- •Теоретико-числовые методы в криптографии
- •Аннотация.
- •Предисловие
- •Введение
- •Глава 1. Основы теории чисел. §1. Теория делимости.
- •1.1. Основные понятия и теоремы.
- •1.2. Наибольший общий делитель.
- •1.3 Нок (наименьшее общее кратное)
- •1.4. Простые числа
- •Решето Эратосфена
- •1.5. Единственность разложения на простые сомножители.
- •1.6. Асимптотический закон распределения простых чисел.
- •§2. Функция Эйлера.
- •2.1. Мультипликативные функции.
- •2.2. Функция Эйлера.
- •§3. Теория сравнений
- •3.1. Свойства сравнений:
- •3.2. Полная система вычетов.
- •3.3. Приведенная система вычетов
- •3.4. Обратный элемент.
- •3.5. Алгебраические структуры на целых числах.
- •3.6. Теоремы Эйлера и Ферма. Тест Ферма на простоту.
- •Тест Ферма на простоту
- •3.7. Применение теоремы Эйлера в rsa:
- •§4. Сравнения с одним неизвестным
- •4.1. Сравнения первой степени.
- •4.2. Система сравнений первой степени. Китайская теорема об остатках.
- •4.3. Применения китайской теоремы об остатках.
- •4.4. Сравнения любой степени по простому модулю.
- •4.5. Сравнения любой степени по составному модулю.
- •§5. Теория квадратичных вычетов
- •5.1. Квадратичные вычеты по простому модулю.
- •5.2. Символ Лежандра. Символ Якоби.
- •Свойства символа Лежандра:
- •Свойства символа Якоби:
- •5.3. Тест на простоту Соловея-Штрассена.
- •Тест Соловея-Штрассена:
- •5.4. Решение квадратичных сравнений по простому модулю.
- •5.5. Квадратичные сравнения по составному модулю.
- •5.6. Тест на простоту Миллера-Рабина.
- •5.7. Связь задач извлечения квадратных корней и факторизации по модулю rsa. Криптосистема Рабина.
- •5.8. Квадраты и псевдоквадраты.
- •5.9. Числа Блюма.
- •§6. Первообразные корни и индексы. Порождающий элемент и дискретный логарифм.
- •6.1. Основные понятия и теоремы.
- •6.2. Существование первообразных корней по модулю p.
- •6.3. Первообразные корни по модулям pα, 2pα.
- •6.4. Нахождение первообразных корней по простому модулю.
- •6.5. Существование и количество первообразных корней.
- •6.6. Дискретные логарифмы.
- •6.7. Проблема Диффи-Хеллмана.
- •6.8. Условная стойкость шифра Эль Гамаля.
- •§7. Построение доказуемо простых чисел общего и специального вида.
- •7.1. Теорема Сэлфриджа и доказуемо простые числа общего вида на основании полного разложения (n—1).
- •7.2. Теорема Поклингтона и доказуемо простые числа общего вида на основании частичного разложения (n—1).
- •7.3. Числа Ферма. Теорема Пепина.
- •7.4. Числа Мерсенна.
- •7.5. Теорема Диемитко и процедура генерации простых чисел заданной длины гост р 34.10-94.
- •Глава 2. Алгебраические основы теории чисел.
- •§1. Основные понятия алгебры.
- •1.1. Начальные понятия.
- •1.2. Делимость в кольцах.
- •1.3. Деление с остатком.
- •1.4. Основная теорема арифметики.
- •§2. Конечные поля и неприводимые многочлены.
- •§3. Кольца многочленов.
- •3.1. Кольца многочленов.
- •3.2. Кольцо многочленов Zp[X].
- •3.3. Конечные поля многочленов.
- •Глава 3. Алгоритмы в криптографии и криптоанализе. §1. Элементы теории сложности.
- •§2. Алгоритмы факторизации.
- •2.1. Метод пробных делений.
- •2.2. Метод Ферма.
- •2.3. Метод квадратичного решета.
- •2.6. Методы случайных квадратов.
- •§3. Алгоритмы дискретного логарифмирования.
- •3.1. Метод прямого поиска.
- •3.2. Шаг младенца – шаг великана.
- •3.4. Алгоритм Полига-Хеллмана.
- •3.5. Алгоритм исчисления порядка (index-calculus algorithm).
- •Задачи и упражнения.
- •Упражнения к Главе 2.
- •Ответы к упражнениям.
