:

k=1

Цю векторну рівність називають векторною умовою рівноваги системи збіжних сил. Геометрично ця умова виражає вимогу того, щоб силовий многокутник, побудований на цих силах, був замкнений.

Запишемо аналітичні умови рівноваги системи збіжних сил. Для цього використаємо вираз (2.3) за умови, що R=0. Тоді

n

∑FkX = 0,

k=1

n

∑FkY = 0, (2.5)

k=1 n

∑Fkz = 0.

k=1

Для рівноваги плоскої системи збіжних сил необхідно і достатньо, щоб дорівнювала нулю алгебраїчна сума проекцій усіх сил на кожну з координатних осей.

2.4. Методичні рекомендації до розв'язування задач

Задачі на плоску систему збіжних сил можна розв'язувати за допомогою силового многокутника, або аналітичним способом. Якщо брати в порівнянні, то аналітичний спосіб розв'язування задач більш ефективний.

Рекомендуємо такий порядок дій при розв'язанні задач статики аналітичним способом:

1. Вияснити, рівновагу якої точки або тіла необхідно розглянути.

15

Частина 1. Теоретична механіка

2.Вибрати координатні осі.

3.Якщо тіло (точка) не вільне, то необхідно звільнитися від в'язей і замінити дію в'язей на тіло реакціями в'язей.

4.Проаналізувати одержану систему активних сил і реакцій в'язей.

5.Записати аналітичні умови рівноваги одержаної системи сил і скласти рівняння рівноваги.

6.Розв'язати отриману систему рівнянь.

Задача 2.1.

G=120 Н Однорідна куля з радіусом 0,2 м і вагою 120 Н OA=0,8 м дотикається в точці B гладкої вертикальної стінки BD=0,4 м (рис. 2.3) і утримується в рівновазі тросом OA r=0,2 м довжиною 0,8 м. Знайти натяг троса і тиск кулі на Q=?; S=? стінку, якщо відстань від точки B до вертикалі OD

дорівнює 0,4 м.

Розв’яжемо цю задачу аналітичним і геометричним способами.

Аналітичний спосіб.

1.Розглянемо рівновагу кулі.

2.Початок системи координат візьмемо в точці C.

3.Куля не вільна, для неї в’язями є стінка і трос. Відкинемо ці в’язі і замінимо їх дію реакціями в’язей N і T (дивись пункт

1.4).

4.З рисунка 2.3 видно, що лінії дії сил G, N, T перетинаються в точці C, тобто маємо збіжну плоску систему сил.

5.Запишемо аналітичні умови рівноваги і складемо рівняння рівноваги

Рис 2.3

Знайдемо значення cosѓї і sinѓ .

CD=CB+BD=0,2+0,4=0,6 (м)

16

Технічна механіка

Задача 2.2.

AB=3 м Балка AB довжиною 3 м підтримується в

CB=1 м горизонтальному положенні стержнем BD (рис. 2.5). F=2 кН З’єднання A, B i D — шарнірні. В точці C балки діє RA=?; RD=? вертикальна сила F=2 кН. Нехтуючи вагою балки AB і стержня CD, знайти реакції опор A і D.

17

Частина 1. Теоретична механіка

n

∑FkY =0; R A sinα −F +RBsin45 =0 . (2)

k=1

Розв’яжемо ці рівняння. Так як cos45° = sin 45°, то від рівняння

(1) віднімемо рівняння (2). Одержимо−RAcosѓ −Rї Asinѓ + Fї = 0 . Звідки

RA =1,49 кН; RB = RD =1,89 кН

Задача 2.3.

18

Технічна механіка

αНа гладкій похилій площині, що утворює з горизонтом кут

βѓ , є тіло вагою G, яке утримується в рівновазі тросом AB.

Тіло перебуває в рівновазі під дією трьох сил: сили тяжіння G , що напрямлена вертикально вниз, реакції T троса, напрямленої

вздовж троса AB, і реакції N площини, напрямленої перпендикулярно похилій площині (див.

п.1.4). Лінії дії цих сил перетинаються в точці C. Розв’яжемо цю задачу

геометричним способом.

Для цього побудуємо силовий трикутник (рис. 2.6,б). Будову силових многокутників розглянуто в задачі 2.1. З ∆CDL знайдемо модулі сил T і N. На основі теореми синусів маємо:

2.5. Задачі для самостійного розв’язування

Задача 2.4. (рис 2.7.)

Невагомі стержні AB і CD жорстко з’єднані під прямим кутом у точці D. AD=DB. Знайти реакції рухомої опори C і шарніра A, якщо в точці B стержня під кутом 60° прикладена сила F=0,3 кН.

Рис 2.8

Частина 1. Теоретична механіка

Задача 2.5. (рис 2.8.)

Однорідний гладкий циліндр вагою 1,2 кН утримується між вертикальною площиною і площиною, відхиленою від неї на кут 60°. Знайти силу тиску циліндра на ці площини.

Відповідь: N1 = 0,693 кН;

N2 =1,386 кН

Задача 2.6. (рис 2.9).

Два невагомі стержні AC і BC

з’єднані шарнірно в точці C, до

якої через блок D підвішено тіло 1 вагою 12 Н. Знайти реакцію стержня BC, якщо кут ѓ = ї60°

Відповідь: RB = −6 Н

допомогою шарніра A і утримується під кутом 60° до стінки за допомогою невагомого каната BC, який утворює зі стержнем також кут у 60°. Знайти величину і напрям реакції шарніра A, якщо відомо, що вага стержня 120 Н.

Відповідь: RA =104 Н.

Задача 2.8 (рис. 2.11)

Знайти зусилля в невагомих стержнях 1 і 2, які в точках A, B і C мають шарнірні з’єднання.

У точці C прикладені три сили: вертикально вниз сила P1 = 2 кН

20