Параграф 2. Формула Пуассона

Теорема 1. Если вероятность наступления событияв каждом испытании постоянна и стремится к нулю при неограниченном увеличении числанезависимых испытаний, то вероятностьтого, что событиенаступитраз внезависимых испытаниях приблеженно равна:

–вероятность того, что событие наступитраз внезависимых испытаниях;

–среднее значение числа появления события принезависимых испытаниях.

–число независимых испытаний, в котором появилось событие ;

–общее число независимых испытаний.

Доказательство.

Пример 1. Завод отправил на базу 500 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится равно 0,002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 поврежденных изделия.

Решение.

; ;;

Ответ: 0,06.

Параграф 3. Локальная теорема Муавра-Лапласа

Теорема 1. Если вероятность наступления событияв каждом испытании постоянна и олична от нуля и единицы при достаточно большом численезависимых испытаний, то вероятностьтого, что событиенаступитраз внезависимых испытаниях приблеженно равна:

–вероятность того, что событие наступитраз внезависимых испытаниях;

–постоянная вероятность наступления события ;

–постоянная вероятность того, что событие не наступит;

–число независимых испытаний, в котором появилось событие ;

–общее число независимых испытаний;

–функция Гаусса.

Доказательство.

Пример 1. Монету бросают 80 раз. Найти вероятность того, что герб появится 20 раз.

Решение.

–выпадение герба;

–выпадение решки.

События иобразуют полную группу несовместимых и равновозможных событий.

; ;

; ;;

Ответ: .

Параграф 4. Интегральная торема Муавра-Лапласа

Теорема 1. Если вероятность наступления событияв каждом испытании постоянна и олична от нуля и единицы при достаточно большом численезависимых испытаний, то вероятностьтого, что событиенаступитраз внезависимых испытаниях заключенное в пределах отдоприблеженно равна:

–постоянная вероятность наступления события ;

–постоянная вероятность того, что событие не наступит;

–число независимых испытаний, в котором появилось событие ;

–общее число независимых испытаний;

–функция Лапласа.

Доказательство.

Пример 1. При установившемся технологическом режиме завод выпускает в среднем 70 % продукции первого сорта. Найти вероятность того, что из 1000 изделий число первосортных заключается между 600 и 800.

Решение.

–выпуск продукции первого сорта.

; ;

; ;;;

Ответ: .

Глава 3. Случайные величины Параграф 1. Понятие случайной величины

Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.

Случайные величины обозначаются большими буквами латинского алфавита , а их возможными значениями соответственно строчными буквами.

Случайная величина, принимающая различные значения, называется дискретной случайной величиной, если множество ее значений конечное, или бесконечное, но счетное.

Пример 1. Число родившихся мальчиков среди пяти новорожденных; количество бракованных изделий в данной партии; количество произведенных выстрелов до первого попадания.

Случайная величина, принимающая различные значения, называется непрерывной случайной величиной, если множество ее значений бесконечное и несчетное.

Пример 2. Прирост веса домашнего животного за месяц; дальность полета артиллерийского снаряда; расход электроэнергии на предприятии за месяц.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями и соответствующими им вероятности.