- •1. Пояснительная записка
- •1.1. Цели и задачи дисциплины
- •1.2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
- •2. Объем дисциплины и виды учебной работы
- •3. Тематический план изучения дисциплины
- •4. Содержание разделов дисциплины
- •6. Вопросы к экзаменам
- •7.Литература основная:
- •Дополнительная:
- •Оглавление
6. Вопросы к экзаменам
Основные понятия теории чисел. Теорема делимости.
Наибольший общий делитель и алгоритм Евклида.
Цепные дроби и алгоритм Евклида.
Наименьше общее кратное. Простые числа.
Теоремы Евклида о простых числах. Решето Эратосфена.
Основные свойства простых чисел. Теорема о единственности разложения на простые сомножители.
Теорема о делителях числа и ее следствия.
Асимптотический закон распределения простых чисел.
Функция Эйлера, ее свойства.
Сравнения. Свойства сравнений.
Полная система вычетов, приведенная система вычетов. Алгебраические свойства, обратный элемент.
Теорема Эйлера, теорема Ферма. Следствие.
Тест Ферма на простоту. Числа Кармайкла. Теорема Кармайкла.
Применение теоремы Ферма в криптосистеме RSA.
Сравнения с одним неизвестным 1-й степени.
Система сравнений 1-й степени. Китайская теорема об остатках.
Применение Китайской теоремы об остатках в RSA и схема разделения секрета на ее основе.
Квадратичные сравнения по простому модулю.
Символ Лежандра и его свойства.
Решение квадратичных сравнений по простому модулю.
Число решений квадратичного сравнения по составному модулю.
Символ Якоби, его свойства. Тест Соловея-Штрассена.
Квадратичные сравнения по модулю RSA. Связь задач извлечения корней и факторизации. Криптосистема Рабина.
Квадраты и псевдоквадраты. Числа Блюма.
BBS-генератор. Криптосистема Блюма-Гольдвассер, криптосистема Гольдвассер-Микали.
Тест Миллера-Рабина.
Порядок группы. Порядок элемента в группе. Порождающий элемент.
Существование порождающего элемента в Z*n
Критерий Люка.
Теорема Сэлфриджа и тест Миллера.
Теорема Поклнгтона и тест на простоту на ее основе.
Числа Ферма, теорема Пепина, тест Пепина.
Числа Мерсена. Тест Лукаса-Лемера.
Теорема Диемитко. Процедура генерации простых чисел ГОСТ Р 34.10-94.
Дискретный логарифм. Проблема Диффи-Хелмана. Криптосистема ЭльГамаля.
Кольца многочленов.
Поле многочленов GF(pα).
Проблема факторизации. Метод проных делений.
Метод Ферма факторизации.
Метод квадратичного решета.
Ро-метод Полларда факторизации.
p—1 – метод факторизации.
Методы случайных квадратов.
Задача дискретного логарифмирования. Метод прямого поиска.
Ро-метод Полларда дискретного логарифмирования.
Алгоритм Полига-Хеллмана.
Метод «Шаг младенца-шаг великана».
Метод исчисления порядка.
7.Литература основная:
Алферов А.П., Зубов А.Ю., Кузьмин А.С., Черемушкин А.В. Основы криптографии. Учебное пособие. — М.: Гелиос-АРВ, 2001.
Виноградов И. М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1972. – 402 с.
Столлингс В. Криптография и защита сетей. Принципы и практика. 2-е изд. — М: Вильямс, 2001.
Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. — М.: ИЛ, 1963.
Введение в криптографию / Под общей ред. Ященко В.В. — М: МЦИМО, «ЧеРо», 1998.
Саломаа А. Криптография с открытым ключом. — М.: МИР, 1996.
Варфоломеев А.А., Домнина О.С, Пеленицын М.Б. Управление ключами в системах криптографической зашиты банковской информации. — М: МИФИ, 1996.
Варфоломеев А.А., Пеленицын М.Б. Методы криптографии и их применение в банковских технологиях. — М.: МИФИ, 1995.
Фомичев В.М. Симметричные криптосхемы. Краткий обзор основ криптологии для шифрсистем с открытым ключом. — М.: МИФИ, 1995.
История криптографии. А.В. Бабаш, Г.П. Шанкин. Учебное пособие. - М.: "ГелиосАРВ",2001 г.
Рябко Б.Я., Фионов А.Н., Основы современной криптографии для специалистов в информационных технологиях, М.: Научный мир, 2004.
Шнайер Б., Прикладная криптография
Черемушкин А.В. Вычисления в алгебре и теории чисел. Курс лекций. — М.: 2002.